2021年辽宁省“决胜新高考·名校交流”高考数学联考试卷（5月份）

这是一份2021年辽宁省“决胜新高考·名校交流”高考数学联考试卷（5月份），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省“决胜新高考·名校交流”高考数学联考试卷（5月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{x|y＝log2（x2﹣2x﹣3）}，N＝{x|﹣1≤x≤5}，则M∩N＝（　　）
A．[﹣1，3] B．（3，5] C．[3，5] D．（﹣1，3）
2．（5分）某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N（60，4）．甲、乙两名同学正进行尺寸测量练习．
甲、乙对各自抽取的5个零件测量零件内径尺寸（单位：μm）如下，
甲同学测量数据：59，60，62，63，65，
乙同学测量数据：52，53，55，57，62．
则可以判断（　　）
A．甲、乙两个同学测量都正确
B．甲、乙两个同学测量都错误
C．甲同学测量正确，乙同学测量错误
D．甲同学测量错误，乙同学测量正确
3．（5分）函数f（x）＝x3+x2+x+c的零点个数为（　　）
A．1 B．1或2 C．2或3 D．1或2或3
4．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），C上的点到焦点的最近距离为1，其焦点到渐近线的距离为，则C的离心率为（　　）
A．2 B．3 C． D．
5．（5分）某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（　　）（注同一组数据用该组区间的中点值作为代表）

A．中位数为6
B．众数为10
C．平均数为6.88
D．该校读书不低于8本的人数约为3600人
6．（5分）已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（　　）
A．2π B．4π C．6π D．20π
7．（5分）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（　　）
A．24 B．48 C．60 D．120
8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sin2＝1﹣cos2C，若△ABC能盖住的最大圆面积为π，则•的最小值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）已知复数z＝（cosα+sinα）+（cosα﹣sinα）i，则下列说法正确的是（　　）
A．α∈（0，）时，复数对应的点在第一象限内
B．α∈（，）时，复数对应的点在第一象限内
C．复数z的模的最大值为2
D．复数z的模长为定值
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为单位圆与x轴正半轴的交点，角α的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q（a，b），α∈[0，2π]，β∈[，]，以下命题正确的是（　　）
A．若P（，），则tanα＝
B．若P（，），sin（α+β）＝，则cosβ＝
C．若α＝，则1﹣2b2∈[﹣1，]
D．若P（，），β＝，则＝7
11．（5分）如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝1，则（　　）

A．异面直线PB，AC所成的角为60°
B．三棱锥D﹣PBC的体积为
C．直线PD与平面PAC所成的角为30°
D．平面PBD与平面PAB所成的角为30°
12．（5分）已知数列{an}满足：an＝，Sn是数列{an}的前n项和，bn＝，下列命题正确的是（　　）
A．an+1＜ln（）＜an B．数列{bn}是递增数列
C．S2021﹣1＞ln2021＞S2020 D．ln2≤bn＜ln3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知单位向量，的夹角为120°，向量＝﹣+2，＝2+，则向量，夹角的余弦值为 　 　．
14．（5分）已知32≤（C+2C+3C+…+nC）≤512，则n的值可以是 　 　.（填写一个即可）
15．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6y+8＝0，M是圆C上的任意一点，P为直线l：y＝x上任意一点，Q（2，4），则|MP|+|QP|+1的最小值为 　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y＝g（x）在
点（x2，g（x2））处的切线平行，则x1+g（x2）＝　 　；若h（x）＝2x﹣g（x）﹣+1，则h（x）
的最大值为 　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，在①Sn＝（an+3）（n∈N*）；②2Sn＝an（n+1），a3＝9；③a2＝6，S7＝84，2an﹣1＝an﹣2+an（n≥3），这三个条件中选择一个作答．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}的前n项和为Tn，且bnSn＝1，求证：Tn＜．
18．（12分）已知函数f（x）＝cos2（+ωx）+sinωxcosωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若先将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求y＝g（x）﹣|lgx|在（0，+∞）上的零点个数．
19．（12分）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的几何体称为圆台，也可称为“截头圆锥”．在如图的圆台O′O中，上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2．
（Ⅰ）结合圆台的定义，写出截面ABCD的作图过程；
（Ⅱ）圆台截面ABCD与截面ADEF是两个全等的梯形，若AB＝AF＝2，求二面角E﹣AD﹣B的平面角的余弦值．

