2020-2021学年河南省高一（上）联考数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年河南省高一（上）联考数学试卷人教A版（2019），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合M={x|y=1−x}，N={y|y=2x}，则M∩N=( )
A.(0, 1]B.(−∞, 1]C.[0, +∞)D.[0, 1]

2. 直线x=1倾斜角为（ ）
A.0∘B.90∘C.45∘D.不存在

3. 下列命题中正确的是（ ）
A.若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行
B.若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面
C.若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行
D.不共线的四点可以确定一个平面

4. 已知函数f(1+）＝2x，则f（lg27)的值为（ ）
A.8B.16C.1D.4

5. 函数f(x)＝ex+2x−6的零点所在的区间是（ ）
A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(1, 2)D.(2, 3)

6. 如图，边长为1的正方形O′A′B′C′是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，则平面图形OABC以OA为轴旋转一周所围成的几何体是（ ）

A.一个圆柱
B.一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C.一个圆锥和一个同底面的圆柱（内部挖去一个同底等高的圆锥）的组合体
D.两个同底的圆锥的组合体

7. 已知，b＝，c＝3ln2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.b
8. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A.若α // β，m⊂α，n⊂β，则m // n
B.若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
C.若点A，B到α平面的距离相等，则直线AB // α
D.若m⊥α，m // β，则α⊥β

9. 函数f(x)=|x|(ex−e−x)的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.

10. 若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为2的直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A.2πB.πC.D.

11. 在正六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，设O和O1分别为下底面和上底面正六边形的中心，G，H是线段A1D1上的动点，且GH＝1(GH①DH与AB异面；
②当G为A1O1中点时，BG与平面ADD1A1所成角取得最大值；
③四面体BDGH的体积是定值；
④DB // EF．

A.①③④B.①②④C.①②③D.②③④

12. 当时，函数f(x)＝lga(−4x2+lgax)的图象恒在x轴下方，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.(0, 1)
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

设点A(−2, 1)，B(4, −2)，C(1, 1+2a)，若A，B，C三点共线，则实数a的值为________．

某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为4和3的矩形，则该圆柱其中一个底面的面积为________．

函数f(x)＝的值域为________．

已知四边形ABCD为矩形，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，若四棱锥P−ABCD外接球的表面积为16π，则四棱锥P−ABCD体积的最大值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，E，M分别是BC，BB1的中点．

（1）求证：A1，D，M，E四点共面；

（2）已知N在棱CC1上，求四面体A1BMN的体积．

已知函数f(x)＝2x2+bx+c(b, c∈R)的图象过点(1, 0)，且f(x−1)为偶函数．
（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若对任意的x∈[4, 16]，不等式f(lg4x)≤mlg4x恒成立，求m的最小值．

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD // AB，CD＝2AB，∠ADC＝90∘，E，F分别为CD，PC的中点．

（1）求证：平面BEF // 平面PAD；

（2）求证：平面BEF⊥平面PDC．

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB // CD，PD⊥CD，PD=2CD，过直线AB的平面与棱PC，PD分别交于点E，F．

(1)求异面直线PC与AB所成角的正切值；

(2)求证：EF // CD．

某地区为了推进节能减排、保护环境和发展经济的需要，政府计划由当地天然气公司在两个工业园区间A，B间修建天然气管道，已知两个工业园区相距120km，并且在两工业园区之间设立供气站点D（如图），为保证两个工业园区的安全，规定站点D距两工业园区的距离均不得少于15km．已知工业园区A一边有段10km长的旧管道AC，准备改造利用，改造费用为5万元/km，其余管道都要新建，新建的费用与站点D到A，B两工业园区方向上新修建管道的长度的平方和成正比，并且当站点D距离工业园区A40km时，新建的费用为1825万元．设站点D距工业园区A为xkm，A，B为两工业园区之间天然气管道的修建总费用为y万元．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出其定义域；

（2）如何规划站点D的位置，才能使修建总费用最小？最小总费用是多少？

图1，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，现将△ADC沿AC折起，得到三棱锥D−ABC（如图2），且DA⊥BC，点E为侧棱DC的中点．

