必修 第四册9.1.2 余弦定理教案设计

课程目标

学科素养

A. 能够运用不同的数学方法推导余弦定理，能运用余弦定理解决相关边角问题。

B. 能利用余弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.

C. 培养学生知识的迁移能力、归纳总结能力、运用所学知识解决问题能力。培养学生方程思想，转化和划归思想。

1.数学抽象：余弦定理；

2.逻辑推理：余弦定理的推导；

3.数学运算：余弦定理的应用；

4.直观想象：几何问题代数化，数形结合思想；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

    一、温故知新

正弦定理：

二、情境与探究

利用如图9-1-6（1）所示的现代测量工具，可以方便地测量出三点之间的一些距离和角，从而可得到未知的距离与角

      例如如图9-1-6（2）所示，AB，分别是两个山峰的顶点，在山脚下任意选择一点C，然后使用测量仪得出AC, BC以及角的大小，你能根据这三个量求出AB吗？

情景中的问题可以转化为已知a , b和角C，如何求c?类似的问题，可以通过构造直角三角形来解决，也可以借助向量来求解.

研究：在三角形ABC中，AB＝c，BC=a，CA=b,

即：

余弦定理：三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

[xb21cn1][xb21cn2][xb21cn3][xb21cn4]

应用：已知两边和一个夹角，求第三边．

由余弦定理变型得：

；；

应用：已知三条边求角度．

做一做

1．思考辨析

(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形．(　　)

(2)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)

(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×　

提示：由余弦定理可知，已知△ABC的两边和其夹角时，第三边是唯一确定的，所以△ABC是唯一的，(3)错误．

2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c＝________.

2　[根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6×cos 120°＝76，c＝2.]

3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则B＝________.

60°　[cos B＝＝＝，B＝60°.]

归纳总结

用余弦定理,可解决两类问题： 

①已知两边和它们的夹角,  求第三边和其它两个角；（SAS）

②已知三边，求三个角.（SSS）

三、典例解析

例3．在△ABC中，已知acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．

解法一：∵cosA＝，

cosB＝

∴•a＝•b，

化简得：a2c2﹣a4＝b2c2﹣b4，

即（a2﹣b2）c2＝（a2﹣b2）（a2+b2），

①若a2﹣b2＝0时，a＝b，此时△ABC是等腰三角形；

②若a2﹣b2≠0，a2+b2＝c2，此时△ABC是直角三角形，

所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．

解法二：在△ABC中，由acosA=bcosB，

得：sinAcosA=sinBcosB，

∴  sin2A=sin2B．

∴  2A=2B或2A+2B=π．

∴  A=B或

∴ △ABC是等腰三角形或直角三角形．

例4．如图所示，平面四边形ABCD中，已知B+D=180°，AB=2，BC=，CD=4，AD=，求四边形ABCD的面积.

解:连接A,C，如图所示，

在

因为B+D=180°，所以cosB=-cosD

因此，

解得：cosB=0，因此cosD=0，则B=D=90°

从而四边形ABCD面积为.=4（）

例5.在△ABC中， 求证：a＝bcosC+ccosB

证明：如图所示

∵，

∴

∴a2＝accosB+bacosC

∴a＝bcosC+ccosB

通过对正弦定理的回顾。提出问题，类比进行余弦定理的推导。提高学生类比推理，逻辑推理的核心素养。

运用向量运算，推导出余弦定理，让学生体会知识间的联系，发展学生逻辑推理的核心素养。

通过余弦定理的简单运用，强化对定理的理解和运用，提升学生数学运算核心素养。

及时归纳总结，提高学生分析解决问题的能力。

通过例题进一步熟悉运用余弦定理解决解三角形问题能力，提高学生的数学运算及逻辑推理和直观想象的核心素养。

三、达标检测

 1．已知a，b，c是△ABC的三边长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)

A．60°　　　　B．90°         C．120°       D．150°

【答案】C　[由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，

∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，

∴cos C＝－，∴C＝120°.]

2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)

A.           B.             C.          D.

【答案】B　[由三角形边角关系可知，角C为△ABC的最小角，

则cosC＝＝＝，所以C＝，故选B.]

3．在△ABC中，若a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．

【答案】等腰三角形　[法一：∵a＝2bcos C＝2b·＝，∴a2＝a2＋b2－c2，即b2＝c2，b＝c，

∴△ABC为等腰三角形．

法二：∵a＝2bcos C，∴sin A＝2sin Bcos C，

而sinA＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，

∴cos Bsin C＝sin Bcos C，即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，

∴sin(B－C)＝0.又－180°<B－C<180°，

∴B－C＝0，即B＝C.∴△ABC为等腰三角形．]

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝C,2b＝a，则cos A＝________.

【答案】　[由B＝C,2b＝a，可得b＝c＝a，所以cos A＝＝＝.]

5．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，角C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边c的长．

【答案】　5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)·(x＋2)＝0，

∴x1＝，x2＝－2(舍去)，∴cos C＝.

根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16，

∴c＝4，即第三边长为4.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，感悟其中蕴含的方程思想，增强学生的数学运算的核心素养。

四、小结

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题

(1)已知两边和夹角，解三角形．

(2)已知三边求三角形的任意一角．

2．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论．如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单．

3．对所给条件进行变形，主要有两种途径

(1)化边为角．

(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理进行边、角转换．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。