20．（12分）为了强化体育锻炼，增强青少年体质，国家规定将体育科目纳入高中阶段学校考试招生录取计分科目，并以体育固本行动，开展好学校特色体育项目，大力发展校园体育特色，让每位学生掌握1至2项运动技能，希望学校根据地域特点，大力推广田径、足球、篮球、排球、羽毛球等基础和特色项目．为了增加篮球活动的趣味性，学校设计了如下活动方案：甲、乙两位同学轮流进行投篮比赛，投中自己得1分，对方得0分；不中对方得1分，自己得0分，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多3分或进行完9轮投篮后，活动结束．假设甲、乙两位同学投篮命中率都为，且两人投球命中与否相互独立．已知现在已经进行了3轮投篮比赛，甲得分2分，乙得分1分，在此基础上继续比赛．
（Ⅰ）只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品，求甲获得游戏奖品的概率；
（Ⅱ）设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣﹣．
（Ⅰ）当a＝时，讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．
22．（12分）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），若抛物线过点P（4，8），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．
（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；
（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．
（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；
（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

2021年辽宁省“决胜新高考·名校交流”高考数学联考试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合M＝{x|y＝log2（x2﹣2x﹣3）}，N＝{x|﹣1≤x≤5}，则M∩N＝（　　）
A．[﹣1，3] B．（3，5] C．[3，5] D．（﹣1，3）
【分析】求出集合M，N，由此能求出M∩N．
【解答】解：∵集合M＝{x|y＝log2（x2﹣2x﹣3）}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，
N＝{x|﹣1≤x≤5}，
∴M∩N＝（3，5]．
故选：B．
2．（5分）某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N（60，4）．甲、乙两名同学正进行尺寸测量练习．
甲、乙对各自抽取的5个零件测量零件内径尺寸（单位：μm）如下，
甲同学测量数据：59，60，62，63，65，
乙同学测量数据：52，53，55，57，62．
则可以判断（　　）
A．甲、乙两个同学测量都正确
B．甲、乙两个同学测量都错误
C．甲同学测量正确，乙同学测量错误
D．甲同学测量错误，乙同学测量正确
【分析】根据正态分布的性质可知，绝大多数数据应在均值附近波动，由此进行判断．
【解答】解：由题意知，μ＝60，所以甲、乙测量的数据应该在60上下附近波动，
可知，甲测量的数据正确，而乙的数据偏离60较多，故乙错误．
故选：C．
3．（5分）函数f（x）＝x3+x2+x+c的零点个数为（　　）
A．1 B．1或2 C．2或3 D．1或2或3
【分析】首先求导判断函数的单调性，最后结合零点存在定理，判断函数零点个数．
【解答】解：f′（x）＝3x2+2x+1，
因为△＝4﹣12＝﹣8＜0，
所以f′（x）＞0，
所以f（x）＝x3+x2+x+c在R上单调递增，
又当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，
由零点的存在定理得，函数f（x）＝x3+x+x+c有且只有一个零点，
故选：A．
4．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0），C上的点到焦点的最近距离为1，其焦点到渐近线的距离为，则C的离心率为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【分析】由双曲线上的点到焦点的距离可得a，c的关系，再由焦点到渐近线的距离可得b的值，再由a，b，c之间的关系可得a，c的值，进而求出双曲线的离心率．
【解答】解：由C上的点到焦点的最近距离为1，可得c﹣a＝1，①
焦点（0，c），渐近线方程为：y＝±x，
即ax±by＝0，可得焦点到渐近线的距离d＝＝b＝②
由b2＝c2﹣a2③，
由①②③可得a＝1，c＝2
所以离心率e＝＝2，
故选：A．
5．（5分）某大学共有12000名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取1000名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（　　）（注同一组数据用该组区间的中点值作为代表）