（1）求证：AE⊥平面DBC；

（2）求三棱锥D−AEB的体积；

（3）在∠ACB的角平分线上是否存在点F，使得DF // 平面ABE？若存在，求DF的长；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省某校高一（上）联考数学试卷（1月份）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
根据根号有意义的条件和指数的性质，再根据充分必要条件的定义进行求解；
【解答】
解：∵ 集合M={x|y=1−x}，N={y|y=2x}，
可得1−x≥0，y=2x>0，
解得M={x|x≤1}，N={y|y>0}，
∴ M∩N={x|0故选A；
2.
【答案】
B
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
利用直线的性质求解．
【解答】
解：∵ 直线x=1垂直于x轴，
∴ 直线x=1的倾斜角为90∘．
故选：B．
3.
【答案】
C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
可借助正方体的线面位置关系来判断即可．
【解答】
在A中，从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交，但他们的交线互相垂直，故A错误；
在B中从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面，故B错误；
在C中不同的两条直线均垂直于同一个平面则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行，故C正确；
在D中，若四点连线构成两条异面直线，这时四点不能确定一个平面，故D错误；
4.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
求函数的值
【解析】
令，则x＝(t−1)2，从而得到f(x)的解析式，再计算f（lg27)的值．
【解答】
令，则x＝(t−4)2，
所以，
所以．
5.
【答案】
C
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
根据函数零点的判定定理进行判断即可．
【解答】
函数f(x)＝ex+2x−6是连续增函数，
∵ f(1)＝e−6<0，f(2)＝e2−4>0，
可得f(1)f(2)<0，
∴ 函数f(x)的其中一个零点所在的区间是(5, 2)，
故选：C．
6.
【答案】
C
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
由直观图画出原图形，结合旋转体的结构特征，即可得出平面图形旋转后所围成几何体的形状．
【解答】
解：由直观图O′A′B′C′画出原图OABC，如下图所示；
因为O′B′=2，
所以OB=23，OA=1，
所以平面图形OABC以OA为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱（里面挖去一个圆锥）．
故选C.
7.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
【解答】
由，b＝​ln4，
得，
所以b8.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
由面面平行的定义及空间中两直线的位置关系判断A；由面面垂直的性质判断B；由点到面的距离及线面关系判断C；由线面平行的性质及面面垂直的判定判断D．
【解答】
由α // β，m⊂α，得m // n或m与n异面；
若α⊥β，m⊂α，则m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；
若点A，B到α平面的距离相等，也可能与平面a相交；
若m // β，过m作平面与β相交，则m // n，所以n⊥α，故D正确．
9.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
判断函数的奇偶性即可．
【解答】
解：因为f(−x)=(e−x−ex)|−x|=−(ex−e−x)|x|=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B选项.
当x>0时，ex>1,00，且|x|>0，
故 fx=|x|ex−e−x>0，排除AD选项.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
由已知可得圆锥的母线长及母线与底面所成角，进一步求得圆锥的底面半径与高，则圆锥的体积可求．
【解答】
由题意，得该圆锥的母线长为2，
易得圆锥高和底面半径均为，
