专题02函数的概念与基本初等函数-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（解析版）

这是一份专题02函数的概念与基本初等函数-2021年高考真题和模拟题数学（文）分项汇编（全国通用）（解析版），共30页。

专题02 函数的概念与基本初等函数

1．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
3．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.
对于B，为上的减函数，不合题意，舍.
对于C，在为减函数，不合题意，舍.
对于D，为上的增函数，符合题意，
故选：D.
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
5．（2021年浙江省高考数学试题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
故选：D.
6．（2021年浙江省高考数学试题）已知，函数若，则___________.
【答案】2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.


1．（广西玉林市第十一中学2021届高三下学期高考热身考试数学（文）试题）函数的部分图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，再根据时函数值的情况，即可判断；
【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为，又，故函数为奇函数，排除B；
当时，，，所以，故排除CD；
故选：A
2．（上海市交通大学附属中学2021届高三最后模拟数学试题）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，且，，点在棱上运动，设的长度为，若△的面积为，则的图像大致为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】过作交于，过作交于，连接，有线面垂直的性质得，根据线面垂直的判定有面，进而可知，故，令，根据线段的平行关系、勾股定理求出、，即可得，写出关于x的关系式，利用二次函数性质判断图象.
【详解】过作交于，过作交于，连接，
∵平面，
∴平面，面，即，
∵，则，又，
∴面，面，则，
令，则，，
∴，则，而，则，而，
∴，而，
∴，由解析式知：变化类似二次函数曲线，
∴根据二次函数的性质知：关于对称，在上单调递减，在上单调递增，

故选：A
【点睛】关键点点睛：利用线面垂直的判定及性质判断，根据平行关系及线段垂直关系，应用勾股定理求、、 ，进而写出关于的函数式.
3．（甘肃省靖远县2021届高三高考考前全真模拟数学（理）试题）函数的图象向右平移1个单位长度得到函数的图象，则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象的变换，求得函数，根据当时，得到，可排除A、B；当时，得到，可排除C，进而求解.
【详解】由题意，可得，其定义域为，
当时，，函数，
故排除A、B选项；
当时，0，故函数，故排除C选项；
当时，函数，
该函数图象可以看成将函数的图象向右平移一个单位得到，选项D符合.
故选：D.
4．（安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷理科数学试题）已知函数，若关于x的方程有四个不同的解，则实数m的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，根据的解析式，可得的单调性、奇偶性，即可作出的图象，即可求得t的最小值，利用导数判断的单调性，结合t的范围，作出的图象，数形结合，可得 时，的图象与图象有2个交点，此时与分别与有2个交点，即即有四个不同的解，满足题意，即可得答案.
【详解】设，则有四个不同的解，
因为，
所以为偶函数，且当时，为增函数，
所以当时，为减函数，
所以，即，
当时，，
则，
令，解得，
所以当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
又，
作出时的图象，如图所示：

所以当时，的图象与图象有2个交点，且设为，
作出图象，如下图所示：

此时与分别与有2个交点，即有四个不同的解，满足题意.
综上实数m的取值范围为.
故选：A
【点睛】解题的关键是根据解析式，利用函数的性质，作出图象，将方程求根问题，转化为图象求交点个数问题，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
5．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为是上的偶函数，所以，对，，
所以函数是周期函数，且周期.
，
依题意，只需使函数的图象与函数的图象在上有5个交点即可.
在同一坐标系中分别作出与的图象，
由图可知，实数满足，解得，即实数的取值范围是.
故选：B.

6．（四川省遂宁市2021届高三三模数学（文）试题）已知函数，若，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：是上的减函数，是上的减函数，
是上的减函数，
，，，
，
．
故选：．
7．（北京市首师大附中2021届高三4月份高考数学模拟试题）若实数，，互不相等，且满足，则（ ）
A． B． C．， D．，
【答案】D
【详解】解：设，
则，，，
根据指数、对数函数图象易得：，，

即，，
故选：D.
8．（河北衡水中学高三2021届三轮复习数学试题）已知，下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解析：因为在上单调递减，在上单调递增，所以，故A错误；取，，则，故B错误；因为，所以，即，由，得，即，故C正确；画出指数函数与对数函数的图象(如图所示)，设其交点坐标为，则，取，由图象可知，，故D错误.
故选：C.

