2021年湖南省衡阳八中高考数学考前预测试卷（二）

这是一份2021年湖南省衡阳八中高考数学考前预测试卷（二），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年湖南省衡阳八中高考数学考前预测试卷（二）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∩B＝{1，2}，且B＝{x|x2+ax+b＝0}，则bx2+ax+1＞0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣} B．{x|﹣1＜x＜﹣}
C．{x|x＞1或x＜} D．{x|＜x＜1}
2．（5分）已知复数i﹣2是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则|pi+q|＝（　　）
A．25 B．5 C． D．41
3．（5分）俗话说：“一心不能二用”，意思是我们做事情要专心，那么，“一心”到底能否“二用”，某高二几个学生在学完《统计》后，做了一个研究，他们在本年级随机抽取男生和女生各100名，要求他们同时做一道数学题和英语听力题，然后将这些同学完成问题所用时间制成分布图如图所示，则下列说法正确的是（　　）
①男生“一心二用”所需时间平均值大于女生；
②所有女生“一心二用”能力都强于男生；
③女生用时众数小于男生；
④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布．

A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④
4．（5分）数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题．根据香农（shannon）公式C＝Wlog2（1+），式中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），C是数据传送速率的极限值，单位bit/s，是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：＝1000，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝（dB）为单位即SNRNS＝10lg（信噪比，单位为dB）．在信息最大速率C不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽（W）的方法来维持或提高通信的性能．现在从信噪比SNR＝30dB的环境转到SNR＝0dB的环境，则信号带宽（W）大约要提高（　　）（附：lg2≈0.3）
A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍
5．（5分）在对口扶贫工作中，某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知α，β为锐角，tan（α+）＝，tan（﹣β）＝，则tan（α+2β）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
7．（5分）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF边上一动点，则（　　）
A．最大值是4+2，最小值是4﹣2
B．最大值是6，最小值是﹣2
C．最大值是6，最小值是﹣2
D．最大值是4+2，最小值是﹣2
8．（5分）函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣，）满足x+2f（x）+f′（x）sin2x＝ex﹣1（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）
A．f（）＞f（） B．f（）＞3f（）
C．（2﹣）f（）＞f（） D．f（）＜（2+）f（）
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）给出下列命题，正确的有（　　）
A．若a＞b＞0，则＞1
B．若x，y∈R+，且2x+8y﹣xy＝0，则x+y的最小值为18
C．若x，y∈R+，且5x+7﹣y≤5y+7﹣x，则logx≥logy
D．若a＞b＞e，且e为自然对数的底数，则alnb＞blna
10．（5分）已知函数f（x）＝（cos2x﹣）﹣3sinxcosx，则（　　）
A．f（x）在[﹣π，0]上有两个零点
B．f（x）在[﹣，﹣]上单调递增
C．f（x）在[，π]的最大值是1
D．f（x）的图象可由y＝﹣sin2x向右移动得到
11．（5分）已知椭圆C1：x2+4y2＝4，过抛物线C2：x2＝8y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于P，Q两点，连接PQ，则下列结论中，正确的为（　　）
A．＝﹣12
B．△OPQ的面积S△OPQ是定值
C．|OP|2+|OQ|2＝5（定值）
D．设λ＝，则λ≥32
12．（5分）由四个三角形围成的多面体称为四面体，对棱相等的四面体称为等腰四面体．已知如图等腰四面体ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点．下面结论中，正确的有（　　）

A．直线EG，FH有可能是异面直线
B．EG⊥AB
C．过直线EG的平面截四面体外接球所得截面面积为定值
D．共顶点A的三个侧面面角和（∠BAC+∠CAD+∠DAB）等于180°
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家．公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁．阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献．这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为 　 　，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为 　 　．