则所求圆锥的体积为V＝＝．
11.
【答案】
C
【考点】
棱柱的结构特征
命题的真假判断与应用
【解析】
①由于AB∩平面ADD1A1＝A，B∉平面ADD1A1，所以DH与AB异面；
②由于当G为A1O1中点时，可证BG⊥A1D1，点G到点B的距离取得最小值，此时，BG与平面ADD1A1所成角取得最大值，即可判断正误；
③由于△DGH的面积为定值，而点B到平面DGH的距离也是定值，因而其体积为定值；
④显然DB // EA，即可判断正误．
【解答】
结合题意，对于①​1A1＝A，B∉平面ADD3A1，
所以DH与AB异面．①正确；
对于②，当G为A1O4中点时，可证BG⊥A1D1，点G到点B的距离取得最小值，
此时，BG与平面ADD6A1所成角取得最大值，②正确；
对于③，因为△DGH的面积为定值，
因而其体积为定值，故③正确；
对于④，显然DB // EA．
12.
【答案】
A
【考点】
对数函数的图象与性质
【解析】
根据题意可知f(x)＝lga(−4x2+lgax)<0对任意恒成立，a>1时，显然不合题意；0【解答】
根据题意知f(x)＝lga(−4x2+lgax)<4对任意恒成立，
当a>1时，对任意；
当01对任意恒成立，
即，
结合单调性可知，只需lga，
又0∴ ≤a<4．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
【答案】
【考点】
三点共线
【解析】
由题意利用三点共线的性质，求得a的值．
【解答】
∵ 点A(−2, 1)，−5)，1+2a)，B，C三点共线，
∴ ，
解得 ，
【答案】
或
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】
讨论底面圆周长为4和3时，分别求出底面圆的半径和面积．
【解答】
设底面半径为r，
当底面圆周长为4时，2πr＝7，
所以底面圆的面积为πr2＝π•＝；
当底面圆周长为5时，2πr＝3，
所以底面圆的面积为πr2＝π•＝；
所以底面圆的面积为或．
【答案】
(−1, 1)
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
分离常数即可得出，然后根据2021x>0即可得出f(x)的值域．
【解答】
，
∵ ，
∴ ，
∴ f(x)的值域为：(−1, 1)．
【答案】
4
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
由题意画出图形，可知矩形ABCD的中心为四棱锥外接球的球心，由已知求出四棱锥外接球的半径，得到矩形对角线长，进一步求出另一边长，再求出P到底面距离，即可求解四棱锥P−ABCD体积的最大值．
【解答】
如图，连接AC，取AD的中点E，
设AC∩BD＝O，
分别过E作平面PAD的垂线，过O作平面ABCD的垂线，
得球心为O，
由四棱锥P−ABCD外接球的表面积为16π，得到其半径为2，
则AC＝4，设BC＝x，
则．
在Rt△PAD中，．
当PE⊥AD时，四棱锥P−ABCD的高最大，且最大值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
【答案】
证明：连接A1D，B1C，
∵ A4B1 // DC且A1B4＝DC，∴ 四边形A1B1CD是平行四边形，
∴ A2D // B1C，
又∵ E，M分别为BC1中点，∴ ME // B8C，∴ ME // A1D，
∴ A1，D，M，E四点共面．
由题意，得△BMN的面积，
由题意得A1B1⊥平面BMN，且A2B1＝4，
∴ 四面体A3BMN的体积．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
平面的基本性质及推论
【解析】
（1）连接A1D，B1C，推导出四边形A1B1CD是平行四边形，从而A1D // B1C，由中位线定理得ME // B1C，从而ME // A1D，由此能证明A1，D，M，E四点共面．
（2）求出△BMN的面积，推导出A1B1⊥平面BMN，且A1B1＝4，由此能求出四面体A1BMN的体积．
【解答】
证明：连接A1D，B1C，
∵ A4B1 // DC且A1B4＝DC，∴ 四边形A1B1CD是平行四边形，
∴ A2D // B1C，
又∵ E，M分别为BC1中点，∴ ME // B8C，∴ ME // A1D，
∴ A1，D，M，E四点共面．
由题意，得△BMN的面积，
由题意得A1B1⊥平面BMN，且A2B1＝4，
∴ 四面体A3BMN的体积．
【答案】
因为f(x)＝2x2+bx+c为二次函数，且f(x−4)为偶函数，
可得f(−x−1)＝f(x−1)，
所以f(x)的图象的对称轴方程为x＝−7，
又f(x)的图象过点(1, 0)，
故，
解得，
所以f(x)＝4x2+4x−6；
令t＝lg4x，