9．（东北三省三校（哈师大附中）2021届高三四模数学（理）试题）设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：为定义在上的奇函数，
因为当时，，
所以，
故，在，上单调递增，根据奇函数的性质可知在上单调递增，
因为，所以，
由不等式可得，，解可得，，
故解集为
故选：．
10．（山东师范大学附属中学2021届高三数学打靶模拟试题）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由分段函数单调递增的特性结合单调增函数的图象特征列出不等式组求解即得.
【详解】因函数在R上单调递增，
则有在上递增，在上也递增，
根据增函数图象特征知，点不能在点上方，
于是得 ，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：A
11．（广东省珠海市第二中学2021届高三5月份最后一次测试数学试题）设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出的值域．
【详解】因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.
故选：.
12．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题）（三）已知是定义在上的偶函数，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析、的值，即可得的解析式，由复合函数单调性的判断方法分析的单调性，据此分析可得答案．
【详解】解：根据题意，是定义在，上的偶函数，则有，则，
同时，即，则有，必有，
则，其定义域为，，
则，设，若，则有，
在区间，上，且为减函数，
在区间，上为增函数，
则在，上为减函数，其最大值为，
故选：．
13．（安徽省合肥一六八中学2021届高三下学期最后一卷文科数学试题）已知满足，其中e是自然对数的底数，则的值为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】D
【分析】把已知等式取对数，得到两个关系，抽象成一个方程的解，再根据方程的解的唯一性，得到，关系，进而求出结论.
【详解】因为，，
所以，，
即，，
所以，均为方程的根，
又因为方程的根唯一，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查数与方程的关系，解题的关健要把两个条件式子化为结构一致，然后构造出一个方程，考查抽象概括能力，属于难题.
14．（四川省成都市石室中学2021届高三一模文科数学试题）设函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使得成立，则实数值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意得有解，而，，从而得 ，进而得
【详解】解：存在实数，使得成立，即有解，
即有解，
令，当且仅当，即时取等号，
令，则在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，即，
由已知当，当且仅当时取等号，当时，当时取等号，
因为有解，
所以，即，得，
故选：D
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是由题意得有解，然后构造函数，，求得，，从而可得，进而可求出的值，考查转化思想和计算能力，属于中档题
15．（安徽省皖江联盟2021届高三下学期最后一卷理科数学试题）定义在的单调函数对任意恒有，且时，，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先判断函数对称性，利用在时是单调的，结合二次函数性质解得参数m的取值范围，再验证的正负情况，并结合对称性，得到结果.
【详解】由，可知函数关于点中心对称.
因为对任意的，是单调函数，所以时，是单调的，而二次函数开口向上，对称轴为，
故当时，即，在时是单调递减的，根据对称性可知，函数在上也是单调递减的，又由，知在上是单调递减的；
当，即，在时是单调递增的，根据对称性可知，函数在上也是单调递增的，又由，知在上是单调递增的.
综上可得，实数m的取值范围是．
故选：B.
【点睛】本题的解题关键在于先利用部分函数的单调性求得参数范围，再结合对称性判断整体的单调性，即突破难点.
16．已知函数为定义在上的偶函数，当时，函数的最小值为1，则（ ）
A．3 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】先由函数为偶函数求出的值，即可写出的解析式，然后令，则，最后利用二次函数的图象与性质分情况求出的值，即可求得结果．
【详解】解：由题意知，得，整理得，所以，所以，，
令，则．易知在上是增函数，所以．
因为在上的最小值是1，所以在上的最小值是1，
当时，，解得或（舍去）；
当时，，不合题意，舍去．
综上，，
故选：D．
17．（浙江省普通高中强基联盟协作体2021届高三下学期统测数学试题）已知，对任意的，．方程在上有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对任意的，．方程在上有解，不妨取取，，方程有解只能取4，则排除其他答案.
【详解】，，则，.
要对任意的，．方程在上都有解,
取，，
此时，任意，都有，
其他的取值，方程均无解，则的取值范围是.
故选：D.
【点睛】已知恒成立、恒有解求参数范围的选择题，借助特值法解更迅捷.
18．（云南省2021届高三二模数学（文）试题）已知函数，若，且，设，则（ ）
A．没有最小值 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】B
【分析】先作出分段函数图象，再结合图象由，得到m与n的关系，消元得关于n的函数，最后求最值.
【详解】如图，作出函数的图象，
且，则，且，
，即.
由，解得.
，
又，当时，.
故选：B.