A．中位数为6
B．众数为10
C．平均数为6.88
D．该校读书不低于8本的人数约为3600人
【分析】根据频率分布直方图，即可求出中位数、众数、平均数，计算对应的频率和频数．
【解答】解：由频率分布直方图知，0.06×4＝0.24，0.24+0.10×4＝0.64＞0.5，
所以中位数在[4，8）内，可设为x，则0.24+（x﹣4）×0.10＝0.5，解得x＝6.6，所以中位数是6.6，选项A错误；
最高的小矩形是[4，8），所以众数是×（4+8）＝6，选项B错误；
计算平均数为＝2×0.06×4+6×0.10×4+10×0.07×4+14×0.015×4+18×0.005×4＝6.88，选项C正确；
因为低于8的频率为0.64，所以不低于8的频率为1﹣0.64＝0.36，
所以该校读书不低于8本的人数约为12000×0.36＝4320（人），选项D错误．
故选：C．
6．（5分）已知球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（　　）
A．2π B．4π C．6π D．20π
【分析】直接利用球体和正方体的关系，球和圆柱的关系，二次函数的性质，求出圆柱的侧面积的最大值．
【解答】解：由于球与棱长为2的正方体的各条棱都相切，
所以球的半径为2R＝，解得R＝，
设球体的内接圆柱的底面半径为r，设圆柱的高为h，
则r＝，
所以圆柱的侧面积S＝，
当h＝2时，侧面积的最大值为4π．
故选：B．
7．（5分）已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，那么这m位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（　　）
A．24 B．48 C．60 D．120
【分析】根据题意，由排列数公式可得Amm＝60，解可得m的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，现有m位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的站法共有60种，
则甲同学在乙同学右边的站法共有60种，
故Amm＝60，解可得m＝5，
那么这5位同学围成一个圆时，不同的站法有A55＝24种，
故选：A．
8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sin2＝1﹣cos2C，若△ABC能盖住的最大圆面积为π，则•的最小值为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【分析】根据条件求出C，再根据题意求出△ABC的内切圆的半径r，利用△ABC的面积和余弦定理得到a、b、c的关系，利用基本不等式求出ab的取值范围，即可求出•的最小值．
【解答】解：因为2sin2＝1﹣cos2C，所以1﹣cos（A+B）＝2sin2C，
在△ABC中，可得1+cosC＝2（1﹣cosC）2，
解得cosC＝或cosC＝﹣1（舍），
所以cosC＝，所以C＝；
又△ABC能盖住的最大圆面积为π，
所以△ABC的内切圆面积为π，
所以内切圆的半径为r＝1，
所以△ABC的面积为（a+b+c）r＝basinC，
即a+b+c＝ab，
由余弦定理，得a2+b2﹣c2＝2abcosC＝ab，
所以（a+b）2﹣c2＝3ab，
所以（a+b+c）（a+b﹣c）＝3ab，
所以a+b﹣c＝2，
所以ab+2＝2a+2b≥4，当且仅当a＝b时取“＝”，
即（﹣2）（﹣）≥0，
解得≥2或≤，
又因为S△ABC＝absinC＝ab≥π，
所以ab≥＞4，所以≥2，即ab≥12，
所以•＝abcosC＝ab≥×12＝6，
当且仅当a＝b＝2时取“＝”，
所以•的最小值为6．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．（5分）已知复数z＝（cosα+sinα）+（cosα﹣sinα）i，则下列说法正确的是（　　）
A．α∈（0，）时，复数对应的点在第一象限内
B．α∈（，）时，复数对应的点在第一象限内
C．复数z的模的最大值为2
D．复数z的模长为定值
【分析】先利用辅助角公式化简复数z，然后利用三角函数在各个象限的符号结合复数的几何意义判断选项A，B，由模的定义求出|z|，即可判断选项C，D．
【解答】解：因为cosα+sinα＝，cosα﹣sinα＝，
则z＝（cosα+sinα）+（cosα﹣sinα）i＝，
对于A，当α∈（0，）时，，故，
所以z对应的点在第一象限，故选项A正确；
对于B，当α∈（，）时，，故，
所以z对应的点在第四象限，故选项B错误；
对于C，|z|＝，所以复数z的模为，
故选项C错误，选项D正确．
故选：AD．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为单位圆与x轴正半轴的交点，角α的终边与单位圆相交于点P，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角β后到点Q（a，b），α∈[0，2π]，β∈[，]，以下命题正确的是（　　）
A．若P（，），则tanα＝
B．若P（，），sin（α+β）＝，则cosβ＝
C．若α＝，则1﹣2b2∈[﹣1，]
D．若P（，），β＝，则＝7
【分析】利用三角函数的定义判断选项A，由三角函数的定义结合两角和差公式进行求解，即可判断选项B，利用α+β的范围即可判断选项C，由三角函数的定义结合两角和差公式即可判断选项D．
【解答】解：对于A，由三角函数的定义可知，，故选项A正确；
对于B，由三角函数的定义可知，，
由sin（α+β）＝＜sinα可知，点Q在第二象限，
则，
所以cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝，
故选项B错误；
若α＝，则α+β，
则，
所以1﹣2b2∈[﹣1，]，
故选项C正确；
＝，
故选项D错误．
故选：AC．
11．（5分）如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝1，则（　　）