14．（5分）设Tn为正项等比数列{an}（公比q≠1）前n项的积，若T2015＝T2021，则　 　．
15．（5分）已知直线l：2x﹣y+1＝0与抛物线y2＝16x交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝，则方程ef（f（x））+f（x）﹣1＝0（e是自然对数的底数）的实根个数为 　 　．
四.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，+＝3，sinC＝．
（1）求sinAsinB的值；
（2）若c＝2，求△ABC的面积．
18．（12分）五一假期，大学生李明与张红两位同学在某景区的游乐场射箭比赛，两人约定：先射中者获胜，比赛结束；或每人都已射击3次时比赛结束．经过抽签确定李明先射．根据以往经验，李明每次射箭射中的概率为，张红每次射箭射中的概率为，且各次射箭互不影响．
（1）求李明获胜的概率；
（2）求射箭比赛结束时，李明的射击次数ξ的分布列和数学期望．
19．（12分）已知正项数列{an}满足2＝an+1，
（1）求an；
（2）将数列{an}分组：（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10），……，记第n组的和为bn．
（ⅰ）求数列{bn}的通项公式bn；
（ⅱ）求数列{（﹣1）n}前2n项的和．
20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA＝AB，∠PAD＝∠BAD，E，F分别是AB，DC的中点AD＝2，PF＝3，PE＝．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）若PB＝2，求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．

21．（12分）已知函数f（x）＝2ex﹣1﹣sinx+ex﹣1cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）证明：f′（x）在（，）上没有零点；
（2）证明：当x∈（0，+∞），f（x）＞0．
22．（12分）已知双曲线C：﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，且过点P（4，2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F1的两条相互垂直的交双曲线于A，B和C，D，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN，过坐标原点O作MN的垂线，垂足为H，是否存在定点G，使得|GH|为定值，若存在，求此定点G．若不存在，请说明理由．

2021年湖南省衡阳八中高考数学考前预测试卷（二）
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∩B＝{1，2}，且B＝{x|x2+ax+b＝0}，则bx2+ax+1＞0的解集为（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞﹣} B．{x|﹣1＜x＜﹣}
C．{x|x＞1或x＜} D．{x|＜x＜1}
【分析】由题意知1，2是方程x2+ax+b＝0的两个根，求出a和b，代入bx2+ax+1＞0中求解即可．
【解答】解：∵集合B满足A∩B＝{1，2}，且B＝{x|x2+ax+b＝0}，
∴1，2是方程x2+ax+b＝0的两个根，
∴a＝﹣（1+2）＝﹣3，b＝1×2＝2，
∴bx2+ax+1＞0，即为2x2﹣3x+1＝（2x﹣1）（x﹣1）＞0，
解得x＞1或x＜．
∴bx2+ax+1＞0的解集为{x|x＞1或x＜}．
故选：C．
2．（5分）已知复数i﹣2是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，则|pi+q|＝（　　）
A．25 B．5 C． D．41
【分析】把i﹣2代入x的方程x2+px+q＝0，利用复数的相等求出p，q的值，再利用模的计算公式即可求解．
【解答】解：∵复数i﹣2是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的一个根，
∴（i﹣2）2+p（i﹣2）+q＝0，∴q+pi＝2p﹣3+4i，∴p＝4，q＝5，
∴|pi+q|＝|4i+5|＝，
故选：C．
3．（5分）俗话说：“一心不能二用”，意思是我们做事情要专心，那么，“一心”到底能否“二用”，某高二几个学生在学完《统计》后，做了一个研究，他们在本年级随机抽取男生和女生各100名，要求他们同时做一道数学题和英语听力题，然后将这些同学完成问题所用时间制成分布图如图所示，则下列说法正确的是（　　）
①男生“一心二用”所需时间平均值大于女生；
②所有女生“一心二用”能力都强于男生；
③女生用时众数小于男生；
④男生“一心二用”能力分布近似于正态分布．

