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2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（三）（三模）
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这是一份2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（三）（三模），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（三）（三模）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数z满足i•z＝﹣1+i，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A．[﹣1，0） B．[﹣1，0）∪[1，2） C．（1，2） D．（0，1）
3．（5分）2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
第x周
1
2
3
4
5
治愈人数y（单位：十人）
3
8
10
14
15
由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）
A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
5．（5分）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（ ）
A．
B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为
C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为
D．正八边形ABCDEFGH的面积为
6．（5分）已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
7．（5分）某程序框图如图所示，若N＝2021，则输出的S＝（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的侧面面积为（ ）
A．12+2π B．2π C．12+π D．π
9．（5分）已知锐角α，β满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
10．（5分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则四面体A﹣B1CC1的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B． C． D．[﹣1，+∞）
12．（5分）在△ABC中，sin（A﹣B）+sinB＝sinC，点D在边BC上，且CD＝2BD，设，则当k取最大值时，sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045
7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为 ．
14．（5分）（+x）dx＝ ．
15．（5分）已知实数x，y满足则的取值范围是 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2mx+e2x﹣2mex+2m2，若存在实数x0，使得f（x0）≤成立，则实数m＝ ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝45°，γ＝30°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝33m，BC＝100m．
（Ⅰ）求PB的长；
（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．
附：；．
18．（12分）为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：
SO2的浓度
空气质量等级
[0，50]
（50，150]
（150，475]
1（优）
28
6
2
2（良）
5
7
8
3（轻度污染）
3
8
9
4（中度污染）
1
12
11
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．
（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
（150，475]
空气质量好
空气质量不好
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？
附：．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
19．（12分）如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．
（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；
（Ⅱ）若O1O2＝2，∠PAB＝45°，求二面角A﹣PO1﹣B的余弦值．
20．（12分）已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．
（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，求椭圆C短轴长的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．
（Ⅰ）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）有最小值，且关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（三）（三模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数z满足i•z＝﹣1+i，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据复数的运算性质计算即可．
【解答】解：∵i•z＝﹣1+i，
∴z＝＝＝＝1+i,
故复数z对应的点的坐标为（1，1），
故选：B．
2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A．[﹣1，0） B．[﹣1，0）∪[1，2） C．（1，2） D．（0，1）
【分析】求出集合A，B，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），由此求出阴影部分表示的集合．
【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}＝{x|0＜x＜2}，
B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，
如图阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|0＜x＜2}∩{x|x＜﹣1或x＞1}＝（1，2）．
故选：C．
3．（5分）2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
第x周
1
2
3
4
5