A．异面直线PB，AC所成的角为60°
B．三棱锥D﹣PBC的体积为
C．直线PD与平面PAC所成的角为30°
D．平面PBD与平面PAB所成的角为30°
【分析】取PD的中点E作PB的平行线得异面直线PB，AC夹角，再计算并判断A；用等体积转发计算并判断B；证BD⊥平面PAC得线面所成的角再计算判断；作出二面角A﹣PB﹣D的平面角，再计算并判断D．
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，
令AC∩BD＝O，
则O是BD，AC的中点，
如图：

取PD的中点E，连接OE，则OE∥PB，
异面直线PB，AC所成的角为∠EOD或其补角，
因为PA⊥平面ABCD，
AP＝AB＝1，
则OE＝OD＝DE＝，
∠EOD＝60°，故A正确；
三棱锥D﹣PBC的体积VD﹣PBC＝VP﹣BCD＝•|PA|•S△BCD＝•1•＝，故B正确；
连接PO，因为BD⊥AC，而BD⊥PA，
即BD⊥平面PAC，
PO是PD在平面PAC内的射影，即∠DPO是直线PD与平面PDC所成的角，
sin∠DPO＝＝，即∠DPO＝30°，故C正确；
取PB中点F，连接AF，DF，则AF⊥PB，
而BD＝PD＝，
则DF⊥PB，即∠AFD是二面角A﹣PB﹣D的平面角，
tan∠AFD＝＝，
∠AFD不等于30°，即D不正确．
故选：ABC．
12．（5分）已知数列{an}满足：an＝，Sn是数列{an}的前n项和，bn＝，下列命题正确的是（　　）
A．an+1＜ln（）＜an B．数列{bn}是递增数列
C．S2021﹣1＞ln2021＞S2020 D．ln2≤bn＜ln3
【分析】可得bn＝＝nln（1+），
A，利用函数f（x）＝ln（x+1）﹣x（x＞﹣1）的单调性可判定A；
B，利用函数g（x）＝xln（1+），（x≥1）的单调性可判定B；
C，利用S2021﹣1﹣S2020＝a2021﹣1＝＜0，即可判定C；
D，利用ln（1+），nln（1+）＝1＜ln3，即可判定D；
【解答】解：依题意bn＝＝nln（1+），
对于A，设f（x）＝ln（x+1）﹣x（x＞﹣1），当x＞0时，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，在（﹣1，0）单调递增，∴f（x）＜f（0），即ln（x+1）＜x，（x＞﹣1），
令x＝，可得ln（1+）＝an，
令x＝﹣，可得ln（1﹣），∴ln＜﹣，即ln＝an+1，故A正确；
对于B，令g（x）＝xln（1+），（x≥1），g′（x）＝ln（x+1）﹣lnx﹣＝＞0（由A选项可得），∴数列{bn}是递增数列，故B正确；
对于C，S2021﹣1﹣S2020＝a2021﹣1＝＜0，故C错；
对于D，∵ln（1+），∴nln（1+）＝1＜ln3，又因为数列{bn}是递增数列，∴bn≥b1＝ln2，故D正确；
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知单位向量，的夹角为120°，向量＝﹣+2，＝2+，则向量，夹角的余弦值为 　﹣　．
【分析】由已知求得，再求出、、||，再由数量积求夹角公式可得向量，夹角的余弦值．
【解答】解：∵单位向量，的夹角为120°，
∴，
又＝﹣+2，＝2+，
∴＝（﹣+2）•（2+）＝＝，
＝＝＝，
＝＝＝，
∴cos＝．
故答案为：．
14．（5分）已知32≤（C+2C+3C+…+nC）≤512，则n的值可以是 　6　.（填写一个即可）
【分析】令Sn＝C+2C+3C+…+nC，由＝，利用倒叙相加法，结合组合数的性质可求得Sn＝n•2n﹣1，从而由不等式可求得n的取值范围，从而可得n的值．
【解答】解：令Sn＝C+2C+3C+…+nC，
则Sn＝nC+（n﹣1）+（n﹣2）+…+2C+C，又＝，
所以两式相加可得2Sn＝nC+nC+nC+…+n+nC＝n（+C+C+…++C）＝n•2n，
所以Sn＝n•2n﹣1，
所以（C+2C+3C+…+nC）＝2n﹣1，
所以32≤2n﹣1≤512，解得6≤n≤10，
所以n的值可以是6，7，8，9，10中的任意一个数．
故答案为：6（答案不唯一）．
15．（5分）已知圆C：x2+y2﹣6y+8＝0，M是圆C上的任意一点，P为直线l：y＝x上任意一点，Q（2，4），则|MP|+|QP|+1的最小值为 　　．
【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣6y+8＝0，得x2+（y﹣3）2＝1，
Q（2，4）关于直线y＝x的对称点为Q′（4，2），C（0，3），