A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④
【分析】根据图形可直接依次判断．
【解答】解：根据图形可得，男生“一心二用”所需平均时间值大于女生，故①正确，
并不是所有女生“一心二用”能力都强于男生，故②错误，
男生众数明显高于女生，故③正确，
男生的分布沿着中间对称，男生“一心二用”能力分布近似于正态分布，故④正确．
故选：D．
4．（5分）数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题．根据香农（shannon）公式C＝Wlog2（1+），式中W是信道带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），C是数据传送速率的极限值，单位bit/s，是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：＝1000，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝（dB）为单位即SNRNS＝10lg（信噪比，单位为dB）．在信息最大速率C不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽（W）的方法来维持或提高通信的性能．现在从信噪比SNR＝30dB的环境转到SNR＝0dB的环境，则信号带宽（W）大约要提高（　　）（附：lg2≈0.3）
A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍
【分析】由题意，分别求出和，，进而利用它们的关系求出W2≈10W1，即可得到答案．
【解答】解：SNR＝30dB＝10，则，即，
SNR＝0dB＝10，则，即，
所以，
＝W2，
所以，
则W2≈10W1，
所以提高9倍．
故选：B．
5．（5分）在对口扶贫工作中，某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】基本事件总数n＝＝36，扶贫工作组组长甲被分到第一户包含的基本事件个数m＝＝12，由此能求出扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率．
【解答】解：某单位扶贫工作组4人帮扶到户3户贫困户，每名工作组成员帮扶一户，每户至少一人，
基本事件总数n＝＝36，
扶贫工作组组长甲被分到第一户包含的基本事件个数m＝＝12，
则扶贫工作组组长甲被分到第一户的概率为P＝＝＝．
故选：C．
6．（5分）已知α，β为锐角，tan（α+）＝，tan（﹣β）＝，则tan（α+2β）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【分析】根据已知条件，运用正切函数的二倍角公式、以及两角和公式，即可求解．
【解答】解：∵＝＝，
∴＝．
故选：A．
7．（5分）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF边上一动点，则（　　）
A．最大值是4+2，最小值是4﹣2
B．最大值是6，最小值是﹣2
C．最大值是6，最小值是﹣2
D．最大值是4+2，最小值是﹣2
【分析】利用正六边形的特征，利用向量的数量积的定义，转化求解最值即可．
【解答】解：||＝2，因为ABCDEF是正六边形，所以在方向上的投影的最大值为3，最大值为﹣1，
结合向量的数量积的定义，可知＝||||cos，所以则的最大值是6，最小值是﹣2．
故选：C．
8．（5分）函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣，）满足x+2f（x）+f′（x）sin2x＝ex﹣1（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（　　）
A．f（）＞f（） B．f（）＞3f（）
C．（2﹣）f（）＞f（） D．f（）＜（2+）f（）
【分析】构造函数F（x）＝f（x）tanx，对函数F（x）求导，判断函数F（x）的单调性，可得，由此得解．
【解答】解：令＝，
又由已知可得，2f（x）+f′（x）sin2x＝ex﹣1﹣x≥0，则F′（x）≥0，
∴F（x）在上单调递增，
∵，
∴，故．
故选：D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）给出下列命题，正确的有（　　）
A．若a＞b＞0，则＞1
B．若x，y∈R+，且2x+8y﹣xy＝0，则x+y的最小值为18
C．若x，y∈R+，且5x+7﹣y≤5y+7﹣x，则logx≥logy
D．若a＞b＞e，且e为自然对数的底数，则alnb＞blna
【分析】直接利用对数的运算，基本关系式的恒等变换，构造函数，函数的导数和单调性的关系的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：对于A：当a＞b＞1时，lga＞0，lgb＞0，所以lga＞lgb，整理得，故A错误；
对于B：若x，y∈R+，且2x+8y﹣xy＝0，整理得：x＝，故x+y＝，当且仅当y＝6时，等号成立，故B正确；
对于C：若x，y∈R+，且5x+7﹣y≤5y+7﹣x，整理得：5x﹣7﹣x≤5y﹣7﹣y，由于函数f（t）＝5t﹣7﹣t为单调递增函数，
故x≤y，由于x，y∈R+，所以logx≥logy；故C正确；
对于D：设函数f（x）＝（x＞0），所以f，当x＝e时，f′（x）＝0，当x∈（e，+∞）单调递减，故，故alnb＞blna，故D正确．
故选：BCD．
10．（5分）已知函数f（x）＝（cos2x﹣）﹣3sinxcosx，则（　　）
A．f（x）在[﹣π，0]上有两个零点
B．f（x）在[﹣，﹣]上单调递增
C．f（x）在[，π]的最大值是1
D．f（x）的图象可由y＝﹣sin2x向右移动得到
【分析】利用三角恒等变换化简f（x），再由三角函数的图象与性质，三角函数的平移变换逐一判断即可求得结论．
【解答】解：f（x）＝（cos2x﹣）﹣3sinxcosx＝（2cos2x﹣1）﹣sin2x＝cos2x﹣sin2x＝cos（2x+），
对于A，f（x）＝cos（2x+）＝0，可得2x+＝kπ+，k∈Z，解得x＝+，k∈Z，
所以f（x）在[﹣π，0]上有两个零点（﹣，0），（﹣，0），故A正确；
对于B，因为﹣π+2kπ≤2x+≤2kπ，k∈Z，所以﹣+kπ≤x≤﹣+kπ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，
当k＝0时，f（x）的一个单调递增区间为[﹣，﹣]，[﹣，﹣]⊆[﹣，﹣]，故B正确；
对于C，当x＝时，f（）＝cos（2×+）＝，故C错误；
对于D，y＝﹣sin2x向右移动，可得y＝﹣sin2（x﹣）＝﹣sin（2x﹣）＝cos（2x+），故D错误．
故选：AB．
11．（5分）已知椭圆C1：x2+4y2＝4，过抛物线C2：x2＝8y焦点F的直线交抛物线于M，N两点，连接NO，MO并延长分别交C1于P，Q两点，连接PQ，则下列结论中，正确的为（　　）
A．＝﹣12
B．△OPQ的面积S△OPQ是定值
C．|OP|2+|OQ|2＝5（定值）
D．设λ＝，则λ≥32
【分析】设直线MN方程为y＝k+1，代入抛物线方程得：x2﹣8kx﹣16＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，转化求解判断A；设直线OP的方程为：y＝mx，代入椭圆的方程得P的坐标，同理可得Q的坐标，然后求解三角形的面积，判断B；利用距离的平方和，判断C；求解λ判断D．
【解答】解：F（0，2），设直线MN方程为y＝kx+2，代入抛物线方程得：x2﹣8kx﹣16＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝8k，x1x2＝﹣16，
且y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k²x1x2+2k（x1+x2）+4＝﹣16k²+16k²+4＝4
对A：＝x1x2+y1y2＝﹣16+4＝﹣12，故A正确；
对B：因为kOM•kON＝＝＝﹣，不妨设直线OP的方程为y＝mx（m＞0），则直线OQ的方程为y＝﹣x，
联立方程组，解得x2＝，不妨设P在第三象限，则P（﹣，﹣），
用﹣替换m可得Q（﹣，），
∴P到OQ的距离d＝＝，
又|OQ|＝＝，
∴S△OPQ＝•|OQ|d＝••＝1，故B错误；
对C：|OP|²+|OQ|²＝+＝＝5，故C正确；
对D：联立方程组，可得x（x﹣8m）＝0，故N（8m，8m2），∴|ON|＝8m，
﹣替换m可得M（﹣2m，），
∴M到直线OP的距离h＝＝，
∴SOMN＝•|ON|•h＝×8m•＝8m+≥2＝8，当且仅当8m＝即m＝时取等号．
∴λ＝＝SOMN≥8，故D错误．
故选：AC．