由x∈[4, 16]，3]，
不等式f(lg4x)≤mlg4x，即2(lg4x)2+8lg4x−6≤mlg4x，
可得在[1，
因为函数在[1，
易得当t＝3时，＝5，
故m的取值范围是[5, +∞)，
所以实数m的最小值为6．
【考点】
函数恒成立问题
二次函数的图象
二次函数的性质
【解析】
（1）由偶函数的定义，可得f(x)的图象关于直线x＝−1对称，由二次函数的对称轴方程和f(1)＝0，解得b，c，可得f(x)的解析式；
（2）令t＝lg4x，由对数函数的单调性可得t的范围，再由参数分离和函数的单调性，结合不等式恒成立思想可得所求最小值．
【解答】
因为f(x)＝2x2+bx+c为二次函数，且f(x−4)为偶函数，
可得f(−x−1)＝f(x−1)，
所以f(x)的图象的对称轴方程为x＝−7，
又f(x)的图象过点(1, 0)，
故，
解得，
所以f(x)＝4x2+4x−6；
令t＝lg4x，
由x∈[4, 16]，3]，
不等式f(lg4x)≤mlg4x，即2(lg4x)2+8lg4x−6≤mlg4x，
可得在[1，
因为函数在[1，
易得当t＝3时，＝5，
故m的取值范围是[5, +∞)，
所以实数m的最小值为6．
【答案】
∵ AB // CD，CD＝2AB，
∴ AB // DE，且AB＝DE，
∴ 四边形ABED是平行四边形，
∴ AD // BE，
∵ BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∵ E和F分别是CD，PC的中点，
∵ EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∵ EF∩BE＝E，BE，
∴ 平面BEF // 平面PAD，
∵ ∠ADC＝90∘，∴ AD⊥CD，
又BE // AD，∴ BE⊥CD．
由PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
得到PA⊥CD，
又PA∩AD＝A，PA，
∴ CD⊥平面PAD，
∵ PD⊂平面PAD，∴ CD⊥PD，
∵ PD // EF，∴ CD⊥EF，
∵ BE∩EF＝E，∴ CD⊥平面BEF，
∵ CD⊂平面PDC，
∴ 平面BEF⊥平面PDC．
【考点】
平面与平面平行的性质
平面与平面平行的判定
平面与平面垂直
【解析】
（1）由题意证明四边形ABED为平行四边形，得出BE // 平面PAD，再证明EF // PD，得出EF // 平面PAD，从而证明平面BEF // 平面PAD；
（2）由已知可得CD⊥BE，然后证明CD⊥EF，又BE∩EF＝E，可得CD⊥面BEF，从而证明平面BEF⊥平面PCD．
【解答】
∵ AB // CD，CD＝2AB，
∴ AB // DE，且AB＝DE，
∴ 四边形ABED是平行四边形，
∴ AD // BE，
∵ BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∵ E和F分别是CD，PC的中点，
∵ EF⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∵ EF∩BE＝E，BE，
∴ 平面BEF // 平面PAD，
∵ ∠ADC＝90∘，∴ AD⊥CD，
又BE // AD，∴ BE⊥CD．
由PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
得到PA⊥CD，
又PA∩AD＝A，PA，
∴ CD⊥平面PAD，
∵ PD⊂平面PAD，∴ CD⊥PD，
∵ PD // EF，∴ CD⊥EF，
∵ BE∩EF＝E，∴ CD⊥平面BEF，
∵ CD⊂平面PDC，
∴ 平面BEF⊥平面PDC．
【答案】
(1)解：∵ AB // CD，
∴ ∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角或其补角．
∵ PD⊥CD，PD=2CD，
∴ tan∠PCD=PDCD=2，
又∠PCD∈(0∘, 90∘]，
∴ 异面直线PC与AB所成的角的正切值为2.
(2)证明：∵ AB // CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，
∴ AB // 平面PCD.
又平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴ AB // EF，
∴ EF // CD．
【考点】
异面直线及其所成的角
两条直线平行的判定
【解析】
(1)由AB // CD，可得∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角或其补角，由PD⊥CD，PD=2CD即可求解；