治愈人数y（单位：十人）
3
8
10
14
15
由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得，得到线性回归方程，进一步求得第5周的预报值，则残差可求．
【解答】解：，，
即样本点的中心坐标为（3，10），代入，
可得10＝，解得，
∴线性回归方程为，取x＝5，得，
∴此回归模型第5周的残差为15﹣16＝﹣1．
故选：A．
4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）
A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
【分析】由空间中直线与直线平行、直线与平面平行的关系分析面面关系判定A；由两平行平面内两直线的关系判断B；由空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直的关系分析面面关系判定C与D．
【解答】解：若m∥n，m∥α，则n⊂α或n∥α，又n∥β，所以α∥β或α与β相交，故A错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故B错误；
若m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故C正确；
若m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n∥α，又n∥β，所以α∥β或α与β相交，故D错误．
故选：C．
5．（5分）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（ ）
A．
B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为
C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为
D．正八边形ABCDEFGH的面积为
【分析】直接利用向量的数量积，角的表示，三角形的面积公式的应用，弧长公式的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：如图所示：
对于A：，故A正确；
对于B：以射线OF为终边的角的集合可以表示，故B正确；
对于C：在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为，故C正确；
对于D：正八边形ABCDEFGH的面积为，
故D错误．
故选：D．
6．（5分）已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【分析】由已知可得，a﹣c＝log2（x2﹣2x+3）≥log22＝1，即可判定．
【解答】解：因为实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，所以，根据指数函数y＝2x的单调性，可得a＜b，
因为，所以a﹣c＝log2（x2﹣2x+3）≥log22＝1，所以a＞c，
综上，b＞a＞c，
故选：B．
7．（5分）某程序框图如图所示，若N＝2021，则输出的S＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，利用裂项法即可求解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，
由于S＝++...+＝1﹣++...+﹣＝1﹣＝．
故选：C．
8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的侧面面积为（ ）
A．12+2π B．2π C．12+π D．π
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的侧面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为圆柱的柱体；
如图所示：
所以＝12+2π．
故选：A．
9．（5分）已知锐角α，β满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行换元，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为锐角α，β满足，
所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，
令x＝cosαcosβ，y＝sinαsinβ，
则x+y＝，
由题意得x＞0，y＞0，
则＝＝2（x+y）（）＝2（2+）＝8，
当且仅当x＝y时取等号，此时的最小值8．
故选：C．
10．（5分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则四面体A﹣B1CC1的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设S△ABC＝S1，＝S2，棱台的高为h，用三棱锥的体积求出S2、S1，再求出三棱台ABC﹣A1B1C1的体积，即可求出四面体A﹣B1CC1的体积．
【解答】解：如图所示，
设S△ABC＝S1，＝S2，棱台的高为h，
由题意知，＝S2h＝4，
解得S2＝；
＝S1h＝8，解得S1＝；
所以三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为：
V＝h（S1+S2+）＝h（++）＝12+4，
所以四面体A﹣B1CC1的体积为：
＝V﹣﹣＝（12+4）﹣4﹣8＝4．
故选：B．
11．（5分）已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B． C． D．[﹣1，+∞）
【分析】根据双曲线的方程，可得a＝2，b＝，c＝3，由于双曲线和直线l都关于原点对称，可得|FA|＝|F2B|，结合双曲线的定义，可得＝，再构造函数f（d）＝，d≥5，根据函数的单调性和极限的思维，即可求解．
【解答】解：∵双曲线，
∴a2＝4，b2＝5，c2＝a2+b2＝5+4＝9，即a＝2，b＝，c＝3，
∵双曲线与过原点的直线l都关于原点对称，
∴|FA|＝|F2B|，
∵由双曲线的定义，可知|FB|﹣|F2B|＝2a＝4，
∴|FA|＝|FB|﹣4，
设|FB|＝d，d≥a+c＝5，
∴＝，
设f（d）＝，d≥5，
求导可得f'（d）＝，
∴f（d）在[5，6）单调递减，在（6，+∞）单调递增，，
又∵当d趋近于正无穷时，f（d）趋近于0，
∴f（d）的取值范围为[﹣1，0），
则的取值是[﹣1，0）．
故选：A．
12．（5分）在△ABC中，sin（A﹣B）+sinB＝sinC，点D在边BC上，且CD＝2BD，设，则当k取最大值时，sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB，利用诱导公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出，进一步利用已知条件和正弦定理建立联系，即可求解．
【解答】解：因为sin（A﹣B）+sinB＝sinC，可得sinB＝sin（A+B）﹣sin（A﹣B），
所以sinB＝2cosAsinB，
又sinB≠0，
可得cosA＝，
又A∈（0，π），
可得A＝，
设BD＝x，∠BAD＝θ，θ∈（0，），
则DC＝2x，由已知可得sinB＝ksinθ，
由正弦定理得AD＝kx，
sinC＝＝sin（−θ）．
又sinC＝sin（−B）＝cosB+sinB＝cosB+sinθ，
