2020-2021学年江苏省盐城市高一（上）12月月考数学试卷 (1)苏教版

这是一份2020-2021学年江苏省盐城市高一（上）12月月考数学试卷 (1)苏教版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 函数y=lnx+1的零点是（ ）
A.eB.1eC.e,0D.1e,0

2. 若函数y=fx满足fx+1=fx−3，则（ ）为函数fx的一个周期．
A.1B.3C.−3D.4

3. 已知扇形的周长为6cm，圆心角为12弧度，则该扇形的面积为( )
A.3625cm2B.94cm2C.92cm2D.9cm2

4. 函数fx=2x+x−5的零点在区间n,n+1n∈Z上，则n=（ ）
A.0B.1C.2D.3

5. 若直线y=1与函数y=sinxπ2≤x≤5π2图像围成一个封闭区域，则封闭区域的面积是（ ）
A.πB.2πC.3πD.4π

6. 已知cs(60∘+α)=13，且−180∘<α<−90∘，则cs(30∘−α)的值为( )
A.−223B.223C.−23D.23

7. 函数 f(x)=sin(ωx+π6)(ω>0) 在(−π2,π2) 上单调递增，且图象关于x=−π对称 ，则ω的值为( )
A.23B.53C.2D.83

8. 已知fx为0,π2上的增函数，且对任意x∈0,π2，都有ffx−sinx=π6+12，则fπ2=（ ）
A.1B.π6+1C.π3−1D.π2
二、多选题

设fx=lg2|x|，gx=5−2|x|，若对于集合A中的任意一个元素x，都有fx=gx，则集合A=（ ）
A.2B.−2C.−2,2D.⌀

关于函数的零点给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
A.已知函数y=fx在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且fafb<0，则函数y=fx在区间a,b上至少有一个零点
B.已知函数y=fx在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且函数y=fx在区间a,b上有零点，则fafb<0
C.已知函数y=fx在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且函数y=fx在区间a,b上没有零点，则fafb≥0
D.已知函数y=fx在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，fafb<0，且函数y=fx在区间a,b上是单调函数，则函数y=fx在a,b上有且只有一个零点．

已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2且fx的图象关于点−π12,0对称，则下列判断正确的是( )
A.要得到函数fx的图象，只需将y=2cs2x的图象向右平移π6个单位
B.函数fx的图象关于直线x=512π对称
C.x∈−π6,π6时，函数fx的最小值为−2
D.函数f(x)在π6,π3上单调递减

若函数fx=2sinπx2 x∈[0,4），则函数y=ffx+k（k是常数）的零点个数可能是（ ）
A.0B.2C.4D.6
三、填空题

若f(csx)=cs2x，则f(sin15∘)=________．

函数y=sin2x−π3的单调增区间为________.

已知α为锐角，且sinαcsα=12，则11+sinα+11+csα=________．

已知函数fx=|lg2x|,0四、解答题

求下列函数的值域：
(1)y=csx−sin2x；

(2)y=12cs2x−π3,x∈0,π2.


(1)已知sin110∘+α=−35，且70∘<α<160∘，求sin20∘+α的值；

(2)已知sinx+csx=−7130
已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π 的图象如图所示．

(1)求fx的解析式；

(2)求fx在0,π上的单调减区间．

将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π6个单位长度后得到函数fx的图象．
(1)写出函数fx的解析式；

(2)求函数fx的对称中心的坐标；

(3)求正实数a和正整数n，使得Fx=fx−a在0,nπ上恰有2019个零点．

如图，某游乐场有一个半径为50米的摩天轮，该摩天轮的圆心O距离地面60米，摩天轮逆时针匀速转动，每10分钟转动一圈．若游客从最低点处登上摩天轮，从摩天轮开始转动计时．

