高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直教学设计及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直教学设计及反思，共13页。教案主要包含了情境与问题，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。

本节《普通高中课程标准数学教科书-必修四（人教B版）第十一章《11.4.2 平面与平面垂直(1)》， 本节课要学的内容为二面角的定义及算法、平面与平面垂直的定义及判定方法。引导学生从生活中的实例出发，通过观察、分析归纳、推理论证等过程。获得线面角的概念及直线与垂直的性质，并能简单应用。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
1.教学重点：了解二面角、面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理．
2.教学难点：灵活运用线面、面面垂直的判定定理解决空间中的位置关系问题．
多媒体
本课从生活实例出发，引导学生观察抽象，分析归纳、推理论证等过程。获得线面角的概念及直线与垂直的性质，并能简单应用。从而发展学生的逻辑推理、数学建模和直观想象的核心素养。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。课程目标
学科素养
A.了解二面角、面面垂直的定义．
B.掌握面面垂直的判定定理．
C.灵活运用线面、面面垂直的判定定理解决空间中的位置关系问题．
1.数学抽象： 二面角的定义
2.逻辑推理：平面与平面垂直的判定定理
3.直观想象：二面角
4.数学建模：常见的平面与平面垂直的证明方法
5.数学运算：二面角的算法
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、情境与问题
1. 二面角
如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角” 变大的感觉，你认为应该怎样刻画面面“夹角”呢？
二面角
概念
平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分通称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图示
平面角定义
在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角
图示
符号
OAα，OBβ，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角
范围
[0，π]
规定
二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角
记法
棱为l，面分别为α，β的二面角记为α­l­β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P­l­Q.
1.判断正误.
(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角. ( )
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补. ( )
(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角. ( )
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系. ( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
例1.如图所示，在正方体中，求二面角的大小。
解：连接和，由已知有
面
所以
因此即为二面角的平面角
由于是等腰直角三角形，因此，
所以二面角的大小为.
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α­a­β的平面角．
方法二：(垂线法)过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．
如图所示，∠ACB为二面角α­m­β的平面角．
跟踪训练1．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B1的正切值．

[解] 取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1
所以∠BOB1即是二面角B­A1C1­B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝eq \f(\r(2),2)a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq \f(BB1,OB1)＝eq \f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq \r(2).
所以二面角B­A1C1­B1的正切值为eq \r(2).
2.平面与平面垂直
1．定义：一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
2．画法
面面垂直的判定定理
(1)文字叙述：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)图形表示：
(3)符号表示：如果l⊂α，l⊥β，则α⊥β.
(4)作用：证明平面与平面垂直.
证明：当时，与一定相交，
如图所示，设
过O在平面内作与垂直的直线，则有，
从而可知与所成角的大小为 ,因此
注：由面面垂直的判定定理，容易证明直棱柱的每个侧面都与底面互相垂直，理由是直棱柱的侧棱垂直于底面。
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有____个．
答案：1个或无数个
设平面外一点为A，平面内一点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
2．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如图，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．
答案：3 平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．
例2.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A1E.
(1)求证：平面A1AD⊥平面BCC1B1；
(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.
证明 (1)∵ABC－A1B1C1为正三棱柱，
∴BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，
∴AD⊥BB1，又D为BC的中点，
∴AD⊥BC，又BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1.
∴AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADA1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
(2)∵ABC－A1B1C1为正三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC，又DE⊂平面ABC，
∴AA1⊥DE，∵DE⊥A1E，
又A1E∩AA1＝A1，
∴DE⊥平面ACC1A1，
又DE⊂平面A1DE，∴平面A1DE⊥平面ACC1A1.
证明面面垂直的两个方法及实质
(1)定义法：证明二面角的平面角为直角．
步骤：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，说明这两个平面互相垂直．
(2)判定定理法：证明一个平面经过另一个平面的垂线，一般是在现有的直线中找平面的垂线，若这样的直线在现有的图形中不存在，则可通过作辅助线来解决．
实质：证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直来证明，进而转化为线线垂直，其中体现了化归与转化的数学思想．
跟踪训练1.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F.
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F

[证明] (1)因为D，E分别是AB，BC的中点，所以DE∥AC，又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，又因为A1C1面A1C1F，且DE平面A1C1F，所以DE∥平面A1C1F.
(2)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1.又因为A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B，所以A1C1⊥B1D，又A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F，又因为B1D平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.
由生活实例出发，让学生经历直观想象，分析概括，获得二面角的概念。发展学生 数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。
通过定理思辨，提升学生对二面角定义的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
通过典例分析，提高学生对面面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
三、达标检测
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的一条直线不一定垂直于另一个平面． ( )
(2)如果两个平面互相垂直，那么分别在两个平面内的两条直线分别
垂直． ( )
[解析] (1)正确． (2)错误．可能平行，也可能相交或异面．
[答案] (1)√ (2)×
2. 四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求：
(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;
(2) 二面角B-PA-D的平面角的度数;
(3)二面角B-PA-C的平面角的度数;
(4)二面角B-PC-D的平面角的度数.
解:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
又CD⊂平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.
所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意知∠BAD=90°,
所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.
(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.
所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.
由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,
从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.
所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
设AB=a,则PA=AB=BC=a,
所以PB=2a,PC=3a,
所以BE=PB·BCPC=6a3,BD=2a.
所以sin∠BEO=BOBE=22a63a=32.
所以∠BEO=60°.所以∠BED=120°.
所以二面角B-PC-D的平面角的度数为120°.
3.如图所示，三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
[证明] 因为平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
所以PA⊥平面ABC.又BC平面ABC，
所以PA⊥BC.
又因为AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB平面PAB，
PA平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.又BC平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养。
四、小结
1．求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角，这就需要紧扣它的三个条件，即这个角的顶点是否在棱上；角的两边是否分别在两个平面内；这两边是否都与棱垂直．在具体作图时，还要注意掌握一些作二面角的平面角的方法技巧，如：线面的垂直、图形的对称性、与棱垂直的面等．
2．面面垂直的判定方法
(1)定义法：求得二面角的平面角是直角．
(2)判定一个平面是否经过另一个平面的一条垂线．
(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。