专题05 立体几何体-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（解析版）

专题05   空间几何体

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【试题解析】

平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

所以平面，所以，

设正方体棱长为2，则，

，所以.

故选：D

【命题意图】

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

4．会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）．

5．了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．

6．通过考查几何体的表面积和体积等相关知识，考查数形结合思想和运算求解能力．

7.   会求空间中两条直线间的角度。

【命题方向】

空间几何体的结构是每年高考的热点之一，主要涉及空间几何体的表面积与体积、角度的计算、三视图等内容．命题形式以选择题或填空题为主，要求考生要有较强的空间想象能力和计算能力，广泛应用转化与化归思想．

【得分要点】

会求异面直线所成的角

（1）异面直线所成角的定义

如图,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a′∥a,b′∥b,相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

（2）异面直线所成角的范围

异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是.

（3）两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b.

一、单选题

1．（2021·全国高三其他模拟（理））如图所示，直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

取的中点为，的中点为，然后可得或其补角即为与所成角，然后在中求出答案即可.

【详解】

取的中点为，的中点为，

，，所以或其补角即为与所成角，

设，则，，

在，，

故选：A

2．（2021·重庆高三其他模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E为A1B1的中点，下列说法中正确的是（　　）

A．ED1与B1C所成的角大于60°

B．点E到平面ABC1D1的距离为1

C．三棱锥E﹣ABC1的外接球的表面积为

D．直线CE与平面ADB1所成的角为

【答案】D

【分析】

利用平行线转移求异面直线成角的正切值，判断A错误；利用平行线上点到平面的距离相等求点到面距离，判断B错误；先判断三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，再结合球中几何关系求球的半径，再求表面积，判断C错误；利用线面成角的定义求正弦值，判断D正确.

【详解】

对于A，取DC中点F，连接，则为ED1与B1C所成的角，因为，所以，故，即A错误；

对于B，由平面知，到平面的距离等于到平面的距离，连接，交于，则平面，而，故到平面的距离为，即B错误；

对于C，三棱锥的外接球即四棱锥的外接球.因为四边形是矩形，，四棱锥的高为，设四棱锥的外接球半径为R，则，解得.

所以三棱锥的外接球的表面积为，即C错误；

对于D，连接，取的中点H，连接，交EC于K，连接CH，HK，因为，所以是直线CE与平面ADB1所成的角，，故，在直角三角形中，，，，即D正确.

故选：D.

3．（2021·河南焦作市·高一月考）已知直线和平面，下列说法错误的是（ ）

A．若，，则 B．若，，，则

C．若，，，则 D．若，，则.

【答案】D

【分析】

根据空间中线面平行或垂直的判定定理和性质定理对各选项逐一分析即可求解.

【详解】

解：对A：若，，则由面面平行的性质有，所以A正确；

对B：若，，则由线面平行的性质有，又，

从而由面面垂直的判定定理有，所以B正确；

对C：若，，则，又，所以，所以C正确；

对D：若，，则或，所以D错误.

故选：D.

4．（2022·河南高三月考（理））已知线段平面，，两点到的距离分别为和，则的中点到平面的距离为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【分析】

根据是否在的同一侧进行分类讨论，由此求解出的中点到平面的距离.

【详解】

若，点在平面的同侧，

则线段的中点到平面的距离为；

若，在平面的异侧，

则线段的中点到的距离为.

综上，线段的中点到平面的距离为或.

故选：C.

二、多选题

5．（2021·重庆高三其他模拟）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DD1的中点，则下列结论中正确的是（　　）

A．平面A1BD⊥平面A1ACC1

B．直线BC1与平面ACC1A1所成角为30°

C．直线A1E与直线AC所成角为45°

D．四棱锥A﹣A1ECF的体积为

【答案】ABD

【分析】

根据正方体性质证明BD⊥平面A1ACC1，即证平面A1BD⊥平面A1ACC1，判断A正确；结合BD⊥平面A1ACC1，利用线面角的定义判断B正确；根据E在线段BB1中点上，判断，即知不为，判断C错误；利用体积公式计算四棱锥的体积即可判断D正确.

【详解】

对于A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面，则，又， 与相交于平面A1ACC1内，故BD⊥平面A1ACC1，故平面A1BD⊥平面A1ACC1，选项A正确；

对于B，BD⊥平面A1ACC1，直线BC1与平面ACC1A1所成角为，而是等边三角形，，故，故选项B正确；

对于C，为等腰三角形，E为BB1的中点，易见，故不为，故直线A1E与直线AC所成角，即直线A1E与直线所成角，不为45°，选项C错误；

对于D，如图，菱形A1ECF的面积为，

易见，故EF⊥平面A1ACC1，平面A1ECF⊥平面A1ACC1，故点A到平面A1ACC1的距离，即直角三角形中，点A到底边的距离，即，故四棱锥A﹣A1ECF的体积为，故选项D正确.

故选：ABD.

6．（2021·全国高三其他模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面△ABC为等腰直角三角形，∠C＝，AA1＝AC，M，N分别是BC，BB1的中点，P是线段A1C1上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．A1P⊥MN

B．直线MN与直线A1B1夹角的余弦值为

C．直线MN⊥平面A1PN

D．若P是线段A1C1的中点，则三棱锥A1﹣PMN的体积V1与三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V2之比为

【答案】ACD

【分析】

结合线面垂直的判定定理和性质定理判断A；

根据中位线得出线线角，结合余弦定理即可判断B；

根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，结合线面垂直的判定定理即可判定C；

结合图像和体积公式计算即可判断D.