由 cosB+sinθ＝sin（−θ），
得cosB＝kcos（+θ）．
因为sin2B+cos2B＝k2sin2θ+k2cos2（+θ）＝1，
所以k2＝＝＝，
因为θ∈（0，），
所以−＜2θ−＜．
所以当2θ−＝0，
即θ＝时，k取得最大值+1，
此时sinB＝（+1）×＝，
所以B＝，
所以sin∠ACD＝sin（π−−）＝．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045
7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为 0.6 ．
【分析】根据题意，分析随机数组中表示至少击中3次目标的个数，由古典概型的计算公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在20组随机数中，表示至少击中3次目标的3661、9597、6947、4698、6233、8045、7424、7527、9857、0347、4373、8636；
共12个，
则该运动员射击4次至少击中3次目标的概率P＝＝0.6；
故答案为：0.6．
14．（5分）（+x）dx＝ ．
【分析】（+x）dx＝dx+xdx，再根据定积分的几何意义与运算法则分别对两部分积分，即可．
【解答】解：（+x）dx＝dx+xdx，
其中dx表示个单位圆，其面积为×π×12＝，
xdx＝（x2）＝0，
∴（+x）dx＝，
故答案为：．
15．（5分）已知实数x，y满足则的取值范围是 [，] ．
【分析】由约束条件作出可行域，求得t＝的范围，再由函数的单调性求的取值范围．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立方程组解得：A（2，1），B（1，3），
令t＝，则t∈[，3]，
＝，t∈[，3]，
∵g（t）＝t+在[，]上单调递减，在[，3]上单调递增，
且g（）＝，g（）＝，g（3）＝，
∴g（t）∈[，]．
即的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2mx+e2x﹣2mex+2m2，若存在实数x0，使得f（x0）≤成立，则实数m＝ ．
【分析】化简可得题目等价于点 与点 Q（m，m） 距离的平方的最小值小于等于 ，转化为|PQ|的最小值为与 y＝ex 相切且与 y＝x 平行的直线与 y＝x 的距离，利用导数求出 y＝ex 的切线即可求出．
【解答】解：f（x）＝x2﹣2mx+e2x﹣2mex+2m2＝（x﹣m）2+（ex﹣m）2，
则存在实数 x0，使得 成立，等价于 ，
则可作是点 与点 Q（m，m） 距离的平方的最小值小于等于 ，
因为 P 在曲线 y＝ex 上，点 Q 在直线 y＝x 上，
则|PQ|的最小值与 y＝ex 相切且与 y＝x 平行的直线与 y＝x 的距离，
对于 y＝ex，y′＝ex，令 ex＝1，解得 x＝0，则切点为 M（0，1），
即点 M（0，1）到直线 y＝x 的距离最小，且距离为 ，
要使 ，则 ，此时 MQ 垂直于直线 y＝x，
则 ，解得 ．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝45°，γ＝30°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝33m，BC＝100m．
（Ⅰ）求PB的长；
（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．
附：；．
【分析】（Ⅰ）根据题意求出∠PCB，在△PCB中运用正弦定理求出PB的长；
（Ⅱ）在△PAB中，利用正弦定理求出∠APB的值，再求隧道DE的长．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，∠BPC＝β﹣γ＝45°﹣30°＝15°，∠PBC＝180°﹣β＝135°，
所以∠PCB＝180°﹣15°﹣135°＝30°；
在△PCB中，由正弦定理得：＝，
且sin15°＝sin（45°﹣30°）＝×﹣×＝，
所以PB＝＝＝50（+）＝50（+1）≈193（m）．
（Ⅱ）在△PAB中，∠PAB＝α＝30°，∠ABP＝β＝45°，所以∠APB＝105°，
由正弦定理得：＝，
sin105°＝sin75°＝sin（45°+30°）＝×+×＝，
所以AB＝＝≈373（m），
所以DE＝AB﹣AD﹣BE＝373﹣100﹣33＝240（m），
即隧道DE的长为240m．
18．（12分）为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：
SO2的浓度
空气质量等级
[0，50]
（50，150]
（150，475]
1（优）
28
6
2
2（良）
5
7
8
3（轻度污染）
3
8
9
4（中度污染）
1
12
11
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．
（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
（150，475]
空气质量好
空气质量不好
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？
附：．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）求出不同空气质量等级的天数，即可求解．
（2）根据表中的数据，即可得出列联表．
（3）计算K2，对照题目中的表格，即可求解．
【解答】解：（1）由表格可得，该市100天中空气质量为1的有28+6+2＝36天，空气质量为2的有5+7+8＝20天，空气质量为3的有3+8+9＝20天，空气质量为4的有1+12+11＝24，
则该市一天的空气质量等级为1的概率为，
该市一天的空气质量等级为2的概率为，
该市一天的空气质量等级为3的概率为
该市一天的空气质量等级为4的概率为．
（2）由表格数据，可得列联表如下：
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
（150，475]
空气质量好
46
10
空气质量不好
24
20
（3）由（2）可得，
∴有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关．
19．（12分）如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．
（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；
（Ⅱ）若O1O2＝2，∠PAB＝45°，求二面角A﹣PO1﹣B的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由线面垂直的判定可得AP⊥平面PO1O2，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）以O2为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面APO1与平面BPO1的法向量，结合向量夹角公式即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得O1O2⊥平面PAB，∴O1O2⊥PA，
∵AO2为直径，∴AP⊥PO2，
∵PO2∩O1O2＝O2，
∴AP⊥平面PO1O2，
