高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步本章综合与测试教案

11.5 综合复习习题课（2）

本节课主要复习平面的基本事实与推论、直线与平面、平面与平面的平行及垂直关系的判定、性质定理及其简单应用。线、面的垂直关系是空间位置关系中的核心内容之一，是线面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。同时，线、面关系中特殊而且重要的一种位置关系，是平面内平行、垂直关系的拓展，是学生进一步研究空间距离和夹角的基础，在教材中起到了承上启下的作用。同时，线、面垂直关系的转化，能较好的培养和提高学生的转化意识和能力，对学生的空间想象能力的提高有举足轻重的作用。

【教学重点】

空间中线线、线面、面面平行关系的相互转化和综合应用、线线、线面、面面垂直关系的相互转化和综合应用

【教学难点】

空间问题和平面问题的转化

考点1：截面、共点、共线、共面问题

例1.如图，在空间四边形中，分别是的中点，分别在上，且.

（1）求证：四点共面；

（2）设与交于点，求证：三点共线.

证明：（1）因为分别为的中点，

所以.

在中，，

所以，所以.

所以四点共面.

（2）因为，所以，又因为平面，

所以平面，

同理平面，

所以为平面与平面的一个公共点.

又平面平面.

所以，所以三点共线.

【变式练习】

如图所示的几何体中，，，，且，，，.求证:直线，，相交于同一点.

【解析】

证明∵，，

∴直线，确定一个平面，并且直线，相交，设.①

∵，∴与确定一个平面，

∵平面，∴平面.

同理平面.

又因为平面平面，∴.②

由①②可知，，，三线共点，即直线，，相交于同一点.

例2．如图，在正方体中，是的中点，画出过点，的平面与平面的交线，并说明理由.

【解析】

如图，取的中点，连接.又因为是的中点，所以.

在正方体中，，所以四边形是平行四边形.

所以，所以，所以四点共面.

因为平面，平面，平面，平面，

所以平面平面.

所以过点的平面与平面的交线为.

【变式练习】

在棱长为4的正方体中，点分别为的中点，则过三点的平面与正方体各个面的交线组成的平面多边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图所示：连接，为中点，易知，四边形为平行四边形，故，，故，故四点共面，

故交线组成的平面多边形.

，四边形为菱形，

，，故.

故选：.

【解题方法】

1.平面的基本性质的应用

公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据.

2.证明点共线问题的常用方法

（1）公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上；

（2）同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.

3.证明线共点问题的方法,先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.

4.证明点、直线共面问题的常用方法

（1）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；

（2）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.

考点2：空间中的位置关系

例3. 设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ）

A．若，与所成的角相等，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】C

【解析】

试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A错.

若，，则或，B错. 若，，则正确. D．若，，则 ，相交或，异面，D错

【变式练习】

设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【解析】

选项A错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面；

选项B错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；

选项C错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；

选项D正确，由，便得，又，，即.

故选：D.

考点3：空间中的平行关系

例4.如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，点G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH.

【证明】　如图，连接DG，CD，设CD∩FG＝O，连接OH.

在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，点G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，所以点O为CD的中点．

又因为点H为BC的中点，所以OH∥BD.

又因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，

所以BD∥平面FGH.

例5. 如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

【解】　(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC，同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK，

因为PA＝PC，点O是AC的中点，所以PO⊥AC，

同理可得PO⊥BD，

又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以PO⊥底面ABCD，又因为平面GEFH⊥平面ABCD，且PO⊄平面GEFH，

所以PO∥平面GEFH，

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，从而GK⊥EF，所以GK是梯形GEFH的高，由AB＝8，EB＝2得EB：AB＝KB：DB＝1：4，从而KB＝BD＝OB，即点K是OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝PO，即点G是PB的中点，同理GH＝BC＝4，由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.

例6. 如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．

(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；

(2)若平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，证明：B1D1∥l.

证明：(1)由题设知BB1//DD1，

所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.

又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，

所以BD∥平面CD1B1.

因为A1D1//B1C1//BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，

所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，

所以A1B∥平面CD1B1.

又因为BD∩A1B＝B，所以平面A1BD∥平面CD1B1.

(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，

又平面ABCD∩平面B1D1C＝直线l，

平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，

所以直线l∥直线BD，

在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.

【解题方法】

1．线线、线面、面面平行间的转化

其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．

2．直线与平面平行的主要判定方法

(1)定义法；(2)判定定理；(3)面面平行的性质．

3．平面与平面平行的主要判定方法

(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.

考点4：空间中的垂直关系

例7.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)CD⊥AE；

(2)PD⊥平面ABE.

【证明】　(1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

例8.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

【证明】　(1)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1C1∥AC.

在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.

又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.

又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

例9. 如图，在三棱锥A­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；

(2)AD⊥AC.

证明：(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.

(2)因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.

【解题方法】

1．证明线面垂直的方法

(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直⇔a⊥α；

(2)判定定理1：⇒l⊥α；

(3)判定定理2：a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

(4)面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

(5)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

2．证明线线垂直的方法

(1)定义：两条直线所成的角为90°；

(2)平面几何中证明线线垂直的方法；

(3)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

(4)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

3．证明面面垂直的方法

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

4．转化思想：垂直关系的转化

在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．

考点5：空间角的计算

例10.如图，二面角的大小是60°，线段.，

与所成的角为30°.则与平面所成的角的正弦值是        .

【答案】

【解析】

试题分析：过点A作平面β的垂线，垂足为C，

在β内过C作l的垂线．垂足为D，

连接AD，有三垂线定理可知AD⊥l，

故∠ADC为二面角α-l-β的平面角，为60°，

又由已知，∠ABD=30°，

连接CB，则∠ABC为AB与平面β所成的角

设AD=2，则AC=，CD=1

AB==4

∴sin∠ABC==；

故答案为．

例11. 已知三棱柱的所有棱长均相等，侧棱平面，过作平面与平行，设平面与平面的交线为，记直线与直线所成锐角分别为，则这三个角的大小关系为(    )

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

如图，，设为的中点，为的中点，

由图可知过且与平行的平面为平面，所以直线即为直线，

由题易知，的补角，分别为，

设三棱柱的棱长为2，

在中，，

；

在中，，

；

在中，，

，

.

故选：B

例12.已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，

所以四棱锥为正四棱锥，

（1）过作，交于，过底面中心作交于，连接，取中点，连接，如下图（1）所示：则；

（2）连接 如下图（2）所示，则;

（3）连接，则 ，如下图（3）所示： 

因为

所以，

而均为锐角，

所以

故选：C.

【解题方法】

1.求异面直线所成的角的一般步骤

(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.

(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.

(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.

2. 求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.

3. 方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.

方法二(垂线法):过二面角的一个面内的一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.

如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.

方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.

如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.

小结：

1. 平面的基本事实与推论

2. 线线、线面、面面平行间的转化

3. 垂直关系的转化

4.线线角、线面角、面面角