【详解】

：因为，所以，故

因为侧棱面，所以，

又，所以面，

而面，,所以，故正确；

：连接、，由M、N分别是BC、的中点，

则，所以是MN与所成角，

设，则AC=，,

在中，故B错误；

C：连接，

则

在中，，

所以为直角三角形，，所以，

又平面，故，又，

所以面，所以平面，故C正确；

D：由C和题意知，，所以，

因为P是的中点，所以，又，

所以，，

所以，故D正确.

故选：

7．（2021·全国高一课时练习）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（    ）

A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面

C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°

【答案】ABD

【分析】

根据异面直线的定义及异面直线的夹角问题可一一判断.

【详解】

由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E共面，A错误；

由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；

同理AE与B1C1是异面直线，C正确；

AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，而E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成为90°，D错误.

故选：ABD.

8．（2021·江苏高一月考）如图，直角梯形中，，E是边中点，将沿翻折，得到四棱锥，在翻折的程中，下列说法正确的是（    ）

A．面 B．

C．三棱锥体积的最大值是 D．点C到面距离的最大值是

【答案】ABD

【分析】

结合点线面的位置关系，对四个选项逐个分析，可选出答案.

【详解】

由题意，，且，

∴四边形是平行四边形，

又∵，∴四边形是正方形.

∵，且平面，平面，

∴面，即A正确；

在梯形中中，，翻折过程中，

∵，∴平面，

∵平面，

∴，即B正确；

在翻折过程中，当平面时，三棱锥体积最大，

所以该三棱锥体积的最大值为，

故C错误；

作于，作于，连接，

由平面，可得，

∵，且平面，

∴平面，

∵平面，

∴，

又∵，且平面，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

在中，作于，

∵平面平面，

∴平面，

由题易知平面，可知即为点C到面的 距离，

设，则，即，

在中，，，

∴，

易知函数在上单调递增，

∴，当时，取得最大值.

∴点C到面距离的最大值是.

故D正确.

故选：ABD.

9．（2021·福建高三三模）已知正四棱锥的侧面积为，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是（    ）

A．棱锥的高与底面边长的比为

B．侧棱与底面所成的角为

C．棱锥的每一个侧面都是等边三角形

D．棱锥的内切球的表面积为

【答案】ACD

【分析】

设底面边长为，侧棱长为，求出棱锥体积，通过构造函数，求导可知当，及时棱锥体积最大，然后再逐项判断即可.

【详解】

设底面边长为，侧棱长为，则，即，

而，又，

故，

设，则，

易知函数在单调递增，在单调递减，

∴当时，取得最大值，此时棱锥的体积最大，且，

∴底面边长为2，侧棱长为2，，，

∴棱锥的高与底面边长的比为，选项A正确；

侧棱与底面所成的角为，而，则，选项B错误；

由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项C正确；

设内切球的半径为，由于，，

∴，

∴，选项D正确.

故选：ACD.

三、双空题

10．（2021·全国高一课时练习）如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，直线A1B与直线AC所成角的大小为____;直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为____．

【答案】       

【分析】

依题意可得△BA1C1为等边三角形，则直线A1B与直线AC所成角可求解；设BC1交B1C于O，依题意可证明BC1⊥平面A1B1CD，则∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，根据正弦公式即可求解角的大小．

【详解】

连接A1C1，BC1，△BA1C1为等边三角形，所以直线A1B与直线AC所成角的大小为；

因为四边形BCC1B1是正方形，所以BC1⊥B1C，又DC⊥平面BCC1B1，所以BC1⊥CD，又因为CD∩B1C=C，所以BC1⊥平面A1B1CD．

设BC1交B1C于O，则∠OA1B为直线A1B和平面A1B1CD所成的角，

在Rt△OA1B中，，所以直线A1B和平面A1B1CD所成角的大小为．

故答案为：

四、填空题

11．（2021·全国高一课时练习）已知正四棱锥P-ABCD，PA＝2，AB＝，M是侧棱PC的中点，且BM＝，则异面直线PA与BM所成角为________．

【答案】45°

【分析】

通过平移后，再解三角形即可.

【详解】

如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则∠OMB为异面直线PA与BM所成角．由O，M分别为AC，PC中点，得OM＝PA＝1．在RtAOB中，易得OB＝AB·tan·45°＝1．又BM＝，即OB2＋OM2＝BM2，所以OMB为直角三角形，且∠OMB＝45°．

故答案为：45°.

12．（2021·四川雅安市·雅安中学高二期中（理））在正方体中，与平面所成角的正切值是_________.

【答案】

【分析】

在正方体中，连接交于E，连接，利用线面垂直的判定定理得平面，利用线面角的定义知为所求角，在直角中，即可求得其正切值.

【详解】

作出正方体，连接交于E，连接

由正方体知面，而面，则

又正方形中，，又，故平面

则为与平面所成角

设正方体的棱长为2，在直角中，，

故

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查线面角的求法，线面垂直的判定定理，解题的关键是利用线面垂直的判定定理证得线面垂直，再利用线面角的定义找出所求角，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于基础题.

五、解答题

13．（2021·全国高一课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．

【答案】90°

【分析】

先平移后再解三角形即可.

【详解】

如图所示，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角(或其补角)．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，

∴GO⊥A1C1．

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°．

14．（2021·全国高一课时练习）在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1．

【答案】

【分析】

连接CD1，AC．则∠AD1C=90°，所以△ACD1是等腰直角三角形，因此AD1=AC，所以求得即可求得，进而可求得.

【详解】

连接CD1，AC．由题意，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1=BC=2，

所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，

所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．

因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C=90°．

因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，可得△ACD1是等腰直角三角形，

所以AD1=AC．

因为AB=BC=2，∠ABC=120°，所以AC=2×sin 60°×2=6，

所以AD1=AC=3，所以AA1===．

【点睛】

思路点睛：平移线段法是求两异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：

①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出两异面直线所成的角；

②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角（或补角）；

③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由于两异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两异面直线所成的角．