【点睛】（1）分段函数的图象一般分段来画，在画各段图象时要注意端点实虚.
（2）多变量问题研究的核心就是要减少变量，将多变量问题化归于单变量问题.根据变量间的关系消元或整体换元将多变量化归单变量是解决此类问题的常用方法.
19．已知函数若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】作出函数的图象,令，则原方程可化为在上有2个不相等的实根，再数形结合得解.
【详解】
作出函数的图象如图所示．令，则可化为，要使关于的方程有6个根，数形结合知需方程在上有2个不相等的实根，，不妨设，，则解得，故的取值范围为，
故选B．
【点睛】形如的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出，的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令，先估计关于的方程的解的个数，再根据的图象特点，观察直线与图象的交点个数，进而确定参数的范围．
20．（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟数学试题）已知函数，，则当时（ ）
A．| B．
C． D．
【答案】C
【分析】令，利用导数求出单调性，得出，可得单调性，即可判断AB；根据，得，讨论大小去绝对值可比较.
【详解】令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，
则在单调递减，在单调递增，
和的大小不确定，故AB错误；
由可知，即，
令，
则，
当时，；
当，，
单调递增，，
综上，，故C正确，D错误.
故选：C.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是构造函数，利用导数判断出单调性且得出.
21．（河南省新安县第一高级中学2021届高三下学期二练热身练数学（文）试题）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为bit/s：为信道带宽，单位为：为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（ ）
A．2 B．99 C．101 D．9999
【答案】C
【分析】利用香农公式求的值，根据的值求的值，从而就能求出信噪比变为原来的多少倍.
【详解】当，时，，
由，得，所以，
所以，即信噪比变为原来的101倍.
故选：.
22．（衡水金卷河北省2021届高三高考数数学模拟试题）若M，N为函数图象上的两个不同的点，且M，N两点关于原点对称，则称点对(M，N)为函数的一个“配合点对”(点对(M，N)与点对(N，M)为同一“配合点对”).现给定函数(e为自然对数的底数)，若函数的图象上恰有两个“配合点对”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出函数0)的图象关于原点对称的图象所对应的函数，将问题转化为函数与函数有两个交点，即函数图象与函数图象有2个交点，然后求出的单调性，得出其大致图像，数形结合可得答案.
【详解】函数0)的图象关于原点对称的图象所对应的函数为
的图象上恰好有两个“配合点对”等价于函数与函数有两个交点，
即方程有两个不等式的正实数根，
即有两个不等式的正实数根，
即转化为函数图象与函数图象有2个交点.
，，
所以在上单调递增，且
所以当时，，单调递减.
当时，，单调递增.且时，，时，
所以
如图，函数图象与函数图象有令个交点.
则，解得.
故选：B.