∴|MP|+|QP|+1＝|MP|+|Q′P|+|CM|，
要使|MP|+|QP|+1最小，则C、M、P、Q′四点共线，则最小值为|CQ′|＝．
故答案为：．
16．（5分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝lnx，若曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y＝g（x）在
点（x2，g（x2））处的切线平行，则x1+g（x2）＝　0　；若h（x）＝2x﹣g（x）﹣+1，则h（x）
的最大值为 　2+ln2﹣2e　．
【分析】由题设条件可得f（x）在x1处的导数值等于g（x）在x2处的导数值，再两边取对数即可求得x1+g（x2）；对h（x）求导，再探讨导函数的正负的h（x）的单调区间求解h（x）的最大值．
【解答】解：由f（x）＝ex，得f′（x）＝ex，由g（x）＝lnx，得g′（x）＝，
依题意得f′（x1）＝g′（x2），即⇔⇔⇔x1+lnx2＝0，
即x1+g（x2）＝0；
h（x）＝2x﹣g（x）﹣+1＝，
h′（x）＝2﹣，
令φ（x）＝x﹣e2x（x＞0），则φ′（x）＝1﹣2e2x＜0，
则φ（x）在（0，+∞）上单调递减，φ（x）＜φ（0）＝﹣1，
于是，由h′（x）＝0，得x＝，
当x∈（0，）时，h′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
∴．
故答案为：0；2+ln2﹣2e．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，在①Sn＝（an+3）（n∈N*）；②2Sn＝an（n+1），a3＝9；③a2＝6，S7＝84，2an﹣1＝an﹣2+an（n≥3），这三个条件中选择一个作答．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}的前n项和为Tn，且bnSn＝1，求证：Tn＜．
【分析】（Ⅰ）选条件①时，直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
选条件②时，利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
选条件③时，利用等差中项的应用求出数列的通项公式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用和放缩法的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）选条件①Sn＝（an+3）（n∈N*）；
整理得①，
当n＝1时，解得：a1＝3或0（0舍去）．
故a1＝3，
当n≥2时，，②，
①﹣②得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0；
由于数列为正项数列，
所以an﹣an﹣1＝3（常数），
所以数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列；
则an＝3n（首项符合通项）；
所以an＝3n．
选条件②由于：2Sn＝an（n+1）①，a3＝9；
当n≥2时，2Sn﹣1＝an﹣1•（n﹣1+1），②，
①﹣②得：（n﹣1）an﹣nan＝0，
所以（常数），
故an＝3n；
选条件③时，由于数列满足：2an﹣1＝an﹣2+an（n≥3），
故数列{an}是等差数列；
且a2＝6，S7＝84，
所以，解得d＝3，
故an＝3n；
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
所以，
所以＝．
18．（12分）已知函数f（x）＝cos2（+ωx）+sinωxcosωx﹣（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若先将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，求y＝g（x）﹣|lgx|在（0，+∞）上的零点个数．
【分析】（Ⅰ）由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω，可得它的解析式．
（Ⅱ）由题意，本题即求g（x）得图象和y＝|lgx|的图象在（0，+∞）上的交点个数，数形结合，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝cos2（+ωx）
+sinωxcosωx﹣＝sin2ωx+sin2ωx﹣
＝+sin2ωx﹣＝sin（2ωx﹣）的
最小正周期为＝π
∴ω＝1，f（x）＝sin（2x﹣）．
（Ⅱ）若先将函数f（x）的图象向左平移个
单位长度，可得y＝sin2x的图象；
再将其图象上所有点的横坐标伸长为原来
的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）＝sinx的图象．
求y＝g（x）﹣|lgx|在（0，+∞）上的零点个数，即g（x）得图象和y＝|lgx|的图象的交点个数，如图：
故在（0，+∞）上，即g（x）得图象和y＝|lgx|的图象的交点个数为4．

