专题21 圆锥曲线综合-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（原卷版）

专题21   圆锥曲线综合

【母题来源】2021年高考乙卷

【母题题文】已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【试题解析】（1）抛物线的焦点为，，

所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；

（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，

设点、、，

直线的方程为，即，即，

同理可知，直线的方程为，

由于点为这两条直线的公共点，则，

所以，点、的坐标满足方程，

所以，直线的方程为，

联立，可得，

由韦达定理可得，，

所以，，

点到直线的距离为，

所以，，

，

由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：

一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；

二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

【命题意图】

（1）了解圆或抛物线的实际背景，了解圆或抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

（2）掌握圆或抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

（3）了解圆锥曲线的简单应用.

（4）理解数形结合的思想.

【命题方向】

解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.从近三年高考情况来看，多考查直线与椭圆或抛物线的位置关系，常与向量、圆等知识相结合，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养.

【得分要点】

（一）求椭圆的方程有两种方法:

（1）定义法.根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.

（2）待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：

第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）.

第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.

第三步，找关系.根据已知条件，建立关于的方程组（注意椭圆中固有的等式关系）.

第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.

【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.

（二）用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：

若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.

（三）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法：

（1）过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题．

（2）将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．

（3）它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系.

（四）圆锥曲线中的定点、定值问题

定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.

1．（2021·四川遂宁市·高三三模（理））已知椭圆(，)的左､右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，的面积为，点为椭圆的下顶点，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过抛物线的焦点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.

2．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）已知过点的直线与抛物线交于、两点，且，其中为坐标原点.

（1）求的值；

（2）当最小时，求直线的方程.

3．（2021·重庆高三其他模拟）已知直线l：与抛物线C：交于A、B两点，O为坐标原点，．

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）若过点A的另一条直线l1与抛物线C交于另一点M，与y轴交于点N，且满足|AN|＝|AM|，求的最小值．

4．（2021·河北高三其他模拟）已知抛物线的焦点为F，C上一点G到F的距离为5，到直线的距离为5.

（1）求C的方程；

（2）过点F作与x轴不垂直的直线l与C交于A，B两点，再过点A，B分别作直线l的垂线，与x轴分别交于点P，Q，求四边形面积的最小值.

5．（2021·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）已知抛物线经过点，是圆上一点，、都是的切线．

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）求的面积的最大值．

6．（2021·湖南岳阳市·高三其他模拟）已知动圆过定点，且与定直线相切，点C在l上．

（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P且斜率为的直线与曲线M相交于A，B两点．

①问：能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；

②当为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围．

7．（2021·浙江金华市·高三三模）如图，已知抛物线，过x轴正半轴上一点P的两条直线分别交抛物线于A､C和B､D两点，且A，D在第一象限，直线AB与x轴的交点E在原点O和P点之间.

（1）若P为抛物线的焦点，且，求点A的坐标；

（2）若P为动点，且的面积是面积的3倍，求的值.

8．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）抛物线的焦点为F，准线为是抛物线上一点，过F的直线交抛物线于A，B两点，直线AP､BP分别交准线于M､N.当，点P恰好与原点O重合时，的面积为4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）记点的横坐标与AB中点的横坐标相等，若，求的最小值.

9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知抛物线的焦点为，点在上，且(为坐标原点).

（1）求的方程；

（2）若，是上的两个动点，且，两点的横坐标之和为8，求当取最大值时，直线的方程.

10．（2021·四川高三二模（理））已知点，直线，为轴右侧或轴上动点，且点到的距离比线段的长度大1，记点的轨迹为.

（1）求曲线的方程；

（2）已知直线交曲线于，两点（点在点的上方），，为曲线上两个动点，且，求证：直线的斜率为定值.

11．（2021·全国高三其他模拟（文））已知抛物线的焦点为，点在上，且(为坐标原点).

（1）求的方程；

（2）若A，是上的两个动点，且A，两点的横坐标之和为8.

（i）设线段的中垂线为，证明：恒过定点.

（ii）设（i）中定点为，当取最大值时，且，位于直线两侧时，求四边形的面积.

12．（2021·浙江湖州市·高三二模）已知，是椭圆的左､右焦点，动点在椭圆上，且的最小值和最大值分别为1和3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）动点在抛物线上，且在直线的右侧.过点作椭圆的两条切线分别交直线于，两点.当时，求点的坐标.