12．（5分）由四个三角形围成的多面体称为四面体，对棱相等的四面体称为等腰四面体．已知如图等腰四面体ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点．下面结论中，正确的有（　　）

A．直线EG，FH有可能是异面直线
B．EG⊥AB
C．过直线EG的平面截四面体外接球所得截面面积为定值
D．共顶点A的三个侧面面角和（∠BAC+∠CAD+∠DAB）等于180°
【分析】直接利用四点共面，平面的性质，三角形全等，锥体和外接球的关系判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：如图所示：

对于A：由于E、F、G、H为各边的中点，所以：EF∥AC∥HG，所以E、F、G、H四点共面，故A错误；
对于B：由于BD＝AC，BC＝AD，CD＝CD，所以△ACD≌△BCD，所以∠ACD＝∠BDC，故△ACG≌△BDG，所以AG＝BG，由于点E为AB的中点，所以EG⊥AB，故B正确；
对于C：把四面体ABCD补形为长方体，则四面体与长方体外接球为同一个球，球心为EG的中点，所以截面为球的大圆，其面积为定值，故C正确；
对于D：四个面全等，设一个面的三个内角为α、β、γ、则共顶点的三个侧面的内角和为α+β+γ＝180°，故D正确；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家．公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁．阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献．这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为 　　，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为 　　．