又AP⊂平面APO1，∴平面APO1⊥平面PO1O2；
（Ⅱ）解：以O2为坐标原点，建立空间直角坐标系，
∵O1O2＝2，∴AB＝2O1O2＝4，∠PAB＝45°，
可得A（0，﹣2，0），B（0，2，0），O1（0，0，2），P（1，﹣1，0），
∴，，，．
设平面APO1的一个法向量为，平面BPO1的一个法向量为，
由，取y1＝1，得；
由，取y2＝1，得．
∴cos＜＞＝．
由图可知二面角A﹣PO1﹣B为钝角，
∴二面角A﹣PO1﹣B的余弦值为．
20．（12分）已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．
（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，求椭圆C短轴长的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意，设A，B的坐标，由面积求出点A的坐标，代入抛物线方程，即可求出p的值，从而得到抛物线方程和焦点坐标；
（Ⅱ）先求出直线l的方程，与抛物线方程联立，求出M的坐标，设椭圆的标准方程，将点M的坐标代入，结合a＞b＞0，b＞，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为△AOB为等腰直角三角形，且OA⊥OB，
则由抛物线的对称性可得AB⊥x轴，设A（m，m），B（m，﹣m），
故，解得m＝4，
所以A（4，4），代入抛物线方程可得16＝8p，解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x，焦点F的坐标为（1，0）；
（Ⅱ）由题意可得直线l的方程为y＝2x﹣2，
联立方程，可得x2﹣3x+1＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝3，x1x2＝1，
又点M是PQ的中点，则，
设椭圆的方程为，
将点代入椭圆的方程，可得，
又a＞b＞0，
则，解得，
又b＞，则，故，
所以椭圆C的短轴长的取值范围为．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（2）＝求得a值，可得f（x）的解析式，再由f′（x）＞0求得函数的增区间，由f′（x）＜0求得函数的减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）＝lnx﹣+1﹣ln2，且f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞），由题意，f（x1）＝f（x2）＝m，且0＜x1＜＜x2，可得x2﹣x1﹣+4m＝x2﹣x1﹣+2（f（x2）+f（x1））＝，构造函数，x＞，，0＜x＜，利用导数求其最大值，即可证明x2﹣x1﹣+4m≤＜0，可得x2﹣x1＜﹣4m．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2，∴f′（x）＝﹣（x＞0），
∵f′（2）＝，∴a＝1，
∴f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜，
令f′（x）＜0，得x＞，
∴f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，f（x）＝lnx﹣+1﹣ln2，
且f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞），
由x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，得f（x1）＝f（x2）＝m，
且0＜x1＜＜x2，∴x2﹣x1﹣+4m＝x2﹣x1﹣+2（f（x2）+f（x1））
＝，
令，x＞，
∵，令t1′（x）＞0，得＜x＜2，令t1′（x）＜0，得x＞2，
∴t1（x）在（，2]上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
∴t1（x）≤t1（2）＝2ln2；
令，0＜x＜，
∵，令t2′（x）＞0，得0＜x＜1，令t2′（x）＜0，得1＜x＜，
∴t2（x）在（0，1）上单调递增，在[1，）上单调递减，∴，
∴x2﹣x1﹣+4m≤＜0，
∴x2﹣x1＜﹣4m．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）先将曲线C的参数方程转化为普通方程，再利用，将其转化为极坐标方程；
（Ⅱ）设点B（ρ，α）（），由，求出△AOB面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），
转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，
根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅱ）点A的极坐标为，设点B（ρ，α）（），
则＝
＝，
当时，三角形的面积取得最大值2+．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．
（Ⅰ）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）有最小值，且关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）分x＜﹣、﹣≤x≤、x＞三种情况讨论，即可求解．
（Ⅱ）设h（x）＝﹣x²﹣x﹣，根据f（x）有最小值，可推得0＜m≤2，由f（﹣）＝﹣m﹣1＜f（）＝+1，可得f（x）min＝f（﹣）＝﹣，需满足﹣m﹣1＜h（﹣）＝﹣，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝2时，f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，
当x＜﹣ 时，﹣（2x+1）﹣（1﹣2x）＜2，解得x＜﹣，
当﹣≤x≤时，2x+1﹣（1﹣2x）＜2，解得﹣≤x＜，
当x＞时，2x+1﹣（2x﹣1）＜2，无解，
综上所述，原不等式f（x）＜2的解集为{x|x＜}．
（Ⅱ）设h（x）＝﹣x²﹣x﹣，则h（x）的图象对称轴为x＝﹣，开口向下的抛物线，
因为f（x）＝有最小值，
则当m＞2时，x＜﹣时，f（x）无最小值，所以0＜m≤2，
∵f（﹣）＝﹣m﹣1＜f（）＝+1，
∴f（x）min＝f（﹣）＝﹣，
∴﹣m﹣1＜h（﹣）＝﹣，
∴1＜m≤2，即m的取值范围是（1，2]．
2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（三）（三模）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数z满足i•z＝﹣1+i，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A．[﹣1，0） B．[﹣1，0）∪[1，2） C．（1，2） D．（0，1）
3．（5分）2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
第x周
1
2
3
4
5
治愈人数y（单位：十人）
3
8
10
14
15
由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）
A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