(2)利用线面平行的判断定理可得AB // 平面PCD．利用线面平行的性质定理可得AB // EF，从而得证．
【解答】
(1)解：∵ AB // CD，
∴ ∠PCD即为异面直线PC与AB所成的角或其补角．
∵ PD⊥CD，PD=2CD，
∴ tan∠PCD=PDCD=2，
又∠PCD∈(0∘, 90∘]，
∴ 异面直线PC与AB所成的角的正切值为2.
(2)证明：∵ AB // CD，CD⊂平面PCD，AB⊄平面PCD，
∴ AB // 平面PCD.
又平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴ AB // EF，
∴ EF // CD．
【答案】
∵ 站点D距两工业园区的距离均不得少于15km，
∴ ，解得15≤x≤105，
设y＝k[(x−10)2+(120−x)2]+2×10，15≤x≤105，
当x＝40时，y＝1825+50＝1875，
∴ k(302+802)+50＝1875，解得．
∴ y＝[(x−10)2+(120−x)3+5×10]＝，
函数的定义域为[15, 105]；
y＝(x2−130x+7350)＝，
当x＝65时，ymin＝1562.8万元．
故当天然气站点D距工业园区A为65km时，修建总费用最小．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）由站点D距两工业园区的距离均不得少于15km列不等式组求x的范围，然后写出y关于x的关系式，由x＝40时y＝1875求得k，则函数解析式可求；
（2）把（1）中求得的函数解析式利用配方法求最值即可．
【解答】
∵ 站点D距两工业园区的距离均不得少于15km，
∴ ，解得15≤x≤105，
设y＝k[(x−10)2+(120−x)2]+2×10，15≤x≤105，
当x＝40时，y＝1825+50＝1875，
∴ k(302+802)+50＝1875，解得．
∴ y＝[(x−10)2+(120−x)3+5×10]＝，
函数的定义域为[15, 105]；
y＝(x2−130x+7350)＝，
当x＝65时，ymin＝1562.8万元．
故当天然气站点D距工业园区A为65km时，修建总费用最小．
【答案】
证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝AC，
∵ E是侧棱DC的中点，∴ AE⊥CD，
∵ AC⊥BC，AD⊥BC，∴ BC⊥平面ACD，
∵ AE⊂平面ACD，∴ AE⊥BC，
∵ BC∩CD＝C，∴ AE⊥平面BCD，
∵ AE⊂平面ABE，∴ 平面ABE⊥平面BCD．
∵ VE−ABC＝VB−ACE，BC⊥平面ACD，∴ BC是三棱锥C−ABD的高，
∵ BC＝1，CD＝，
∴ S△ACE＝＝＝，
∴ 三棱锥D−AEB的体积为：
VB−ACE＝＝＝．
取AB中点O，连接CO并延长至点F，
连接AF，DF，
∵ BC＝AC，∴ 射线CO是∠ACB的角平分线，
∵ 点E是CD中点，∴ OE // DF，
∵ OE⊂平面ABE，DF⊄平面ABE，
∵ AB，FC互相平行，∴ BC // AF，
∵ DA⊥BC，∴ AF⊥AD，
∵ AF＝AD＝1，∴ DF＝．
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的体积
直线与平面平行
【解析】
（1）推导出AE⊥CD，AC⊥BC，AD⊥BC，得到BC⊥平面ACD，又AE⊥BC，则AE⊥平面BCD，由此能证明平面ABE⊥平面BCD．
（2）由VE−ABC＝VB−ACE，由求出三棱锥D−AEB的体积．
（3）取AB中点O，连接CO并延长至点F，使CO＝OF，连接AF，DF，BF，推导出射线CO是∠ACB的角平分线，推导出OE // DF，从而DF // 平面ABE，推导出BC // AF，AF⊥AD，由此能求出DF．
【解答】
证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝AC，
∵ E是侧棱DC的中点，∴ AE⊥CD，
∵ AC⊥BC，AD⊥BC，∴ BC⊥平面ACD，
∵ AE⊂平面ACD，∴ AE⊥BC，
∵ BC∩CD＝C，∴ AE⊥平面BCD，
∵ AE⊂平面ABE，∴ 平面ABE⊥平面BCD．
∵ VE−ABC＝VB−ACE，BC⊥平面ACD，∴ BC是三棱锥C−ABD的高，
∵ BC＝1，CD＝，
∴ S△ACE＝＝＝，
∴ 三棱锥D−AEB的体积为：
VB−ACE＝＝＝．
取AB中点O，连接CO并延长至点F，
连接AF，DF，
∵ BC＝AC，∴ 射线CO是∠ACB的角平分线，
∵ 点E是CD中点，∴ OE // DF，
∵ OE⊂平面ABE，DF⊄平面ABE，
∵ AB，FC互相平行，∴ BC // AF，
∵ DA⊥BC，∴ AF⊥AD，
∵ AF＝AD＝1，∴ DF＝．