2021学年2.2 等差数列的前n项和课文配套课件ppt

这是一份2021学年2.2 等差数列的前n项和课文配套课件ppt，共53页。PPT课件主要包含了数列的前n项和的定义，想一想，Sn的深入认识等内容，欢迎下载使用。

你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗？
世界七大奇迹之一——印度泰姬陵
传说泰姬陵 陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见示意图），奢靡之程度可见一斑。你知道这个图案一共花了多少颗圆宝石吗？
即: 1+2+3+······+100=？
1+1002+99. . .50+51

高斯的办法行吗？如何改进？
S21=1 + 2 + 3 + … + 21
2S21=(1+21) + (2+20) +(3+19 )+ … + (21+1)
S21 =21 + 20 + 19 + … + 1
21个22
探索与发现1：第1层到21层一共有多少颗圆宝石？
探索与发现2：第5层到12层一共有多少颗圆宝石？
总结一下这种方法特点？可以叫什么法呢？
S8=5+6+7+8+9+10+11+12
S8=12+11+10+9+8+7+6+5
问题2:等差数列1,2,3,…,n, …的前n项和怎么求？
sn=1 + 2 + … + n-1 + n
2sn =(n+1) + (n+1) + … + (n+1) + (n+1)
sn=n + n-1 + … + 2 + 1
n可能是奇数也可能是偶数，怎么避免讨论？
问题3: 对于一般等差数列{an}，首项为a1公差为d,如何推导它的前n项和公式Sn呢？
1.根据下列各题中的条件,求相应的等差数列｛an｝的前n项和Sn
例1.2000年11月14日教育部下发了<<关于在中小学实施“校校通”工程的通知>>.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少?
解:设从2001年起第n年投入的资金为an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列,其中 a1=500, d=50
答: 从2001年起的未来10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元。
例2、已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件可以确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
练习1：等差数列－10，－6，－2，2，·······前多少项和是54 ？
解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. 设 Sn= 54,
得     n2-6n-27=0        得 n1=9, n2=-3(舍去）。       因此等差数列 －10，－6，－2，2， ······· 前9项和是54。
练2．等差数列 中， 求 的值。
解：由 得：
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：
1.等差数列前n项和Sn公式的推导: 倒序相加法2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
说明：(1)正确合理的选择公式. (2)注意与通项公式相结合.
当n >1时： ①
当n >1时： ①
● 如果一个数列 的前n项和为其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列.
结论：数列是等差数列等价于
将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数 有什么特点？
当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数
则 Sn=An2+Bn
思考：当首项、公差确定时，Sn的结构有什么特征？
2.当d不为0时，点（n,Sn)是在常数项为0的一个二次函数的图象上。
结论1：{an}为等差数列 ，这是一个关于 的 没有 的“ ”
（ 注意 a 还可以是 0）
有最大值(至于是否在顶点处取得,要看顶点处所对应的横坐标距离它最近的正整数处取得,一般情况下或一,或两个最值),如右图所示:
2.当公差d>0即a>0时,
3.当公差d =0即a=0时,
1.当公差d <0即a<0时,
,则它是关于n的一次函数,
等差数列的前n项和例题4
变式.等差数列{an}中，已知an=2(n-12)，求此数列前n项和的最小值。
归纳：(1)当a1>0,d>0时,Sn有最小值无最大值，且最小值为S1； (2)当a1>0,d<0时,Sn有最大值无最小值，当am≥0且am+1≤0,Sn的最大值为Sm； (3)当a1<0,d>0时,Sn有最小值无最大值，当am≤0且am+1≥0,Sn的最小值为Sm； (4)当a1<0,d<0时,Sn有最大值无最小值，且最大值为S1。
　练习3：　等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和最小？
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 当an＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ≤0，求得n的值；
当an＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.
Sn = 2n2-12n
等差数列的前n项的最值问题
例5.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.
∴当n=7时,Sn取最大值49.
∴ an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
例6 （1）等差数列{an}的前15项和为45 ，求 的值. （2）等差数列{an}的前20项和为100， ，求 （3）等差数列{an}， ，求
例7 设等差数列{an}、{bn}的前n项 和分别为Sn、Tn，若 ， 求 的值.
设等差数列{an}、{bn}的前n项和 分别为Sn、Tn，则 等于什么？
在等差数列{an}中，Sn，S2n- Sn ，S3n-S2n…构成一个怎样的数列？
等差数列{an}中, S4=1,S8=4, 求 a9+a10+a11+a12=
1.等差数列的定义特征
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.
或an－1＋an＋1＝2 an(n≥2).
2.等差数列的递推公式
an－an－1 ＝d (n≥2).
3.等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋q.
4.等差数列的前n项和公式
S3n＝3(S2n－Sn)
（6）若数列{an}、{bn}都是等差数列，则数列{pan+q}，{an＋an＋1}，{xan＋ybn}，也是等差数列.
(7) m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq.
等差数列的性质应用：
例3、已知一个等差数列的总项数为奇数， 且奇数项之和为77，偶数项之和为 66，求中间项及总项数。