5．（5分）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（ ）
A．
B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为
C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为
D．正八边形ABCDEFGH的面积为
6．（5分）已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
7．（5分）某程序框图如图所示，若N＝2021，则输出的S＝（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的侧面面积为（ ）
A．12+2π B．2π C．12+π D．π
9．（5分）已知锐角α，β满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
10．（5分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则四面体A﹣B1CC1的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B． C． D．[﹣1，+∞）
12．（5分）在△ABC中，sin（A﹣B）+sinB＝sinC，点D在边BC上，且CD＝2BD，设，则当k取最大值时，sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045
7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为 ．
14．（5分）（+x）dx＝ ．
15．（5分）已知实数x，y满足则的取值范围是 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2mx+e2x﹣2mex+2m2，若存在实数x0，使得f（x0）≤成立，则实数m＝ ．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝45°，γ＝30°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝33m，BC＝100m．
（Ⅰ）求PB的长；
（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．
附：；．
18．（12分）为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：
SO2的浓度
空气质量等级
[0，50]
（50，150]
（150，475]
1（优）
28
6
2
2（良）
5
7
8
3（轻度污染）
3
8
9
4（中度污染）
1
12
11
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．
（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
（150，475]
空气质量好
空气质量不好
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？
附：．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
19．（12分）如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．
（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；
（Ⅱ）若O1O2＝2，∠PAB＝45°，求二面角A﹣PO1﹣B的余弦值．
20．（12分）已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．
（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，求椭圆C短轴长的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB面积的最大值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．
（Ⅰ）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）有最小值，且关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（理科）（三）（三模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知复数z满足i•z＝﹣1+i，则在复平面内与复数z对应的点的坐标为（ ）
A．（1，﹣1） B．（1，1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据复数的运算性质计算即可．
【解答】解：∵i•z＝﹣1+i，
∴z＝＝＝＝1+i,
故复数z对应的点的坐标为（1，1），
故选：B．
2．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}，B＝{x||x|≤1}，则如图阴影部分表示的集合是（ ）
A．[﹣1，0） B．[﹣1，0）∪[1，2） C．（1，2） D．（0，1）
【分析】求出集合A，B，阴影部分表示的集合为A∩（∁UB），由此求出阴影部分表示的集合．
【解答】解：全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）＜0}＝{x|0＜x＜2}，
B＝{x||x|≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，
如图阴影部分表示的集合为A∩（∁UB）＝{x|0＜x＜2}∩{x|x＜﹣1或x＞1}＝（1，2）．
故选：C．
3．（5分）2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：
第x周
1
2
3
4
5
治愈人数y（单位：十人）
3
8
10
14
15
由上表可得y关于x的线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差（实际值减去预报值）为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程可得，得到线性回归方程，进一步求得第5周的预报值，则残差可求．
【解答】解：，，
即样本点的中心坐标为（3，10），代入，
可得10＝，解得，
∴线性回归方程为，取x＝5，得，
∴此回归模型第5周的残差为15﹣16＝﹣1．
故选：A．
4．（5分）已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的结论是（ ）
A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥β B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
C．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β D．若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β
