人教B版 (2019)必修 第四册10.2.1 复数的加法与减法学案

10.2.1  复数的加法与减法

1.掌握复数的加、减法运算法则，能熟练地进行复数的加、减运算．

2.理解复数加、减法运算的几何意义，能解决相关的问题．

重点：熟练地进行复数的加、减运算；

难点：理解复数加、减法运算的几何意义；

1．复数代数形式的加、减法

(1)运算法则

①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝               ，z1－z2＝                .

②两个共轭复数的和一定是实数．

(a＋c)＋(b＋d)i ；(a－c)＋(b－d)i

(2)加法运算律

设z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝          ，(z1＋z2)＋z3＝            ．

z2＋z1；z1＋(z2＋z3)

2．复数加、减法的几何意义

(1)若复数z1，z2对应的向量分别为，.

(2)||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤||z1|＋|z2||； ||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤||z1|＋|z2||.

一、    情境与问题

复数的加法

      我们知道任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律,即时,必定有,

  那么,复数中的加法应该如何规定,才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？

     设，， ，你认为的值应该是等于多少？由此尝试给出任意两个复数相加的运算法则。

    一般地，设, ，称为，并规定

（）+（ ） （）+（ ）

        显然两个复数的和仍然是复数，而且容易证明,复数的加法运算满足交换律与结合律及对任复数，， ,有

=,

                )

         设，， 求出所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义。

    由复数与向量之间的对应关系，可以得出复数加法的几何意义，如图所示，

由复数加法的几何意义可以得出

复数的减法

     在实数中减去一个数，可以看成加上这个数的相反数。例如，因为3的相反数为，因此，

在复数中是否可以用类似的方法来定义两个复数的减法呢？

      设，，的值。

一般地，复数,，并规定

复数减去的差记作，并规定

=

        一般地，如果, ，则

（） （ ） （）+（ ）

        由复数与向量之间的对应关系同样可以得出复数减法的几何意义；

如果复数与，

               设点满足=, 则所对应的向量就是如图所示

由复数减法的几何意义可以得出；

试一试

1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝(　　)

A．8i　　　　B．6            C．6＋8i             D．6－8i

2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)

A．2＋4i     B．－2＋4i       C．－4＋2i         D．4－2i

3．已知向量1对应的复数为2－3i，向量2对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为__________．

4．已知z1＝3＋4i，z2＝4－3i，则(z1＋z2)－(1＋2)＝__________.

二、典例解析

【例1】　(1)＋(2－i)－＝________.

(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.

(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.

【例2】　(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为__________．

(2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.

【变式探究】

若把本例(2)中的条件“|z1＋z2|＝”改为“|z1－z2|＝1”，则|z1＋z2|等于多少？

[探究问题]

1．在实数范围内a－b＞0⇔a＞b恒成立，在复数范围内是否有z1－z2＞0⇒z1＞z2恒成立呢？

2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？

【例3】　(1).复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,2,5＋3i，由A→B→C→D按逆时针顺序作ABCD，求|.

 (2)．已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)复数与向量一一对应．  (　　)

(2)复数与复数相加减后结果只能是实数． (　　)

(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．

2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)

A．－1＋i　　　B．1－i　　　C．i　　　 D．－i

3．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是(　　)

A．－2         B．4         C．3      D．－4

4．实部为5，模与复数4－3i的模相等的复数的个数为________个．

5．在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．

1．复数的加减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数的加减法可推广到多个复数相加减的情形．

2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数．

3．根据复数加法的几何意义知，两个复数对应向量的和所对应的复数就是这两个复数的和．

4．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．

参考答案：

学习过程

试一试

1．B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6.]

2．D　[依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]

3． 1－i　[＝2－1＝(3－4i)－(2－3i)＝1－i.]

4．2i　[z1＋z2＝3＋4i＋4－3i＝7＋i，1＋2＝3－4i＋4＋3i＝7－i，

∴(z1＋z2)－(1＋2)＝7＋i－(7－i)＝2i.]

二、典例解析

【例1】　(1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i＝1＋i.]

(2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.

法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.

(3)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i.

【例2】　[思路探究]　(1)先写出点A，B，C的坐标，利用向量＝D列方程求解．

(2)由复数的几何意义，画出图形，利用平行四边形解决．

(1)3＋5i　[设D(x，y)，类比向量的运算知A＝D，所以有复数－i－(1＋3i)＝2＋i－(x＋yi)，得x＝3，y＝5，所以D对应的复数为3＋5i.]

(2)[解]　设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z 中，由余弦定理，得

cos∠OZ1Z＝＝－，

所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°，

因此△OZ1Z2是正三角形，所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1

【变式探究】 [解]　设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，由|z1|＝|z2|＝1，|z1－z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形OZ1ZZ2，OZ为对角线，△OZ1Z2为正三角形，由余弦定理，

得|z1＋z2|2＝|z1|2＋|z2|2－2|z1|·|z2|cos∠OZ1Z，

因为∠Z1OZ2＝60°，所以∠OZ1Z＝120°，

所以|z1＋z2|＝.

1．提示： 例如z1＝1＋i，z2＝i，虽然z1－z2＝1＞0，

但不能说1＋i大于i.

2．提示：复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．

【例3】（1） [思路探究]　首先由A，C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解出点D的坐标．

 [解]　如图，设D(x，y)，F为ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，

所以即

所以点D对应的复数为z＝3＋4i，所以＝－＝3＋4i－2＝1＋4i，所以||＝.

 (2)． [解]　由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，

又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，

最小距离为5－1＝4.即|z|最大值＝6，|z|最小值＝4.

达标检测

1．[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．A　[(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A．]

3．B　[z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]

4． 1　[依题意设z＝5＋bi，则|z|＝，而|4－3i|＝＝5，所以＝5，即b＝0.]

5． [解]　如图，由复数加减法的几何意义，知＝＋，

∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，

∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，

∴|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.