(1)已知在时刻tmin时，求游客与地面的距离y(m)与摩天轮转动时间t（min）的函数关系式；

(2)摩天轮转动一圈的过程中，有多长时间游客距离地面的高度超过85米？

已知函数f(x)=|x−a|x(a>0)，且满足f(12)=1．
(1)判断并证明函数f(x)在(1, +∞)上的单调性；

(2)设函数g(x)=f(x)x，求g(x)在区间[12,4]上的最大值；

(3)若存在实数m，使得关于x的方程2(x−a)2−x|x−a|+2mx2=0恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省盐城市高一（上）12月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令fx=lnx+1=0，
得lnx=−1，
解得x=1e．
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
函数的周期性
【解析】
因y=fx满足fx+1=fx−3，则fx−1+1=fx−1−3，得fx=fx−4，由周期性的定义可得．
【解答】
解：因y=fx满足fx+1=fx−3，则
fx−1+1=fx−1−3，得fx=fx−4，则一个周期为：4．
综上所述，结论是：4为其一个周期．
故选D．
3.
【答案】
A
【考点】
弧长公式
扇形面积公式
【解析】
设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．
【解答】
解：设扇形的半径为r，弧长为l，
则扇形的周长为l+2r=6，
弧长为l=αr=12r，
∴ r=125cm.
根据扇形的面积公式，
得S=12αr2=12×12×1252=3625(cm2).
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
函数零点的判定定理
【解析】
先设出对应函数，把方程的根转化为对应函数的零点，再计算区间端点值，看何时一正一负即可求出结论．
【解答】
解：方程2x+x−5=0的解就是函数fx=2x+x−5的零点，
可知fx=2x+x−5在R上单调递增，
又∵f1=2+1−5<0，f2=4+2−5>0，
∴f(1)f2<0.
又∵fx在R上连续，根据零点存在定理，
fx在1,2上有零点，
故n=1.
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
【解析】
画出函数y=sinx，x∈π2,5π2的图象及y=1的图象，容易求出封闭图形的面积．
【解答】
解：如图，由正弦函数图像的对称性知，所围成平面图形的面积与长为5π2−π2=2π，宽为1的矩形的面积相等，
∴ S=2π.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
由cs(60∘+α)的值及α的范围，判断出sin(60∘+α)的正负，进而求出sin(60∘+α)的值，原式变形后利用诱导公式化简即可求出值．
【解答】
解：∵ cs(60∘+α)=13，−180∘<α<−90∘，即−120∘<α+60∘<−30∘，
∴ sin(60∘+α)<0，即sin(60∘+α)=−1−(13)2=−223，
则原式=cs[90∘−(60∘+α)]=sin(60∘+α)=−223，
故选A．
7.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的对称性
正弦函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(x)的单调增区间为:−π2+2kπ≤ωx+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
即−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω,k∈Z.
又f(x)在(−π2，π2)上单调递增，
∴−2π3ω+2kπω≤−π2π3ω+2kπω≥π2⇒ω≤43−4kω≤23+4k，
令k=0，则0<ω≤23,
∵f(x)关于x=−π对称，
∴−πω+π6=−π2+kπ,k∈Z,
∴ω=23−k,
∴ω=23.
故选A.
8.
【答案】
B
【考点】
函数单调性的性质
正弦函数的单调性
函数的求值
【解析】
fx在[0,π2]上是增函数，当x∈[0,π2]时，ffx−sinx=π6+12，fx−sinx是定值，设fx=sinx+t，f(0)=t，f(f(0))=f(t)=sint+t=π6+12，解得t，再求出fπ2值．
【解答】
解：∵fx在[0,π2]上是增函数，
∴当x∈[0,π2]时，ffx−sinx=π6+12，fx−sinx是定值，
设fx=sinx+t，f(0)=t，
f(f(0))=f(t)=sint+t=π6+12，
解得t=π6，
fx=sinx+π6，
fπ2=π6+1．
故选B．
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
集合的含义与表示
对数函数的图象与性质
指数函数的图象
【解析】

【解答】
解：作出f(x)，g(x)在同一直角坐标系中的图象，如图：
若lg2|x|=5−2|x|，
则x=2或x=−2，
故满足条件的A有2，−2，−2，2.
故选ABC.
【答案】
A,C,D
【考点】
函数的零点
函数零点的判定定理
【解析】

【解答】
解：根据函数零点的定义，函数零点的判定定理，A、C、D都正确，
而B不正确，如果函数y=fx在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线，且函数y=fx在区间a,b上有零点，并且单调，则fafb<0正确，现在不保证单调，则零点个数可能多于一个，则fa，fb可能同号，即满足fafb>0，故B错误.
故选ACD.
【答案】
A,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
三角函数的最值
正弦函数的对称性
【解析】
根据题意求出函数fx的解析式，再判断四个选项中的命题是否正确即可．
【解答】
解：函数fx=Asinωx+φ中，A=2，T2=π2，
∴ T=π，ω=2πT=2，
又fx的图象关于点−π12,0对称，
∴ ωx+φ=2×−π12+φ=kπ，
解得φ=kπ+π6，k∈Z，
∴ φ=π6，
∴ fx=2sin2x+π6，
A，y=2cs2x向右平移π6个单位，得y=2cs2x−π6=2cs2x−π3的图象，
且y=2cs2x−π3=2csπ3−2x
=2sin2x+π6，故A正确；
B，x=5π12时，f(5π12)=2sin(2×5π12+π6)=0，fx的图象不关于x=5π12对称，故B错误；
C，x∈−π6,π6时，2x+π6∈−π6,π2，sin2x+π6∈−12,1，fx的最小值为−22，故C错误；
D，x∈π6,π3时，2x+π6∈π2,5π6，f(x)单调递减，故D正确．
故选AD．
【答案】
A,B,C
【考点】
函数的零点
正弦函数的图象
函数零点的判定定理
【解析】