【分析】由空间中直线与直线平行、直线与平面平行的关系分析面面关系判定A；由两平行平面内两直线的关系判断B；由空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直的关系分析面面关系判定C与D．
【解答】解：若m∥n，m∥α，则n⊂α或n∥α，又n∥β，所以α∥β或α与β相交，故A错误；
若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故B错误；
若m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n∥α，又n⊥β，所以α⊥β，故C正确；
若m⊥n，m⊥α，则n⊂α或n∥α，又n∥β，所以α∥β或α与β相交，故D错误．
故选：C．
5．（5分）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．图2（正八边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如图2的平面直角坐标系，设OA＝1．则下列错误的结论是（ ）
A．
B．以射线OF为终边的角的集合可以表示为
C．在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为
D．正八边形ABCDEFGH的面积为
【分析】直接利用向量的数量积，角的表示，三角形的面积公式的应用，弧长公式的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】解：如图所示：
对于A：，故A正确；
对于B：以射线OF为终边的角的集合可以表示，故B正确；
对于C：在以点O为圆心、OA为半径的圆中，弦AB所对的劣弧弧长为，故C正确；
对于D：正八边形ABCDEFGH的面积为，
故D错误．
故选：D．
6．（5分）已知实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，，则下列正确的结论是（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a
【分析】由已知可得，a﹣c＝log2（x2﹣2x+3）≥log22＝1，即可判定．
【解答】解：因为实数a，b满足3×2a﹣2b+1＝0，所以，根据指数函数y＝2x的单调性，可得a＜b，
因为，所以a﹣c＝log2（x2﹣2x+3）≥log22＝1，所以a＞c，
综上，b＞a＞c，
故选：B．
7．（5分）某程序框图如图所示，若N＝2021，则输出的S＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，利用裂项法即可求解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，
由于S＝++...+＝1﹣++...+﹣＝1﹣＝．
故选：C．
8．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的侧面面积为（ ）
A．12+2π B．2π C．12+π D．π
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的侧面积．
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为圆柱的柱体；
如图所示：
所以＝12+2π．
故选：A．
9．（5分）已知锐角α，β满足，则的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【分析】由已知结合两角差的余弦公式进行换元，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为锐角α，β满足，
所以cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝，
令x＝cosαcosβ，y＝sinαsinβ，
则x+y＝，
由题意得x＞0，y＞0，
则＝＝2（x+y）（）＝2（2+）＝8，
当且仅当x＝y时取等号，此时的最小值8．
故选：C．
10．（5分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4，三棱锥A1﹣ABC的体积为8，则四面体A﹣B1CC1的体积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设S△ABC＝S1，＝S2，棱台的高为h，用三棱锥的体积求出S2、S1，再求出三棱台ABC﹣A1B1C1的体积，即可求出四面体A﹣B1CC1的体积．
【解答】解：如图所示，
设S△ABC＝S1，＝S2，棱台的高为h，
由题意知，＝S2h＝4，
解得S2＝；
＝S1h＝8，解得S1＝；
所以三棱台ABC﹣A1B1C1的体积为：
V＝h（S1+S2+）＝h（++）＝12+4，
所以四面体A﹣B1CC1的体积为：
＝V﹣﹣＝（12+4）﹣4﹣8＝4．
故选：B．
11．（5分）已知点F是双曲线的左焦点，过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A，B，则的取值范围是（ ）
A．[﹣1，0） B． C． D．[﹣1，+∞）
【分析】根据双曲线的方程，可得a＝2，b＝，c＝3，由于双曲线和直线l都关于原点对称，可得|FA|＝|F2B|，结合双曲线的定义，可得＝，再构造函数f（d）＝，d≥5，根据函数的单调性和极限的思维，即可求解．
【解答】解：∵双曲线，
∴a2＝4，b2＝5，c2＝a2+b2＝5+4＝9，即a＝2，b＝，c＝3，
∵双曲线与过原点的直线l都关于原点对称，
∴|FA|＝|F2B|，
∵由双曲线的定义，可知|FB|﹣|F2B|＝2a＝4，
∴|FA|＝|FB|﹣4，
设|FB|＝d，d≥a+c＝5，
∴＝，
设f（d）＝，d≥5，
求导可得f'（d）＝，
∴f（d）在[5，6）单调递减，在（6，+∞）单调递增，，
又∵当d趋近于正无穷时，f（d）趋近于0，
∴f（d）的取值范围为[﹣1，0），
则的取值是[﹣1，0）．
故选：A．
12．（5分）在△ABC中，sin（A﹣B）+sinB＝sinC，点D在边BC上，且CD＝2BD，设，则当k取最大值时，sin∠ACD＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】由sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB，利用诱导公式、和差公式、三角形内角和定理即可得出，进一步利用已知条件和正弦定理建立联系，即可求解．
【解答】解：因为sin（A﹣B）+sinB＝sinC，可得sinB＝sin（A+B）﹣sin（A﹣B），
所以sinB＝2cosAsinB，
又sinB≠0，
可得cosA＝，
又A∈（0，π），
可得A＝，
设BD＝x，∠BAD＝θ，θ∈（0，），
则DC＝2x，由已知可得sinB＝ksinθ，
由正弦定理得AD＝kx，
sinC＝＝sin（−θ）．
又sinC＝sin（−B）＝cosB+sinB＝cosB+sinθ，
由 cosB+sinθ＝sin（−θ），
得cosB＝kcos（+θ）．
因为sin2B+cos2B＝k2sin2θ+k2cos2（+θ）＝1，
所以k2＝＝＝，
因为θ∈（0，），
所以−＜2θ−＜．
所以当2θ−＝0，
即θ＝时，k取得最大值+1，
此时sinB＝（+1）×＝，
所以B＝，
所以sin∠ACD＝sin（π−−）＝．
