人教B版 (2019)必修 第四册11.1.3 多面体与棱柱学案

11.1.3 多面体与棱柱

【学习重点】

多面体的定义及分类、棱柱的定义及分类、多面体内的长度、面积计算

【学习难点】

多面体内的长度、面积计算

问题1：多面体

知识点1：多面体的定义和相关概念

(1)定义：由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为         

(2)相关概念：

面：                        

棱：                       

顶点：                       

面对角线：                                                   如图是一条面对角线。

体对角线：                                               ，如图是一条面对角线。

截面：                                                ，如图就是多面体的一个截面.

知识点2：多面体的分类

(1)把多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则称这样的多面体为                     .

(2)多面体可以按照                        来命名，如四面体，五面体，六面体等.

知识点3：多面体的表面积

多面体的表面积(或全面积)：                                 .

例1.如图所示的多面体，其各个面的边长为2的等边三角形

（1）写出AB所在直线与所在平面的位置关系，并用符号表示；

（2）求这个多面体的表面积.

注：以后将不再区分一个多面体的棱和这条棱所在的直线，也不再区分多面体的一个面和这个面所在的平面，在此前提下，例1的（1）可简单说成“AB与面EBC的关系”。

解答：

问题2：棱柱

知识点4：棱柱的定义及相关概念

(1)定义：有两个面              ，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是          ，这样的多面体称为棱柱.

(2)相关概念：

①棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的           (底面水平放置时，分别称为        、        )，其他各面称为棱柱的          ，两个侧面的公共边称为棱柱的         

棱柱可以用底面上的顶点来表示，例如，图11-1-24（1）所示的棱柱可表示为棱柱，图11-2-24（2）所示的棱柱可表示为棱柱.

②过棱柱一个底面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的          .棱柱的所有侧面的面积之和称为棱柱的          .

知识点5：棱柱的分类

①按底面的形状分类，例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可分别称为          、          、          .

②按侧棱与底面的位置关系分为：直棱柱和斜棱柱，其中侧棱垂直于底面的棱柱称为           (不是直棱柱的棱柱称为          )，底面是正多边形的直棱柱称为          .

图11-2-24的（1）为          、（2）（3）为          、且（3）为          。

知识点6：几类特殊的四棱柱

平行六面体：底面是                    的棱柱；

直平行六面体：侧棱与底面          的平行六面体；

长方体：底面是          的直平行六面体；

正方体：棱长都相等的长方体.

如图，除（1）外，其他的都是平行六面体，且（3）（4）（5）都是直平行六面体，（4）为长方体，（5）为正方体.

【对点练习】

1.棱长都相等的直四棱柱是正方体.(   )

2.棱柱的侧棱都互相平行且相等.(   )

3.正四棱柱包含着长方体.(   )

4.棱柱的侧面都是(　　)

A.三角形    B.四边形     C.五边形    D.矩形

5.四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　)

A.四条侧棱、四个顶点    B.八条侧棱、四个顶点

C.四条侧棱、八个顶点    D.六条侧棱、八个顶点

6.下列关于棱柱的说法中正确的是(　　)

A.棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

B.棱柱的一条侧棱的长叫做棱柱的高

C.棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

D.棱柱的所有面中，至少有两个面互相平行

7.如图所示，一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________(填序号).

8.按照特殊四棱柱的定义，四棱柱、平行六面体、长方体、直平行六面体、正四棱柱、正方体所构成的集合有怎样的关系？

例2.如图所示的长方体中，已知，求长方体的体对角线的长.

【变式练习】

1.若长方体的相邻三个面的面积分别为，，，求长方体的体对角线的长.

2.正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积是(　　)

A.48(3＋)    B.48(3＋2)

C.28    D.20＋8

例3.如图是棱长都为1的直平行六面体，且

（1）写出直线与直线，直线与面，面与面之间的位置关系；

（2）求这个直平行六面体的表面积；

（3）求线段的长.

【变式练习】

1.正四面体(由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等)的棱长为4 cm，如图.

(1)写出正四面体的顶点数、棱数；

(2)写出AB所在直线与△ACD所在平面的位置关系，用符号表示，并判断AB与CD所在直线的位置关系；

(3)求这个正四面体的表面积.

2.如图，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A′，求爬行的最小距离.