高中人教B版 (2019)11.4.1 直线与平面垂直第1课时教学设计及反思

11.4.1 直线与平面垂直（1）

本节课是人教B版必修4《立体几何初步》第三大节的第4小节的第一课时，介绍直线与直线所成角、线面垂直的定义、判定及其应用。线面垂直的定义是线面垂直最基本的判定方法，而判定定理则体现了线线垂直与线面垂直的转化。学好本节，对于学生建立空间观念，实现从认识平面图形到立体（空间）图形的飞跃有着非常重要的作用。学生在初中几何中已经学过线线垂直，并对线面垂直有直观认识。教学过程中，通过实物于模型的演示，积极地思考，归纳与概括，引导学生类比线线垂直积极的探索线面垂直的判定定理，并用数学语言描述。本课时的教学模式是以教为主导，学为主体，不仅要让学生学会数学，更重要的是要让学生会学数学，采用问题探究和启发的教学模式，学生在自主操作，合作交流，探究结论的过程中，进行思维碰撞，培养质疑思辨，大胆创新的精神。

【教学重点】

线线角的定义，求解，线面垂直的定义，判定

【教学难点】

异面直线夹角的求解、线线垂直与线面垂直的转化

问题1：直线与直线所成角

思考：两条相交直线所成角怎么定义?

分析：两条直线相交，可以形成四个角，其中有些角是对顶角，有些角是邻补角，而且对顶角相等，邻补角互补。如图，直线与直线相交形成的四个角中，与是对顶角，与是邻补角，因此：

知识点1：相交直线所成角

两条相交直线所成的角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.

例如，直线与直线所成角的大小，指的是或的大小.

知识点2:异面直线所成的角            

(1)定义：一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a′，b′，则a′与b′所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小．

例如，图11-4-2中，与所成角的大小，等于与所成角的大小，即为；与所成角的大小，即为.

(2)异面直线所成角θ的取值范围：0°<θ≤90°.

(3)规定：空间中两条平行直线所成角的大小为0°.

空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m互相垂直，记作l⊥m.

若a∥b且b⊥c，则一定有a⊥c.

(4)空间两条直线所成角θ的取值范围：0°≤θ≤90°.

【对点快练】

1．思考辨析

(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．(　　)

(2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．(　　)

(3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)×

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠BAE＝25°，则异面直线AE与B1C1所成的角的大小为________.

答案：65°　∵B1C1∥BC，∴异面直线AE与B1C1所成的角是∠AEB＝90°－25°＝65°.

例1. 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．

解　如图所示，取BD的中点G，连接EG、FG.

∵E、F分别为BC、AD的中点，AB＝CD，

∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB．

∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF.

∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.∴∠EGF＝90°.

∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，

∴EF和AB所成的角是45°.

【变式练习】

如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解：取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，所以EF∥CD，所以∠BEF或其补角为异面直线BE与CD所成的角．在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，所以BE＝.在Rt△AEF中，AC＝1，AF＝，AE＝，所以EF＝.在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，BF＝.

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，所以异面直线BE与CD所成角的余弦值为.

问题2:直线与平面垂直

知识点：直线与平面垂直的定义

(1)文字叙述：如果直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)符号表示：l⊥a⇔∀m⊂α，l⊥m.

(3)图形表示：

【对点快练】

思考

1.如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?

提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.

2.做一做

(1)判断正误.

①若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α. (        )

②垂直于同一条直线的两条直线平行. (        )

③垂直于同一条直线的两条直线垂直. (        )

④垂直于同一个平面的两条直线平行. (        )

⑤垂直于同一条直线的直线和平面平行. (        )

答案:①√　②√　③×　④×　⑤√　⑥×

(2)直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能 (        )

A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直

解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,

又∵m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.

答案:A

日常生活中，很多线面的形象可以抽象成直线与平面垂直，如图所示。

由于平面内过指定点的直线有无数条，因此利用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直是不便于操作的，所以我们有必要寻求其他方法来判定直线与平面垂直。

问题3：直线与平面垂直的判定定理

知识点：直线与平面垂直的判定定理 

(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

(2)图形语言：

(3)符号语言：如果m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α.

(4)作用：证明直线与平面垂直.

【对点快练】

1.垂直于同一直线的两个平面的位置关系如何?

答案:垂直于同一条直线的两个平面平行.已知:AA'⊥α,AA'⊥β,求证:α∥β.

证明:如图所示,设经过直线AA'的两个平面γ,δ分别与平面α,β相交于直线b,b'和a,a'.因为AA'⊥α,AA'⊥β,所以AA'⊥a,AA'⊥a'.

因为AA',a,a'都在平面δ内.

所以a∥a',所以a'∥α(线面平行的判定定理).

同理b'∥α.又因为a'∩b'=A',所以α∥β.

2.做一做

(1)一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是 (        )

A.①③ B.② 

C.②④ D.①②④

解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.

答案:C

(2)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.

证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,

∴AA1⊥平面ABCD.

又∵EF⊥平面ABCD,

∴EF∥AA1.

例2.地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由

分析：根据线面垂直的判定定理，只需检测直杆是否与地面上的两条相交直线垂直即可，又因为利用米尺可以量长度，所以可以借助勾股定理来检测。

解：如图所示，将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得，截取绳子的长度，使得绳长为，拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C，D处，测量BC与BD的长度，如果它们的长度都是0.6m，那么直杆就和地面垂直。

这是因为在中，如果，那么

所以 即

同理可知时，有

又因为三点不共线，所以面，即直杆与地面垂直。

例3.如图所示的四棱锥中，已知底面是一个平行四边形，，且，求证：面

证明：由已知可得为的中点

在中，因为，

所以由等腰三角形三线合一可知；

同理，

又因为，所以面

例3中，SO实际上是四棱锥的高，因此利用线面垂直的判定定理，可以找出几何体的高

【变式练习】

如图所示，在三棱锥P－ABC中，H为△ABC的垂心，AP⊥BC，PC⊥AB，求证：PH⊥平面ABC．

[分析]　欲证线面垂直，只需利用线面垂直的定义及线面垂直的判定定理即可．

证明　连接AH，

∵H为△ABC的垂心，

∴AH⊥BC，又AP⊥BC，

AH∩AP＝A，AH，AP⊂平面AHP，

∴BC⊥平面AHP，又PH⊂平面AHP，

∴PH⊥BC．同理可证PH⊥AB．又AB∩BC＝B，

AB，BC⊂平面ABC，∴PH⊥平面ABC．

小结：

1．求两条异面直线所成角的技巧

(1) 作出异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：

①直接平移法(可利用图中已有的平行线，如平行四边形)；

②中位线平移法；

③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．

(2)如果求得的角的余弦值为负值的话，这说明两条异面直线所成的角应该是所求角的补角，所以在指明所求角的时候，应该说“这个角或其补角”即为所求的角．

2．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的．