【解答】
解 ∵y=f(f(x)+k)=0，
又 ∵fx=2sinπx2 ，x∈[0,4)，
故fx+k=0，2，
即①fx+k=0，
②fx+k=2，
∴当 k<−2，−k>2，2−k>4,此时①②都没有零点，
k=−2,−k=2， 2−k=0，此时①②共有3个零点，
−2k=0 时①②共有3个零点 ，
0k=2 时①②共有3个零点 ，
2k=4 时①②共有1个零点 ，
k>4 时①②没有零点 .
故选ABC．
三、填空题
【答案】
−32
【考点】
任意角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
【解析】
用三角函数中的诱导公式进行转化，可转化问题已知条件直接代入求解即可．
【解答】
解：f(sin15∘)=f(cs(90∘−15∘))=f(cs75∘)
=cs(2×75∘)=cs150∘=−32.
故答案为：−32.
【答案】
kπ−π12, kπ+5π12，k∈Z
【考点】
正弦函数的单调性
【解析】
令 2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，，求得x的范围，可得答案．
【解答】
解：令 2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，
故y=sin(2x−π3) 的单调增区间为kπ−π12, kπ+5π12，k∈Z.
故答案为：kπ−π12, kπ+5π12，k∈Z.
【答案】
4−22
【考点】
三角函数的化简求值
【解析】
首先根据sin2α+cs2α=1以及sinαcsα=12求出sinα+csα=2，然后将所求的式子进行通分将相应的值代入即可．
【解答】
解：∵ (sinα+csα)2=sin2α+2csαsinα+cs2α=1+1=2，
又∵ α为锐角，
∴ sinα+csα=2，
∵ 11+sinα+11+csα=2+sinα+csα1+csα+sinα+sinαcsα
2+21+12+2=4−22.
故答案为：4−22．
【答案】
(8，172]
【考点】
分段函数的应用
函数的图象与图象变化
函数与方程的综合运用
【解析】