【分析】设圆柱内切球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，再由球及圆柱的体积与表面积公式求解．
【解答】解：设圆柱内切球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，
可得；
表面积之比为．
故答案为：；．
14．（5分）设Tn为正项等比数列{an}（公比q≠1）前n项的积，若T2015＝T2021，则　　．
【分析】推导出a2016a2017a2018a2019a2020a2021＝1，从而a2018a2019＝1，由此推导出a2021＝q，a2019＝q，从而求出答案．
【解答】解：∵正项等比数列{an}的公比不为1，∴an＞0，q＞0，
∵Tn为其前n项积，T2015＝T2021，
∴a2016a2017a2018a2019a2020a2021＝1，
∴a2016a2021＝a2017a2020＝a2018a2019＝1，
∴a2016a2021＝＝1，
∴a2021＝q，
∵a2018a2019＝＝1，
∴a2019＝q，
∴＝＝，
故选：A．
15．（5分）已知直线l：2x﹣y+1＝0与抛物线y2＝16x交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝　　．
【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式，求得|AB|，设直线的倾斜角为θ，可得|CD|＝，即可求解．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与抛物线方程，化简整理可得，4x2﹣12x+1＝0，
由韦达定理可得，x1+x2＝3，x1x2＝，
|AB|＝＝，
设直线l的倾斜角为θ，
则tanθ＝2，cosθ＝，
故|CD|＝．
故答案为：．
16．（5分）已知函数f（x）＝，则方程ef（f（x））+f（x）﹣1＝0（e是自然对数的底数）的实根个数为 　6　．
【分析】令t＝f（x），原方程为f（t）＝，利用数形结合判断y＝f（t）与y＝的交点个数及交点横坐标的范围，再根据横坐标判断t＝f（x）时交点的个数，即实数根的个数．
【解答】解：令t＝f（x），方程为ef（t）+t﹣1＝0，即f（t）＝，
y＝f（t）与y＝的性质如下：
1．y＝f（t）在（﹣∞，0）上单调递增，值域为（0，+∞）；
在（0，）上单调递增，（，1]上递减，值域为[0，]且f（）＝，f（1）＝0；
在（1，+∞）上单调递增，值域为（0，+∞）；
2．y＝，过定点（1，0），定义域上单调递减，
所以可得函数图象如下图所示：


所以共有三个交点，横坐标分别为t1，t2，t3，且t1＜0t2＜＜t3＝1，
所以当t1＝f（x），无解，
当t2＝f（x）时，有四个实数根；
当t3＝f（x）时，有两个实根，
所以如下图所示：一共有6个实数根，

故答案为：6．
四.解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，+＝3，sinC＝．
（1）求sinAsinB的值；
（2）若c＝2，求△ABC的面积．
【分析】（1）由同角三角函数的基本关系、两角和的正弦以及诱导公式即可求解；
（2）由正弦定理、三角形面积公式及（1）中结论即可求解△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为+＝3，
所以+＝3，所以＝3，
＝3，因为A+B+C＝π，
所以sinC＝3sinAsinB，
所以sinAsinB＝sinC＝．
（2）由正弦定理可得：＝＝＝＝4，
所以a＝4sinA，b＝4sinB，
所以S△ABC＝absinC＝×4sinA×4sinB×sinC＝．
18．（12分）五一假期，大学生李明与张红两位同学在某景区的游乐场射箭比赛，两人约定：先射中者获胜，比赛结束；或每人都已射击3次时比赛结束．经过抽签确定李明先射．根据以往经验，李明每次射箭射中的概率为，张红每次射箭射中的概率为，且各次射箭互不影响．
（1）求李明获胜的概率；
（2）求射箭比赛结束时，李明的射击次数ξ的分布列和数学期望．
【分析】（1）设Ak，Bk分别表示李明，张红第k次射箭射中，记“李明获胜”为事件C，则事件C可能取到的情况有第一次即射中，第二次射中张红第一次未射中，第三次射中张红第一第二次都没射中这三种情况，分别求解，即可求解．
（2）由题意可得，ξ的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：（1）设Ak，Bk分别表示李明，张红第k次射箭射中，
则，，k＝1，2，3，
记“李明获胜”为事件C，则P（C）＝ ＝＝，
（2）由题意可得，ξ的所有可能取值为1，2，3，
P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝+＝，
P（ξ＝3）＝＝，
故ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P



