三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编之专题18坐标系与参数方程（解析版）

专题18    坐标系与参数方程

1．【2021·全国高考真题（理）】在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

【答案】（1），（为参数）；（2）或.

【分析】

（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.

【详解】

（1）由题意，的普通方程为，

所以的参数方程为，（为参数）

（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，

由圆心到直线的距离等于1可得，

解得，所以切线方程为或，

将，代入化简得

或

【点晴】

本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.

2．【2021年全国高考甲卷数学（理）试题】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数方程，并判断C与是否有公共点．

【答案】（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数），C与没有公共点.

【分析】

（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；

（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.

【详解】

（1）由曲线C的极坐标方程可得，

将代入可得，即，

即曲线C的直角坐标方程为；

（2）设，设

，

，

则，即，

故P的轨迹的参数方程为（为参数）

曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，

则圆心距为，，两圆内含，

故曲线C与没有公共点.

【点睛】

关键点睛：本题考查参数方程的求解，解题的关键是设出的参数坐标，利用向量关系求解.

3．【2019年高考北京卷理数】已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，可将直线化为普通方程：，即，即，所以点（1，0）到直线的距离，故选D．

【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查．

4．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

（1）当时，是什么曲线？

（2）当时，求与的公共点的直角坐标．

【解析】（1）当k=1时，消去参数t得，故曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆．

（2）当k=4时，消去参数t得的直角坐标方程为．

的直角坐标方程为．

由解得．

故与的公共点的直角坐标为．

5．【2020年高考全国II卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

已知曲线C1，C2的参数方程分别为

C1：（θ为参数），C2：（t为参数）．

（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．

【解析】（1）的普通方程为．

由的参数方程得，，所以．

故的普通方程为．

（2）由得所以的直角坐标为．

设所求圆的圆心的直角坐标为，由题意得，

解得．

因此，所求圆的极坐标方程为．

6．【2020年高考全国III卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），C与坐标轴交于A、B两点．

（1）求；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．

【解析】（1）因为t≠1，由得，所以C与y轴的交点为（0，12）；

由得t=2，所以C与x轴的交点为．

故．

（2）由（1）可知，直线AB的直角坐标方程为，将代入，

得直线AB的极坐标方程．

7．【2020年高考江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在极坐标系中，已知点在直线上，点在圆上（其中，）．

（1）求，的值；

（2）求出直线与圆的公共点的极坐标．

【解析】（1）由，得；，又（0，0）（即（0，））也在圆C上，

因此或0．

（2）由得，所以．

因为，，所以，．

所以公共点的极坐标为．

8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）求C上的点到l距离的最小值．

【答案】（1）；的直角坐标方程为；（2）．

【解析】（1）因为，且，所以C的直角坐标方程为．

的直角坐标方程为．

（2）由（1）可设C的参数方程为（为参数，）．

C上的点到的距离为．

当时，取得最小值7，故C上的点到距离的最小值为．

【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题．

9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P．

（1）当时，求及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

【答案】（1），l的极坐标方程为；

（2）．

【解析】（1）因为在C上，当时，．

由已知得．

设为l上除P的任意一点．在中，，

经检验，点在曲线上．

所以，l的极坐标方程为．

（2）设，在中， 即．

因为P在线段OM上，且，故的取值范围是．

所以，P点轨迹的极坐标方程为．

【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．

10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．

（1）分别写出，，的极坐标方程；

（2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标．

【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）或或或．

【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，．

所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为．

（2）设，由题设及（1）知

若，则，解得；

若，则，解得或；

若，则，解得．

综上，P的极坐标为或或或．

【名师点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题．

11．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点，直线l的方程为．

（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．

【答案】（1）；（2）2．

【解析】（1）设极点为O．在△OAB中，A（3，），B（，），

由余弦定理，得AB=．

（2）因为直线l的方程为，

则直线l过点，倾斜角为．

又，所以点B到直线l的距离为．

【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．