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，规定0，1，2表示没有击中目标，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
6011 3661 9597 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045
7424 7610 4281 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为 0.6 ．
【分析】根据题意，分析随机数组中表示至少击中3次目标的个数，由古典概型的计算公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，在20组随机数中，表示至少击中3次目标的3661、9597、6947、4698、6233、8045、7424、7527、9857、0347、4373、8636；
共12个，
则该运动员射击4次至少击中3次目标的概率P＝＝0.6；
故答案为：0.6．
14．（5分）（+x）dx＝ ．
【分析】（+x）dx＝dx+xdx，再根据定积分的几何意义与运算法则分别对两部分积分，即可．
【解答】解：（+x）dx＝dx+xdx，
其中dx表示个单位圆，其面积为×π×12＝，
xdx＝（x2）＝0，
∴（+x）dx＝，
故答案为：．
15．（5分）已知实数x，y满足则的取值范围是 [，] ．
【分析】由约束条件作出可行域，求得t＝的范围，再由函数的单调性求的取值范围．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立方程组解得：A（2，1），B（1，3），
令t＝，则t∈[，3]，
＝，t∈[，3]，
∵g（t）＝t+在[，]上单调递减，在[，3]上单调递增，
且g（）＝，g（）＝，g（3）＝，
∴g（t）∈[，]．
即的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
16．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣2mx+e2x﹣2mex+2m2，若存在实数x0，使得f（x0）≤成立，则实数m＝ ．
【分析】化简可得题目等价于点 与点 Q（m，m） 距离的平方的最小值小于等于 ，转化为|PQ|的最小值为与 y＝ex 相切且与 y＝x 平行的直线与 y＝x 的距离，利用导数求出 y＝ex 的切线即可求出．
【解答】解：f（x）＝x2﹣2mx+e2x﹣2mex+2m2＝（x﹣m）2+（ex﹣m）2，
则存在实数 x0，使得 成立，等价于 ，
则可作是点 与点 Q（m，m） 距离的平方的最小值小于等于 ，
因为 P 在曲线 y＝ex 上，点 Q 在直线 y＝x 上，
则|PQ|的最小值与 y＝ex 相切且与 y＝x 平行的直线与 y＝x 的距离，
对于 y＝ex，y′＝ex，令 ex＝1，解得 x＝0，则切点为 M（0，1），
即点 M（0，1）到直线 y＝x 的距离最小，且距离为 ，
要使 ，则 ，此时 MQ 垂直于直线 y＝x，
则 ，解得 ．
故答案为：．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）如图，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得这三点的俯角分别为α＝30°，β＝45°，γ＝30°，现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE，经测量AD＝100m，BE＝33m，BC＝100m．
（Ⅰ）求PB的长；
（Ⅱ）求隧道DE的长（精确到1m）．
附：；．
【分析】（Ⅰ）根据题意求出∠PCB，在△PCB中运用正弦定理求出PB的长；
（Ⅱ）在△PAB中，利用正弦定理求出∠APB的值，再求隧道DE的长．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，∠BPC＝β﹣γ＝45°﹣30°＝15°，∠PBC＝180°﹣β＝135°，
所以∠PCB＝180°﹣15°﹣135°＝30°；
在△PCB中，由正弦定理得：＝，
且sin15°＝sin（45°﹣30°）＝×﹣×＝，
所以PB＝＝＝50（+）＝50（+1）≈193（m）．
（Ⅱ）在△PAB中，∠PAB＝α＝30°，∠ABP＝β＝45°，所以∠APB＝105°，
由正弦定理得：＝，
sin105°＝sin75°＝sin（45°+30°）＝×+×＝，
所以AB＝＝≈373（m），
所以DE＝AB﹣AD﹣BE＝373﹣100﹣33＝240（m），
即隧道DE的长为240m．
18．（12分）为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度（单位：μg/m3），整理数据得到如表：
SO2的浓度
空气质量等级
[0，50]
（50，150]
（150，475]
1（优）
28
6
2
2（良）
5
7
8
3（轻度污染）
3
8
9
4（中度污染）
1
12
11
若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题．
（Ⅰ）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；
（Ⅱ）完成下面的2×2列联表，
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
（150，475]
空气质量好
空气质量不好
（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？
附：．
P（K2≥k0）
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【分析】（1）求出不同空气质量等级的天数，即可求解．
（2）根据表中的数据，即可得出列联表．
（3）计算K2，对照题目中的表格，即可求解．
【解答】解：（1）由表格可得，该市100天中空气质量为1的有28+6+2＝36天，空气质量为2的有5+7+8＝20天，空气质量为3的有3+8+9＝20天，空气质量为4的有1+12+11＝24，
则该市一天的空气质量等级为1的概率为，
该市一天的空气质量等级为2的概率为，
该市一天的空气质量等级为3的概率为
该市一天的空气质量等级为4的概率为．
（2）由表格数据，可得列联表如下：
SO2的浓度
空气质量
[0，150]
（150，475]
空气质量好
46
10
空气质量不好
24
20
（3）由（2）可得，
∴有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关．
19．（12分）如图，O1，O2分别是圆台上、下底面的圆心，AB是下底面圆的直径，AB＝2O1O2，点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点（点P不在AO2上）．
（Ⅰ）求证：平面APO1⊥平面PO1O2；
（Ⅱ）若O1O2＝2，∠PAB＝45°，求二面角A﹣PO1﹣B的余弦值．
【分析】（Ⅰ）由线面垂直的判定可得AP⊥平面PO1O2，再由面面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）以O2为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面APO1与平面BPO1的法向量，结合向量夹角公式即可求解．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得O1O2⊥平面PAB，∴O1O2⊥PA，
