人教B版 (2019)必修 第四册10.2.2 复数的乘法与除法教案及反思

10.2.2 复数的加法和减法

本次内容为复数代数形式的加减运算及其几何意义的教学。复数代数形式的四则运算，即复数代数形式的加法、减法、乘法和除法，重点是加法和乘法。复数加法和乘法的法则是规定的，其合理性表现在这种规定与实数的加法、乘法的法则是一致的，而且实数加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立。由减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算的规定，就可以得到复数减法、除法的运算法则。复数代数形式的四则运算可以类比代数形式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等，利用=-1，将它们归结为实数的四则运算。复数的加法，减法运算还可以通过向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则来进行，这就把复数及其加、减法运算与向量及其加、减运算完美地统一起来了。本节课的教学重点是复数的代数形式的加、减运算及其几何意义；解决它关键是能够将实数的加减法过度过来，并且能够用向量加法、减法的平行四边形法则或三角形法则来掌握复数的加减法的几何意义。

【教学重点】

复数的加法、减法法则，运算律，及对应向量表示和几何意义

【教学难点】

加法、减法几何意义的理解及应用

（一）、复习：       

1、复平面内哪些和复数有一一对应关系？

2、试判断下列复数在复平面中落在哪象限？

3、同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算向量的加减运算满足何种法则？

4、类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？

（二）、新课

引入：

1、复数与向量有什么关系？

复数平面向量；

2、由复数与向量之间联系你能得到什么结论？

问题1：向量的加法是怎样定义的？

若，则

问题2：类比向量的加法，复数的加法可以该怎样进行？

由平面向量的坐标运算：

，即得与复数对应。

问题3：复数的加法法则是什么？

，则。

两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).

其运算法则类似于多项式的合并同类项

问题4：复数加法的几何意义是什么？

复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）

由复数与向量之间的对应关系可以得出复数加法的几何意义：

如果复数所对应的向量分别为与，则当与不共线时，以与为两条邻边作平行四边形，则所对应的向量就是，如图所示.

由复数加法的几何意义可以得出：

设计意图：通过复数与向量的关系，让同学们对复数的加法运算及几何意义有更好的认识。

例1：计算

（1      （2）

解：（1）    （2）

（3）     （4）  

解：（3）   （4）

问题5：复数加法的运算律

1、观察（1）（2）的计算，复数的加法运算满足什么运算规律？

对于任意的有：交换律：。

2、观察（3）（4）的计算，复数的加法运算满足什么运算规律？

对于任意的，有：

结合律：。

尝试与发现:

设，猜测的相反数以及的值.

问题6：相反数的概念

一般地，复数的相反数记作，并规定：

复数减去的差记作：，并规定

例如上述尝试与发现中的相反数为：

因此：

问题7：复数的减法法则

一般的，若，则

，

显然两个复数的差仍是复数.

问题8：复数减法的几何意义是什么？

如果复数所对应的向量分别为与

根据向量加法的三角形法则有：．于是：．

由平面向量的坐标运算：，即得与复数对应．

于是得到复数的几何意义为：

两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应．         

由复数减法的几何意义可以得出：

例2：计算：

（1）       （2）

（3）

解：（1）        （2）       （3）

设计意图：让学生能掌握复数的减法运算。                

变式练习：已知复数，试计算，，

解：

例3.判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数“的真假，并说明理由.

解：这是假命题，理由如下

设，则

从而：

当时，，不是纯虚数.

探索与探究：

根据的几何意义讨论下列各式的几何意义.

（1）

（2）.

六、小结：

两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。