人教B版 (2019)必修 第四册11.4.1 直线与平面垂直第1课时学案

11.4.1 直线与平面垂直（1）

【学习重点】

线线角的定义，求解，线面垂直的定义，判定

【学习难点】

异面直线夹角的求解、线线垂直与线面垂直的转化

问题1：直线与直线所成角

思考：两条相交直线所成角怎么定义?

知识点1：相交直线所成角

两条相交直线所成的角的大小，指的是它们相交所得到的                  的角的大小.

知识点2:异面直线所成的角            

(1)定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a， b     

    的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．

例如，图11-4-2中，与所成角的大小，等于与所成角的大小，即为                  ；与所成角的大小，即为                  .

(2)异面直线所成角θ的取值范围：                 

(3)规定：空间中两条平行直线所成角的大小为                 

空间中两条直线l，m所成角的大小为                  时，称l与m互相垂直，记作l⊥m.

若a∥b且b⊥c，则一定有                 

(4)空间两条直线所成角θ的取值范围：                 

【对点快练】

1．思考辨析

(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．(　　)

(2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　　)

(3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　　)

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.

例1. 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．

【变式练习】

如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

问题2:直线与平面垂直

知识点：直线与平面垂直的定义

(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线                  ，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)符号表示：                 

(3)图形表示：

【对点快练】

思考

1.如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?

2.做一做

(1)判断正误.

①若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. (        )

②垂直于同一条直线的两条直线平行. (        )

③垂直于同一条直线的两条直线垂直. (        )

④垂直于同一个平面的两条直线平行. (        )

⑤垂直于同一条直线的直线和平面平行. (        )

 (2)直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能 (        )

A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直

日常生活中，很多线面的形象可以抽象成直线与平面垂直，如图所示。

由于平面内过指定点的直线有无数条，因此利用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直是不便于操作的，所以我们有必要寻求其他方法来判定直线与平面垂直。

问题3：直线与平面垂直的判定定理

知识点：直线与平面垂直的判定定理 

(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的                  垂直，则这条直线与这个平面垂直．

(2)图形语言：

(3)符号语言：                                                                       

(4)作用：证明直线与平面                 

【对点快练】

1.垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何?

2.做一做

(1)一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是 (        )

A.①③ B.② 

C.②④ D.①②④

 (2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.

例2.地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由

例3.如图所示的四棱锥中，已知底面是一个平行四边形，，且，求证：面

注：例3中，SO实际上是四棱锥的高，因此利用线面垂直的判定定理，可以找出几何体的高

【变式练习】

如图所示，在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，求证：PH⊥平面ABC．