∵AO2为直径，∴AP⊥PO2，
∵PO2∩O1O2＝O2，
∴AP⊥平面PO1O2，
又AP⊂平面APO1，∴平面APO1⊥平面PO1O2；
（Ⅱ）解：以O2为坐标原点，建立空间直角坐标系，
∵O1O2＝2，∴AB＝2O1O2＝4，∠PAB＝45°，
可得A（0，﹣2，0），B（0，2，0），O1（0，0，2），P（1，﹣1，0），
∴，，，．
设平面APO1的一个法向量为，平面BPO1的一个法向量为，
由，取y1＝1，得；
由，取y2＝1，得．
∴cos＜＞＝．
由图可知二面角A﹣PO1﹣B为钝角，
∴二面角A﹣PO1﹣B的余弦值为．
20．（12分）已知面积为16的等腰直角△AOB（O为坐标原点）内接于抛物线y2＝2px（p＞0），OA⊥OB，过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P，Q两点，点M是PQ的中点．
（Ⅰ）求此抛物线的方程和焦点F的坐标；
（Ⅱ）若焦点在y轴上的椭圆C经过点M，求椭圆C短轴长的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由题意，设A，B的坐标，由面积求出点A的坐标，代入抛物线方程，即可求出p的值，从而得到抛物线方程和焦点坐标；
（Ⅱ）先求出直线l的方程，与抛物线方程联立，求出M的坐标，设椭圆的标准方程，将点M的坐标代入，结合a＞b＞0，b＞，求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为△AOB为等腰直角三角形，且OA⊥OB，
则由抛物线的对称性可得AB⊥x轴，设A（m，m），B（m，﹣m），
故，解得m＝4，
所以A（4，4），代入抛物线方程可得16＝8p，解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x，焦点F的坐标为（1，0）；
（Ⅱ）由题意可得直线l的方程为y＝2x﹣2，
联立方程，可得x2﹣3x+1＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则x1+x2＝3，x1x2＝1，
又点M是PQ的中点，则，
设椭圆的方程为，
将点代入椭圆的方程，可得，
又a＞b＞0，
则，解得，
又b＞，则，故，
所以椭圆C的短轴长的取值范围为．
21．（12分）已知函数f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣x+1．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，求证：x2﹣x1＜﹣4m．
【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f′（2）＝求得a值，可得f（x）的解析式，再由f′（x）＞0求得函数的增区间，由f′（x）＜0求得函数的减区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）＝lnx﹣+1﹣ln2，且f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞），由题意，f（x1）＝f（x2）＝m，且0＜x1＜＜x2，可得x2﹣x1﹣+4m＝x2﹣x1﹣+2（f（x2）+f（x1））＝，构造函数，x＞，，0＜x＜，利用导数求其最大值，即可证明x2﹣x1﹣+4m≤＜0，可得x2﹣x1＜﹣4m．
【解答】（Ⅰ）解：∵f（x）＝alnx﹣+1﹣ln2，∴f′（x）＝﹣（x＞0），
∵f′（2）＝，∴a＝1，
∴f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜，
令f′（x）＜0，得x＞，
∴f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，f（x）＝lnx﹣+1﹣ln2，
且f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞），
由x1，x2（x1＜x2）是函数g（x）＝f（x）﹣m的两个零点，得f（x1）＝f（x2）＝m，
且0＜x1＜＜x2，∴x2﹣x1﹣+4m＝x2﹣x1﹣+2（f（x2）+f（x1））
＝，
令，x＞，
∵，令t1′（x）＞0，得＜x＜2，令t1′（x）＜0，得x＞2，
∴t1（x）在（，2]上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
∴t1（x）≤t1（2）＝2ln2；
令，0＜x＜，
∵，令t2′（x）＞0，得0＜x＜1，令t2′（x）＜0，得1＜x＜，
∴t2（x）在（0，1）上单调递增，在[1，）上单调递减，∴，
∴x2﹣x1﹣+4m≤＜0，
∴x2﹣x1＜﹣4m．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B（异于点O和点A）在曲线C上，求△AOB面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）先将曲线C的参数方程转化为普通方程，再利用，将其转化为极坐标方程；
（Ⅱ）设点B（ρ，α）（），由，求出△AOB面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数），
转换为普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，
根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅱ）点A的极坐标为，设点B（ρ，α）（），
则＝
＝，
当时，三角形的面积取得最大值2+．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|mx﹣1|（m＞0）．
（Ⅰ）当m＝2时，解不等式f（x）＜2；
（Ⅱ）若f（x）有最小值，且关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）分x＜﹣、﹣≤x≤、x＞三种情况讨论，即可求解．
（Ⅱ）设h（x）＝﹣x²﹣x﹣，根据f（x）有最小值，可推得0＜m≤2，由f（﹣）＝﹣m﹣1＜f（）＝+1，可得f（x）min＝f（﹣）＝﹣，需满足﹣m﹣1＜h（﹣）＝﹣，即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）当m＝2时，f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，
当x＜﹣ 时，﹣（2x+1）﹣（1﹣2x）＜2，解得x＜﹣，
当﹣≤x≤时，2x+1﹣（1﹣2x）＜2，解得﹣≤x＜，
当x＞时，2x+1﹣（2x﹣1）＜2，无解，
综上所述，原不等式f（x）＜2的解集为{x|x＜}．
（Ⅱ）设h（x）＝﹣x²﹣x﹣，则h（x）的图象对称轴为x＝﹣，开口向下的抛物线，
因为f（x）＝有最小值，
则当m＞2时，x＜﹣时，f（x）无最小值，所以0＜m≤2，
∵f（﹣）＝﹣m﹣1＜f（）＝+1，
∴f（x）min＝f（﹣）＝﹣，
∴﹣m﹣1＜h（﹣）＝﹣，
∴1＜m≤2，即m的取值范围是（1，2]．
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