故E（ξ）＝+．
19．（12分）已知正项数列{an}满足2＝an+1，
（1）求an；
（2）将数列{an}分组：（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10），……，记第n组的和为bn．
（ⅰ）求数列{bn}的通项公式bn；
（ⅱ）求数列{（﹣1）n}前2n项的和．
【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求；
（2）（ⅰ）由等差数列的求和公式得bn＝S﹣S，计算可得所求通项公式；
（ⅱ）求得（﹣1）n＝（﹣1）n•n2，由数列的并项求和，结合等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】解：（1）当n＝1时，a1+1＝2＝2，解得a1＝1，
当n≥2时，Sn﹣1＝，又Sn＝，
两式相减可得an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣，
化为（an﹣1）2＝（an﹣1+1）2，
由an＞0可得an﹣an﹣1＝2，即数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2）（ⅰ）由题意可得bn＝S﹣S，而Sn＝n（1+2n﹣1）＝n2，
所以bn＝（）2﹣（﹣n）2＝n3；
（ⅱ）（﹣1）n＝（﹣1）n•n2，
所以数列{（﹣1）n}前2n项的和为﹣1+22﹣32+42﹣52+62﹣...﹣（2n﹣1）2+（2n）2
＝1+2+3+4+...+（2n﹣1）+2n＝•2n•（2n+1）＝2n2+n．
20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA＝AB，∠PAD＝∠BAD，E，F分别是AB，DC的中点AD＝2，PF＝3，PE＝．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）若PB＝2，求二面角B﹣PC﹣A的余弦值．

【分析】（1）连接EF，BD，推导出EF⊥PE，AD⊥PE，作BP的中点M，连接DM，AM，则DM⊥BP，AM⊥BP，BP⊥平面ADM，BP⊥AD，由此能证明AD⊥平面PAB．
（2）列方程组求出AE＝1，得到PA⊥AB，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法，求出二面角B﹣PC﹣A的余弦值．
【解答】解：（1）证明：连接EF，BD，
∵E，F是平行四边形ABCD的AB，CD的中点，
∴EF∥AD，且EF＝AD＝2，
∵PE＝，PF＝3，∴EF2+PE2＝PF2，∴EF⊥PE，∴AD⊥PE，
∵AP＝AB，∠PAD＝∠DAB，AD＝AD，∴△PAD≌△BAD，∴PD＝BD，
作BP的中点M，连接DM，AM，
则DM⊥BP，AM⊥BP，又AM∩DM＝M，AM、DM⊂平面ADM，
∴BP⊥平面ADM，又AD⊂平面ADM，∴BP⊥AD，
∵PB⊂平面PAB，PE⊂平面PAB，且PB∩PE＝P，PB、PE⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PAB．
（2）设AE＝x，则AB＝AP＝2x，
在△PAB中，cos∠PAB＝，①
在△PAB中，cos，②
联立①②，得x＝1，∴cos∠PAB＝0，∴∠PAB＝90°，∴PA⊥AB，
以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），
∴＝（﹣2，0，2），＝（0，2，0），
设平面BPC的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，0，1），
∵AP⊥AD，AP⊥AB，AD∩AB＝A，∴AP⊥平面ABCD，
∵BD⊂平面ABCD，∴AP⊥BD，
∵BD⊥AC，AC∩AP＝A，∴BD⊥平面APC，
∴＝（﹣2，2，0）是平面APC的一个法向量，
设二面角B﹣PC﹣A的平面角为θ，
则二面角B﹣PC﹣A的余弦值cosθ＝＝＝．