【解答】
解：函数的图象如图所示：
∵ fx1=fx2，
∴ −lg2x1=lg2x2，
∴ lg2x1x2=0，
∴ x1x2=1，
∴ 12≤x1当x=2时，f(x)=1，
∴ 12≤x1∴ 2fx3=fx4，
∴ x3+x4=6，2∴ 8故答案为：(8，172].
四、解答题
【答案】
解：(1)y=csx−sin2x
=csx−1−cs2x
=cs2x+csx−1
=csx+122−54，
又csx∈[−1,1]，
∴y∈−54,1．
(2) x∈0,π2，
2x−π3∈−π3,23π，
cs2x−π3∈−12,1，
12cs(2x−π3)∈−14,12，
∴y∈−14,12．
【考点】
正弦函数的定义域和值域
二次函数在闭区间上的最值
函数的值域及其求法
余弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)y=csx−sin2x
=csx−1−cs2x
=cs2x+csx−1
=csx+122−54，
又csx∈[−1,1]，
∴y∈−54,1．
(2) x∈0,π2，
2x−π3∈−π3,23π，
cs2x−π3∈−12,1，
12cs(2x−π3)∈−14,12，
∴y∈−14,12．
【答案】
解：(1)sin20∘+α
=sin110∘+α−90∘
=−sin[90∘−(110∘+α)]
=−cs110∘+α，
又70∘<α<160∘，
∴ 180∘<110∘+α<270∘，
∵ sin110∘+α=−35，
∴cs110∘+α=−45，
∴sin20∘+α=45．
(2)sinx+csx2=sin2x+cs2x+2sinxcsx=49169，
2sinxcsx=−120169，又0∴sinx>0，
∴csx<0，π20，
sinx−csx=1−2sinxcsx=1713，
∴sinx=513，csx=−1213，
csx+2sinx
=−1213+1013=−213．
【考点】
同角三角函数间的基本关系
三角函数的恒等变换及化简求值
运用诱导公式化简求值
三角函数的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)sin20∘+α
=sin110∘+α−90∘
=−sin[90∘−(110∘+α)]
=−cs110∘+α，
又70∘<α<160∘，
∴ 180∘<110∘+α<270∘，
∵ sin110∘+α=−35，
∴cs110∘+α=−45，
∴sin20∘+α=45．
(2)sinx+csx2=sin2x+cs2x+2sinxcsx=49169，
2sinxcsx=−120169，又0∴sinx>0，
∴csx<0，π20，
sinx−csx=1−2sinxcsx=1713，
∴sinx=513，csx=−1213，
csx+2sinx
=−1213+1013=−213．
【答案】
解：(1)由图可得A=2，
T4=π6−−π12=π4，
T=π=2π2，
ω=2，
fx=2sin2x+φ
x=−π12时2sin−π6+φ=2，
sin−π6+φ=1,
−π6+φ=π2+2kπ，
φ=23π+2kx 又0<φ<π，
∴φ=23π,
故fx=2sin2x+23π.
(2)2kπ+π2≤2x+23π≤2kπ+3π2，
kπ−π12≤x≤kπ+512π
单调减区间为kπ−π12,kx+5π12，k∈Z．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由图可得A=2，
T4=π6−−π12=π4，
T=π=2π2，
ω=2，
fx=2sin2x+φ
x=−π12时2sin−π6+φ=2，
sin−π6+φ=1,
−π6+φ=π2+2kπ，
φ=23π+2kx 又0<φ<π，
∴φ=23π,
故fx=2sin2x+23π.
(2)2kπ+π2≤2x+23π≤2kπ+3π2，
kπ−π12≤x≤kπ+512π
单调减区间为kπ−π12,kx+5π12，k∈Z．
【答案】
解：(1)由题意得：f(x)=sin(2x+π3)．
(2)令2x+π3=kπ，
x=kπ2−π6，
对称中心为(kπ2−π6,0)．
(3)F(x)=f(x)−a在[0,nπ]上恰有2019个零点，
故y=f(x)与y=a，a>0在[0,nπ]上恰有2019个交点，
当x∈[0,π]，2x+π3∈[π3,73π]
①当a>1时，y=fx与y=a无交点；
②当a=1时，y=fx与y=a在[0,π]上有1个交点，要使Fx=fx−a在0,nπ上恰有2019个零点，则n=2019；
②当0③当a=32时，y=fx与y=a在[0,π]上有3个交点．要使在[0,nπ]上有2019个交点n=1009，
综上a=1，n=2019或a=32时，n=1009．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的对称性
函数的零点
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得：f(x)=sin(2x+π3)．
(2)令2x+π3=kπ，
x=kπ2−π6，
对称中心为(kπ2−π6,0)．
(3)F(x)=f(x)−a在[0,nπ]上恰有2019个零点，
故y=f(x)与y=a，a>0在[0,nπ]上恰有2019个交点，
当x∈[0,π]，2x+π3∈[π3,73π]
①当a>1时，y=fx与y=a无交点；
②当a=1时，y=fx与y=a在[0,π]上有1个交点，要使Fx=fx−a在0,nπ上恰有2019个零点，则n=2019；
②当0③当a=32时，y=fx与y=a在[0,π]上有3个交点．要使在[0,nπ]上有2019个交点n=1009，
综上a=1，n=2019或a=32时，n=1009．
【答案】
解：(1)设y=Asinωt+φ+b，φ∈−π,π，