19．（12分）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的几何体称为圆台，也可称为“截头圆锥”．在如图的圆台O′O中，上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2．
（Ⅰ）结合圆台的定义，写出截面ABCD的作图过程；
（Ⅱ）圆台截面ABCD与截面ADEF是两个全等的梯形，若AB＝AF＝2，求二面角E﹣AD﹣B的平面角的余弦值．

【分析】（Ⅰ）延长圆台的轴与母线交于点P，可得圆锥PO，在底面圆O上任取一点A，连接AP，交圆O′于点D，在底面内以A为圆心画弧，交圆O于点B，连接PB，交圆O′于点C，连接CD，则四边形ABCD即为截面；
（Ⅱ）取AF的中点G，连接OG，在等边三角形OAB与等边三角形OAF中，OG⊥OB，在圆台中，OO′⊥OG，OO′⊥OB，以O为坐标原点，分别以OG、OB、OO′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的法向量与平面ADEF的法向量，由两法向量所成角的余弦值即可求得二面角E﹣AD﹣B的平面角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）延长圆台的轴与母线交于点P，在底面圆O上任取一点A，连接AP，交圆O′于点D，
连接OA，O′D，在圆O内，以点A为圆心画弧，交圆O于点B，
连接OB，PB，交圆O′于点C，连接O′C，CD，则四边形ABCD即为截面；
（Ⅱ）取AF的中点G，连接OG，在等边三角形OAB与等边三角形OAF中，OG⊥OB，
在圆台中，OO′⊥OG，OO′⊥OB，
以O为坐标原点，分别以OG、OB、OO′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵BC＝2，OB＝2，O′C＝1，∴OO′＝，
则点A（，1，0），B（0，2，0），F（，﹣1，0），D（，，），
，，，
设平面ABCD的法向量为，
由，取x1＝1，得；
设平面ADEF的法向量为，
由，取x2＝2，得．
cos＜＞＝＝，
由图可知，二面角E﹣AD﹣B为钝角，
∴二面角E﹣AD﹣B的平面角的余弦值为﹣．


20．（12分）为了强化体育锻炼，增强青少年体质，国家规定将体育科目纳入高中阶段学校考试招生录取计分科目，并以体育固本行动，开展好学校特色体育项目，大力发展校园体育特色，让每位学生掌握1至2项运动技能，希望学校根据地域特点，大力推广田径、足球、篮球、排球、羽毛球等基础和特色项目．为了增加篮球活动的趣味性，学校设计了如下活动方案：甲、乙两位同学轮流进行投篮比赛，投中自己得1分，对方得0分；不中对方得1分，自己得0分，无论谁投篮，每投一次为一轮比赛，规定当一人比另一人多3分或进行完9轮投篮后，活动结束．假设甲、乙两位同学投篮命中率都为，且两人投球命中与否相互独立．已知现在已经进行了3轮投篮比赛，甲得分2分，乙得分1分，在此基础上继续比赛．
（Ⅰ）只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品，求甲获得游戏奖品的概率；
（Ⅱ）设X表示该活动结束时所进行的比赛的总轮数，求X的分布列及数学期望．
【分析】（I）由题意可知，甲获胜，即甲以4：1，5：2，6：3获胜，分别求出三种情况的概率，并求和，即可求解．
（II）由题意可得，X的所有可能取值为5，7，9，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（I）由题意可知，甲获胜，即甲以4：1，5：2，6：3获胜，
故P＝．
（II）由题意可得，X的所有可能取值为5，7，9，
P（X＝5）＝，
P（X＝7）＝，
P（X＝9）＝1﹣P（X＝5）﹣P（X＝7）＝，
X
5
7
9
P



