数学人教B版 (2019)11.1.6 祖暅原理与几何体的体积导学案及答案

这是一份数学人教B版 (2019)11.1.6 祖暅原理与几何体的体积导学案及答案，共13页。学案主要包含了学习重点，学习难点，对点快练，变式练习等内容，欢迎下载使用。


【学习重点】
利用祖暅原理推导柱体、锥体、球的体积公式、并运用体积公式解决简单的实际问题
【学习难点】
空间问题转化为平面问题解决问题，割补转化法求几何体的体积
问题1：祖暅原理
知识点1：祖暅原理
1．祖暅原理：幂势既同，则积不容异.
2．含义：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．如图所示．
思考：
1．夹在两个平行平面间的三棱锥和三棱柱，如果它们的底面积相等，那么这两个几何体的体积是否相等？
2．若三棱柱ABC－A1B1C1与圆柱O′O的高相等，且△ABC的面积与底面圆O的面积相等，那么它们的体积是否相等？
问题2：柱体的体积
探究：如图，下面是底面积都等于S，，高都等于h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅
原理推导柱体的体积公式吗？
(1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等.
(2)体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.
问题3：锥体的体积
探究：棱锥和圆锥的体积如何计算？
(1)结论：等底面积、等高的两个锥体，体积相等.
(2)体积：如果锥体的底面积为S，高为h，则椎体的体积计算公式为V椎体＝eq \f(1,3)Sh.
【对点快练】
1．圆锥的底面半径为4，母线长为6，则体积为________
例1.如图所示，长方体中，求棱锥的体积和长方体的体积之比.
问题4：台体的体积
探究：棱台、圆台的体积如何求解？
例2.已知四棱台上下底面面积分别为，而且高为，求这个棱台的体积。
知识点：
台体(棱台与圆台)的体积：如果台体的上、下底面面积分别为S1、S2，高为h，则台体的体积计算公式为V台体＝eq \f(1,3)(S2＋eq \r(S2S1)＋S1)h.
【对点快练】
已知棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则棱台的体积为________.
思考：柱体、锥体、球体的体积有什么关系？
例3.(1)过长方体的一个顶点的三条棱长的比为1∶2∶3，对角线的长为2eq \r(14)，求这个长方体的体积；
(2)如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．
例4. (1)已知圆柱的侧面展开图是长、宽分别为2π和4π的矩形，求这个圆柱的体积；
(2)如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
问题5：球的体积
尝试与发现：
（1）你能想办法测出一个乒乓球的体积吗？
（2）如图所示是底面积和高都相等的两个几何体，左边是半球，右边是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，用平行于半球与圆柱底面的平面去截这两个几何体，分别指出截面的形状，并讨论两个截面面积的大小关系，由此你能得到球的体积公式吗？
知识点：
如果球的半径为R，那么球的体积计算公式为V球＝eq \f(4πR3,3)
【对点快练】
1．若将球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的( )
A．2倍 B．4倍
C．8倍 D．16倍
2．已知球的表面积是16π，则该球的体积为________.
问题6：组合体
知识点：
1．概念：由简单几何体组合而成的几何体一般称为组合体．常见的组合体大多是由柱、锥、台、球等几何体组成的．
2．求组合体的体积(或表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(或表面积)，然后再处理即可．
【对点快练】
1．如图所示的组合体，其结构特征是( )
A．两个圆锥
B．两个圆柱
C．一个棱锥和一个棱柱
D．一个圆锥和一个圆柱
2．如图是由一个圆锥和一个半球组成的组合体，数据如图，则该组合体的体积为________.
例5.如图所示，某铁质零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高位2cm，现有这种零件一盒共50kg,取铁的密度位
（1）估计有多少个这样的零件？
（2）如果要给这盒两件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料（球和棱柱接口处面积不计，结果精确到1）？
【变式练习】
如图所给图形及数据(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
考点
学习目标
祖暅原理
了解祖暅原理的内容，掌握利用祖暅原理推导柱体、锥体、球的体积公式的过程
柱体、锥体、台体、球的体积公式
掌握柱体、锥体、台体、球的体积公式、能运用公式解决简单的实际问题
组合体的体积、表面积
了解组合体的概念，掌握求组合体表面积、体积的方法，并解决实际应用问题