21．（12分）已知函数f（x）＝2ex﹣1﹣sinx+ex﹣1cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数．
（1）证明：f′（x）在（，）上没有零点；
（2）证明：当x∈（0，+∞），f（x）＞0．
【分析】（1）f′（x）＝2ex﹣1﹣cosx+ex﹣1（cosx﹣sinx），令g（x）＝2ex﹣1﹣cosx+ex﹣1（cosx﹣sinx），求导即可判断出函数g（x）在（，）单调性，进而证明结论．
（2）证法一：当x∈[1，+∞），f（x）＝（ex﹣1﹣sinx）+ex﹣1（1+cosx），利用三角函数与指数函数的单调性即可得出f（x）＞0．当x∈（0，1），由（1）可知：g′（x）＝2ex﹣1（1﹣sinx）+sinx＞0，利用单调性即可证明结论．
证法二：f（x）＝2ex﹣1﹣sinx+ex﹣1cosx＝ex﹣1（2+cosx）﹣sinx≥x（2+cosx）﹣sinx＝（2+cosx）（x﹣），由三角函数的值域可得：2+cosx＞0恒成立，因此只要证明x﹣＞0即可，令F（x）＝x﹣，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明结论．
【解答】证明：（1）f′（x）＝2ex﹣1﹣cosx+ex﹣1（cosx﹣sinx），
令g（x）＝2ex﹣1﹣cosx+ex﹣1（cosx﹣sinx），
则g′（x）＝2ex﹣1+sinx+ex﹣1（﹣2sinx），
＝2ex﹣1（1﹣sinx）+sinx在（，）上满足g′（x）＞0，
∴函数g（x）在（，）单调递增，
∴g（x）＞g（）＝（2+﹣）﹣＝2﹣＞0，
∴f′（x）在（，）上没有零点．
（2）证法一：当x∈[1，+∞），f（x）＝（ex﹣1﹣sinx）+ex﹣1（1+cosx）＞0．
当x∈（0，1），由（1）可知：g′（x）＝2ex﹣1（1﹣sinx）+sinx＞0，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，∴g（x）＞g（0）＝3e﹣1﹣1＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，∴f（x）＞f（0）＝
＞0．
综上可得：当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0．
证法二：f（x）＝2ex﹣1﹣sinx+ex﹣1cosx＝ex﹣1（2+cosx）﹣sinx≥x（2+cosx）﹣sinx＝（2+cosx）（x﹣），
∵cosx∈[﹣1，1]，可得：2+cosx＞0恒成立，因此只要证明x﹣＞0即可，
令F（x）＝x﹣，F′（x）＝1﹣＝＞0，
∴函数F（x）在x∈（0，+∞）时单调递增，F（x）＞F（0）＝0，
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）＞0．
22．（12分）已知双曲线C：﹣＝1的左、右焦点分别为F1，F2，其离心率为，且过点P（4，2）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F1的两条相互垂直的交双曲线于A，B和C，D，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN，过坐标原点O作MN的垂线，垂足为H，是否存在定点G，使得|GH|为定值，若存在，求此定点G．若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由已知可得关于a，b，c的方程组，求得a与b的值，则双曲线方程可求；
（2）若直线AB和CD其中一条没有斜率，则H为（0，0），直线MN的方程为y＝0；当直线AB和CD都有斜率时，∵F1（﹣2，0），设直线AB的方程为y＝k（x+2），联立直线方程与双曲线方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M、N的坐标，求出MN所在直线的斜率，得到MN的方程，说明MN过定点P（，0），结合OH⊥MN，可得点H的运动轨迹是以点（﹣2，0）为圆心，以|OP|＝2为直径的圆，由此可得存在定点G（﹣2，0），使得|GH|为定值．
【解答】解：（1）由题意，，解得a2＝16，b2＝8，c2＝24．
∴双曲线方程为；
（2）存在定点G（﹣2，0），使得|GH|为定值，证明如下：
由题意可知，若直线AB和CD其中一条没有斜率，则H为（0，0），
直线MN的方程为y＝0；
当直线AB和CD都有斜率时，∵F1（﹣2，0），设直线AB的方程为y＝k（x+2），
A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
联立，得．
，，
故，；
设直线CD的方程为y＝，
C（x3，y3），D（x4，y4），N（xN，yN），
同理可得，，
，．
∴＝＝．
∴直线MN的方程为，
化简得：，可知直线MN过定点P（，0）．
又∵OH⊥MN，∴点H的运动轨迹是以点（﹣2，0）为圆心，以|OP|＝2为直径的圆，
∴存在定点G（﹣2，0），使得|GH|为定值．