则X的数学期望E（X）＝．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣﹣．
（Ⅰ）当a＝时，讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）当a＝时，f（x）＝lnx﹣（x＞0），求出原函数的导函数，再把分子利用导数求最值，可得导函数在（0，1）上的符号，从而可得f（x）在（0，1）上单调递增；
（Ⅱ）由f（x）≤0，可得a≥，令g（x）＝（x＞0），利用两次求导可得g（x）的极大值为g（1）＝，再由g（x）＝，设φ（x）＝，x∈（0，），再由导数求得φ（x）的范围，即可得到g（x）≤g（1）＝，可得a≥．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝时，f（x）＝lnx﹣（x＞0），
f′（x）＝．
令m（x）＝﹣4x3+3x2+9，则m′（x）＝﹣12x2+6x＝﹣6x（2x﹣1），
当x∈（0，）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
当x∈（）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
∵m（0）＝9＞0，m（1）＝8＞0，∴当x∈（0，1）时，m（x）＞0，
即f′（x）＞0，则f（x）在（0，1）上单调递增；
（Ⅱ）f（x）＝lnx﹣﹣（x＞0），
由f（x）≤0，可得a≥，
令g（x）＝（x＞0），则g′（x）＝2xlnx﹣4x2+4x＝2x（lnx﹣2x+2），
令h（x）＝lnx﹣2x+2（x＞0），则h′（x）＝，
∴当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
∴＞0，
∵h（）＝ln+＜0，∴存在x1∈（），使得h（x1）＝0．
又∵h（1）＝0，∴当x∈（0，x1）时，h（x）＜0，则g′（x）＜0，g（x）为减函数；
当x∈（x1，1）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴g（x）的极大值为g（1）＝．
又g（x）＝，设φ（x）＝，x∈（0，），
则φ′（x）＝＝，
当x∈（0，）时，φ′（x）＞0，又φ（）＝＜0，
∴当x∈（0，）时，g（x）＜0，
∴当x∈（0，x1）时，g（x）＜0，当x∈[x1，+∞）时，g（x）≤，
∴g（x）≤g（1）＝，故a≥．
22．（12分）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），椭圆C2：＝1（a＞b＞0），若抛物线过点P（4，8），抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），且椭圆C2的离心率e＝．
（Ⅰ）求椭圆与抛物线的方程；
（Ⅱ）直线l1的方程为x＝﹣4，若不经过点P的直线l2与抛物线交于A，B（A，B分别在x轴两侧），与直线l1交于点M，与椭圆交于点C，D，设PA，PM，PB的斜率分别为k1，k2，k3，若k1+k3＝2k2．
（ⅰ）证明：直线l2恒过定点；
（ⅱ）点D关于x轴的对称点为D′，试问△CFD′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用焦点坐标，求出抛物线的标准方程，由椭圆的离心率求出a的值，从而求出b的值，即可得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）（i）当直线l2的斜率k＝0时，不符合题意；当直线l2的存在且不为0时，设直线l2：y＝kx+b，求出点M的坐标，将直线与椭圆的方程联立，得到韦达定理，求出直线PA，PB，PM的斜率，由k1+k3＝2k2，进行化简整理，得到b＝4k或b＝﹣4k，分别求解即可证明；
（ii）设直线CD的方程为x＝ty+4（t≠0），与椭圆方程联立，得到韦达定理，表示出直线CD'的方程，确定定点N的坐标，表示出△CFD′的面积，由基本不等式求解最值即可．
【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，
因为抛物线与椭圆有共同的焦点F（4，0），
则y2＝16x且c＝4，
因为椭圆C2的离心率为e＝，解得a＝5，
所以b2＝a2﹣c2＝9，
故椭圆C2的方程为，
抛物线C1的方程为y2＝16x；
（Ⅱ）（i）证明：当直线l2的斜率k＝0时，不符合题意；
当直线l2的存在且不为0时，设直线l2：y＝kx+b，
令x＝﹣4，可得y＝﹣4x+b，
则点M（﹣4，﹣4k+b），设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，可得ky2﹣16y+16b＝0，
则△＞0，所以，
直线PA的斜率，
同理可得直线PB的斜率为，
直线PM的斜率为，
因为k1+k3＝2k2，
所以，即，
整理可得，，
所以b＝4k或b＝﹣4k，
当b＝4k时，y1y2＝64，与A，B在x轴两侧矛盾；
当b＝﹣4k时，直线l2的方程为y＝kx﹣4k，即直线l2恒过定点（4，0）；
（ii）解：设C（x3，y3），D（x4，y4），D'（x4，﹣y4），
设直线CD的方程为x＝ty+4（t≠0），代入椭圆C2的方程可得，
（9t2+25）y2+72ty﹣81＝0，
则△＞0，且，
则直线CD'的方程为，
令y＝0，可得，
所以CD'过定点，
故△CFD'的面积为＝，
当且仅当时等号成立，
所以△CFD'的面积存在最大值，最大值为．