【点睛】本题考查：函数中的新定义问题和根据函数图像交点求参数范围，解答本题的关键是由题意将问题转化为函数图象与函数图象有2个交点，然后求出的单调性，得出其大致图像，数形结合可得答案，属于中档题.
23．（山东省济南市章丘区2021届高三5月份模拟数学试题）若函数f(x)＝恰有两个零点，则正整数m的取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．15 D．16
【答案】AD
【分析】函数零点转化为方程解，每个选项验证即可解决此题．
【详解】函数f(x)的零点即为方程f(x)＝0的解．
当m＝1时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣1＝0，解得：x＝0；
当x≥2时，2021（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x＝1或3，只取x＝3．
∴函数有两个零点0或3．∴A对；
当m＝2时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣2＝0，解得：x＝；
当x≥2时，2021（x﹣2）（x﹣6）＝0，解得：x＝2或6．
∴函数有三个零点或2或6．∴B错；
当m＝15时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣15＝0，解得：x＝log415＜2；
当x≥2时，2021（x﹣15）（x﹣45）＝0，解得：x＝15或45．
∴函数有三个零点log415或15或45．∴C错；
当m＝16时，解方程f(x)＝0，当x＜2时，4x﹣16＝0，解得：x＝2不成立；
当x≥2时，2021（x﹣16）（x﹣48）＝0，解得：x＝16或48．
∴函数有两个零点16或48．∴D对；
故选：AD．
24．（河北衡水中学高三2021届三轮复习数学试题）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若在区间上的最大值与最小值分别为，，则
B．曲线与直线相切
C．若为增函数，则的取值范围为
D．在上最多有个零点
【答案】ACD
【分析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.
【详解】因为对于任意，都有，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确.
又，令，得(*)，
因为，，所以方程(*)无实数解，
即曲线的所有切线的斜率都不可能为，故B错误.
若为增函数，则大于等于0，
即，，
当且仅当时等号成立，所以，故C正确.
令，得或().设，
则，令，
则.当时，，
当时，，当时，，
所以函数为增函数，且，所以当时，，
从而，单调递增.又因为对于任意，都有，
所以为偶函数，其图象关于轴对称.
综上，在上单调递减，在上单调递增，
则直线与最多有2个交点，所以在上最多有3个零点，故D正确.
故选ACD.
25．（全国2021届高三5月份数学模拟试题）若函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．为周期函数，无最小正周期
B．为单调函数
C．∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立
D．∀x1∈R，∃x2∈R满足g²（x2）＝g（x1）
【答案】AC
【分析】对四个选项，一一验证：
对于A：根据周期函数的定义即可判断；
对于B：取特殊值,,即可判断；
对于C：先求出，
分三种情况：①均为有理数时，②均为无理数时，为无理数③当一个有理数，一个无理数时，分别判断；
对于D：取特殊值，利用，直接判断.
【详解】对于A：根据周期函数的定义，若x为有理数，对任意的正有理数T，则为有理数，所以；若x为无理数，对任意的正无理数T，则为无理数，所以；所以任意的正有理数T均为的周期，即为周期函数，无最小正周期，故A正确；
对于B：,,,所以g（x）不是单调函数，故B错误；
对于C：，
分三种情况：
①均为有理数时，为有理数，所以令，则满足；
②均为无理数时，为无理数，所以令，则满足；
③当一个有理数，一个无理数时，不妨设为有理数，为无理数，也是有理数，令为有理数，则
则满足.综上所述：∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立，故C正确；
对于D：令，则，由得：，因为，所以.故D错误.
故选：AC
【点睛】（1）四个选项互不相关的选择题，需要对各个选项一一验证.
（2）数学中的新定义题目解题策略：
①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
26．（江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高一上学期12月“一市一所”教育联盟第一次联测数学试题）已知函数，若的最小值为，则实数a的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【分析】分别求得和时的最小值，结合题意，即可得答案.
【详解】当,，
当且仅当时,等号成立，
当时,为二次函数，要想在处取最小，
则对称轴要满足,且,
即，解得,
故选：BCD.
【点睛】本题考查分段函数的应用，考查分析理解，求值化简的能力，考查分类讨论的思想，属中档题.
27．（广东省珠海市第二中学2021届高三5月份最后一次测试数学试题）为了得到函数的图象，可将函数的图象（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍
B．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
C．向上平移一个单位长度
D．向下平移一个单位长度
【答案】BC
【分析】根据函数图像变换求得结果.
【详解】解：由题意函数的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，
可得到函数的图象，则错误，B正确；
因为，
则将函数的图象向上平移一个单位可得到函数的图象，
则C正确，D错误.
故选：BC.
28．（重庆一中2021届高三高考数学押题卷试题）（三）已知是定义在上的函数，则（ ）
A．若为增函数，则的取值范围为
B．若为增函数，则的取值范围为
C．若为减函数，则的取值范围为
D．若为减函数，则的取值范围为
【答案】BD
【分析】根据分段函数单调增和单调减的条件分别列出不等式组，即可求得相应的实数a的取值范围.
【详解】解：此函数为增函数的条件是：，解得,
此函数为减函数的条件是：，解得,
故选：BD.
【点睛】本题考查分段函数的单调性，涉及指数函数，分式函数的单调性，属基础题，分段函数单调增(减),需要各段上单调增(减),而且衔接点处是非减(增)的.
29．（福建省宁德市2021届高三三模数学试题）已知函数，若，则___________.
【答案】4
【分析】根据题意，由函数的解析式分与两种情况讨论，求出的值，即可得答案.
【详解】根据题意，函数，
当时，，无解；
当时，，解可得，符合题意，
故，
故答案为：4.
30．（浙江省金华市2021届高三下学期5月高考仿真模拟数学试题）已知函数，(a>0，a≠1)，若，则m=___________，___________.
【答案】1 2
【分析】根据函数解析式，由，求得m；由，则，求得.
【详解】，解得，
由，则，得，
故答案为：1；2.