人教B版 (2019)必修 第四册11.4.2 平面与平面垂直教案及反思

课程目标

学科素养

A.掌握面面垂直的性质定理．

B.灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题．

1.数学抽象：面面垂直的性质

2.逻辑推理： 空间中垂直关系的证明

3.直观想象： 空间中垂直关系的观察

4.数学建模：常见的平面与平面垂直的证明方法

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情境与问题

平面与平面垂直的性质定理:

如果平面与平面相互垂直，能得出什么性质呢？

证明：如图所示，设，过O在平面内作与垂直的直线OB，

则为二面角的平面角。

因为，所以，因此 

又因为且，所以

面面垂直的性质定理

例1.如图所示，已知，在与的交线上取线段，且分别在平面和平面内，它们都垂直于交线，并且，求的长。

解：连接

因为，所以

又因为，所以，因此是直角三角形

在中，有

进而在中，有

例2. 如图，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC，

求证：BC⊥AC．

证明　过A作AE⊥PC于E，由平面PAC⊥平面PBC，

且平面PAC∩平面PBC＝PC，可知AE⊥平面PBC．

又BC⊂平面PBC，故AE⊥BC．

又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC．

∵PA∩AE＝A，PA，AE⊂平面PAC．∴BC⊥平面PAC．

又AC⊂平面PAC，故BC⊥AC．

  1．平面与平面垂直的性质定理的三个作用

(1)证明直线与平面垂直．

(2)证明直线与直线平行．

(3)作平面的垂线．

2．垂直间的相互转换

跟踪训练1. 如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD；

(2)求证：AD⊥PB.

 [思路探究]　(1)―→

―→

(2)要证AD⊥PB，只需证AD⊥平面PBG即可．

[证明]　(1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，

由已知∠DAB＝60°，

∴△ABD为正三角形，∵G是AD的中点，∴BG⊥AD.

∵平面PAD⊥平面ABCD，

且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.

(2)如图，连接PG.

∵△PAD是正三角形，G是AD的中点，

∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.

∴AD⊥平面PBG.

而PB平面PBG，∴AD⊥PB.

平面与平面垂直的判定和性质定理综合应用

例3.如图所示，已知中，，是斜边上的高，如图所示，以AD为折痕将折起，

使为直角，在图（2）中，求证：

（1）面面BDC，面面BDC；

（2）

证明：（1）由已知有，因此在图（2）中，

有面

又因为面，所以面面

同理，面面

（2）因为，所以图（1）中，有 ，从而

因此图（2）中是等腰直角三角形，所以

，从而，所以 

线面、面面垂直的综合问题的解题策略

(1)重视转化

涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直，转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直．

(2)充分挖掘线面垂直关系

解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．

跟踪训练2. 如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：

(1)EN∥平面PDC；

(2)BC⊥平面PEB；

(3)平面PBC⊥平面ADMN.

[思路探究]　(1)证明EN∥DM；(2)由AD∥BC可证AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可证PB⊥平面ADMN.

[证明]　(1)因为AD∥BC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC.

又因为平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN.

又因为BC∥AD，所以MN∥BC.

又因为N是PB的中点，所以点M为PC的中点．

所以MN∥BC且MN＝BC，

又因为E为AD的中点，所以MN∥DE，且MN＝DE.

所以四边形DENM为平行四边形．

所以EN∥DM，且EN平面PDC，DM平面PDC.

所以EN∥平面PDC.

(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形，

且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD.

又因为侧面PAD是正三角形，且E为AD中点，

所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.

又因为AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.

(3)由(2)知AD⊥平面PBE，

又PB平面PBE，所以AD⊥PB.

又因为PA＝AB，N为PB的中点，所以AN⊥PB.

且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.

又因为PB平面PBC. 所以平面PBC⊥平面ADMN.  

由面面判定定理出发，提出问题，让学生经历直观想象，分析概括，推理论证，获得面面垂直的性质定理。发展学生 数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。

通过定理思辨，提升学生对面面垂直性质的准确理解和应用能力，发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。

通过典例分析，提高学生对面面垂直证明的应用能力，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

三、达标检测

1．下列命题中错误的是(　　)

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

D　[如果平面α⊥平面β，那么平面α内垂直于交线的直线都垂直于平面β，其他与交线不垂直的直线均不与平面β垂直，故D项叙述是错误的．]

2．下列四个命题中，正确的序号有________．

①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；

②α∥β，β∥γ，则α∥γ；

③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；

④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.

①②　[③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．]

3.如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.

(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明.

(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.

解:(1)BC⊥平面PAC.

证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.

又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAC.

(2)因为BC⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.

4.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为AB的中点，N为BC的中点，沿DE将△ADE折起．

若平面ADE⊥平面BCDE，求证：AB＝AC．

证明　(1)取DE的中点M，连接AM，

∵在翻折前，ABCD为矩形，AB＝2AD，E为AB的中点，

∴翻折后AD＝AE，且AM⊥DE，

又平面ADE⊥平面BCDE，∴AM⊥平面BCDE，

∴AM⊥BC，又N为BC的中点，∴MN⊥BC，∵AM∩MN＝M，

∴BC⊥平面AMN，∴BC⊥AN，

又N为BC的中点，∴AB＝AC．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学直观、逻辑推理、数学建模的核心素养。

四、小结

1．利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：

(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线．

2．面面垂直的判定和性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内

在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。