三年（2019-2021）高考数学（理）真题分项汇编之专题14概率与统计（选择题、填空题）（解析版）

专题14  概率与统计（选择题、填空题）

1．【2021·全国高考真题（理）】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．

【详解】如图所示：

设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．

设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．

2．【2021·全国高考真题（理）】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为.

故选：C.

3．【2021·全国高考真题】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ）

A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立

C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立

【答案】B

【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】 ，

故选：B

【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立

4．【2021·全国高考真题】某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ）

A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大

B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等

D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等

【答案】D

【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.

【详解】对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；

对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；

对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；

对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.

故选：D.

5．【2021·全国高考真题】下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（    ）

A．样本的标准差 B．样本的中位数

C．样本的极差 D．样本的平均数

【答案】AC

【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.

【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；

由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；

由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；

由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；

故选：AC.

6．【2021·全国高考真题】有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本中位数相同

C．两组样本数据的样本标准差相同

D．两组样数据的样本极差相同

【答案】CD

【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.

【详解】A：且，故平均数不相同，错误；

B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误；

C：，故方差相同，正确；

D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确；

故选：CD

7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：

由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是

A．   B．

C．  D．

【答案】D

【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，

因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是.

故选：D.

【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.

8．【2020年高考全国II卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者

A．10名  B．18名 

C．24名  D．32名

【答案】B

【解析】由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x名，

，,故需要志愿者名.

故选：B

【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.

9．【2020年高考全国III卷理数】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】对于A选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于B选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于C选项，该组数据的平均数为，

方差为；

对于D选项，该组数据的平均数为，

方差为.

因此，B选项这一组标准差最大.

故选：B.

【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.

10．【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

A．62%  B．56%

C．46%  D．42%

【答案】C

【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，

则，，，

所以

所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.

故选：C.

【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.

11．【2020年高考山东】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

【答案】AC

【解析】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，所以，

所以，

所以，所以D选项错误.

故选：AC

【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

12．【2020年高考天津】从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：

，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为

A．10      B．18     

C．20      D．36

【答案】B

【解析】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，

则区间内零件的个数为：.

故选：B.

【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.

13．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A．0.5  B．0.6

C．0.7    D．0.8

【答案】C

【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．

【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．

14．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A．中位数  B．平均数

C．方差    D．极差

【答案】A

【解析】设9位评委评分按从小到大排列为．

则①原始中位数为，去掉最低分，最高分后剩余，中位数仍为，A正确；

②原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确；

③，，由②易知，C不正确；

④原极差，后来极差，显然极差变小，D不正确．故选A．

15．【2019年高考浙江卷】设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是

则当a在（0，1）内增大时，

A．增大         B．减小

C．先增大后减小       D．先减小后增大

【答案】D

【分析】研究方差随变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为的二次函数，二次函数的图象和性质解题．题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查．

【解析】方法1：由分布列得，

则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选D．

方法2：则，

则当在内增大时，先减小后增大．故选D．

【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．

16．【2021·浙江高考真题】袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则___________，___________.

【答案】1       

【分析】根据古典概型的概率公式即可列式求得的值，再根据随机变量的分布列即可求出．

【详解】，所以，

, 所以, 则．

由于

．

故答案为：1；．

17．【2020年高考江苏】已知一组数据的平均数为4，则的值是   ▲    ．

【答案】2

【解析】∵数据的平均数为4

∴，即.

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．

18．【2020年高考江苏】将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

【答案】

【解析】根据题意可得基本事件数总为个.

点数和为5的基本事件有，，，共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

19.【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．

【答案】 

【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，

且两球是否落入盒子互不影响，

所以甲、乙都落入盒子概率为，

甲、乙两球都不落入盒子的概率为，

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

故答案为：；.

【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.

20．【2020年高考浙江】盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球．从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为，则_______，_______．

【答案】，

【解析】因为对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以，

随机变量，

，

，

所以.

故答案为：.

【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.

21．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________．

【答案】

【解析】由题意，该组数据的平均数为，

所以该组数据的方差是．

22．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．

【答案】

【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．

【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为，所以该站所有高铁平均正点率约为．

【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．

23．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．

【答案】

【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．

【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是

【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．