由题意得：A=50，b=60，T=10，
所以ω=π5，
所以y=50sinπ5t+φ+60.
又因为图象过点0,10，
所以50sinφ+60=10，φ∈−π,π，
所以φ=−π2，
所以y=50sin(π5t−π2)+60.
(2)由(1)知：y=50sinπ5t−π2+60，
因为游客距离地面不低于85米，
所以令y=50sinπ5t−π2+60≥85，其中0≤t≤10.
即sinπ5t−π2≥12，0≤t≤10，
所以π6≤π5t−π2≤5π6，
即103≤t≤203，
所以有103分钟的时间游客距离地面的高度超过85米．
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
函数解析式的求解及常用方法
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设y=Asinωt+φ+b，φ∈−π,π，
由题意得：A=50，b=60，T=10，
所以ω=π5，
所以y=50sinπ5t+φ+60.
又因为图象过点0,10，
所以50sinφ+60=10，φ∈−π,π，
所以φ=−π2，
所以y=50sin(π5t−π2)+60.
(2)由(1)知：y=50sinπ5t−π2+60，
因为游客距离地面不低于85米，
所以令y=50sinπ5t−π2+60≥85，其中0≤t≤10.
即sinπ5t−π2≥12，0≤t≤10，
所以π6≤π5t−π2≤5π6，
即103≤t≤203，
所以有103分钟的时间游客距离地面的高度超过85米．
【答案】
(1)证明：由f(12)=|12−a|12=1，得a=1或0．
因为a>0，所以a=1，所以f(x)=|x−1|x．
当x>1时，f(x)=x−1x=1−1x为增函数，
任取x1，x2∈(1, +∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=1−1x1−1+1x2=x1−x2x1x2.
因为10，f(x1)−f(x2)<0，
所以f(x)在(1, +∞)上为增函数.
(2)解：g(x)=f(x)x=|x−1|x2=x−1x2,1≤x≤4，1−xx2,12≤x<1.
当1≤x≤4时，
g(x)=x−1x2=1x−1x2=−(1x−12)2+14.
因为14≤1x≤1，
所以当1x=12时，g(x)max=14；
当12≤x<1时，g(x)=1−xx2=(1x−12)2−14，
因为12≤x<1时，所以1<1x≤2，
所以当1x=2时，g(x)max=2.
综上，当x=12时，g(x)max=2.
(3)解：由(1)可知，f(x)在(1, +∞)上为增函数，
当x>1时，f(x)=1−1x∈(0, 1)．
同理可得f(x)在(0, 1)上为减函数，
当0方程2(x−1)2−x|x−1|+2mx2=0
可化为2⋅|x−1|2x2−|x−1|x+2m=0，
即2f2(x)−f(x)+2m=0，
设t=f(x)，方程可化为2t2−t+2m=0，
要使原方程有4个不同的正根，
则方程2t2−t+2m=0在(0, 1)有两个不等的根t1，t2，
则有1−16m>0，2m>0，2×12−1+2m>0， 解得0所以实数m的取值范围为(0, 116)．
【考点】
函数的单调性及单调区间
函数最值的应用
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）由f(12)＝1，解方程可得a，再由单调性的定义，即可证得f(x)在(1, +∞)上为增函数；
（2）运用分段函数写出g(x)，讨论1≤x≤4，12≤x<1，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值；
（3）由题意可得方程2(x−1)2−x|x−1|+2mx2＝0可化为2⋅|x−1|2x2−|x−1|x+2m＝0，即2f2(x)−f(x)+2m＝0，
设t＝f(x)，方程可化为2t2−t+2m＝0，由题意可得方程2t2−t+2m＝0在(0, 1)有两个不等的根t1，t2，可得m的不等式，解不等式即可得到所求范围．
【解答】
(1)证明：由f(12)=|12−a|12=1，得a=1或0．
因为a>0，所以a=1，所以f(x)=|x−1|x．
当x>1时，f(x)=x−1x=1−1x为增函数，
任取x1，x2∈(1, +∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=1−1x1−1+1x2=x1−x2x1x2.
因为10，f(x1)−f(x2)<0，
所以f(x)在(1, +∞)上为增函数.
(2)解：g(x)=f(x)x=|x−1|x2=x−1x2,1≤x≤4，1−xx2,12≤x<1.
当1≤x≤4时，
g(x)=x−1x2=1x−1x2=−(1x−12)2+14.
因为14≤1x≤1，
所以当1x=12时，g(x)max=14；
当12≤x<1时，g(x)=1−xx2=(1x−12)2−14，
因为12≤x<1时，所以1<1x≤2，
所以当1x=2时，g(x)max=2.
综上，当x=12时，g(x)max=2.
(3)解：由(1)可知，f(x)在(1, +∞)上为增函数，
当x>1时，f(x)=1−1x∈(0, 1)．
同理可得f(x)在(0, 1)上为减函数，
当0方程2(x−1)2−x|x−1|+2mx2=0
可化为2⋅|x−1|2x2−|x−1|x+2m=0，
即2f2(x)−f(x)+2m=0，
设t=f(x)，方程可化为2t2−t+2m=0，
要使原方程有4个不同的正根，
则方程2t2−t+2m=0在(0, 1)有两个不等的根t1，t2，
则有1−16m>0，2m>0，2×12−1+2m>0， 解得0所以实数m的取值范围为(0, 116)．