新教材2020_2021学年高一数学下学期暑假训练5立体几何

5 立体几何2

例1．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别是边AB，BC上的点，且．

求证：（1）点E，F，G，H四点共面；

（2）直线EH，BD，FG相交于同一点．

例2．如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点．

（1）求证：平面ABC；

（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面ABC？并说明理由．

例3．如图，在三棱锥中，平面，，，，分别是，，的中点．求证：

（1）平面；

（2）；

（3）平面平面．

一、解答题．

1．如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．

（1）求证：；

（2）线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在，请说明理由；若存在给出证明．

2．如图，已知四棱锥中，，分别是的中点，底面，且．

（1）证明：平面；

（2）若，求三棱锥的体积．

3．已知三棱柱，，平面，，为棱上一点，若．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

4．如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，E为的中点．

（1）证明：平面；

（2）设，，四棱锥的体积为1，求证：平面平面．

5．如图，四面体ABCD中，点E，F分别为线段AC，AD的中点，平面平面，，，垂足为H．

（1）求证：；

（2）求证：平面平面ABC．

6．已知正方体，分别为和上的点，且，．

（1）求证：；

（2）求证：三条直线交于一点．

例1．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）如图所示，连接EF，HG，

空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，

∴且．

又，∴且，

故，即E、F、G、H四点共面．

（2）由（1）知且，

∴设EH与FG交于点P，

∵平面ABD，P在平面ABD内，

同理P在平面BCD内，且平面平面，

∴点P在直线BD上，

∴直线EH，BD，FG相交于同一点．

例2．【答案】（1）证明见解析；（2）P为线段CD中点，理由见解析．

【解析】（1）证明：由四边形ABED为正方形可知，

连接AE必与BD相交于中点F，

又G是线段EC的中点，故，

面ABC，面ABC，面ABC．

（2）当P为线段CD中点时，有平面平面ABC，

证明：由点分别为中点可得：，

面ABC，面ABC，面ABC，

由（1）可知，面ACD，且，

故平面平面ABC．

例3．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】证明：（1）三棱锥中，

，，分别是，，的中点，，

平面，平面，

平面．

（2）平面，平面，，

，，平面，

平面，

平面，．

（3），，分别是，，的中点，

，平面，

平面，平面平面．

一、解答题．

1．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析．

【解析】（1）因为平面，平面，平面平面，所以．

（2）存在，且当点是的中点时，平面平面．

下面给出证明：

因为、分别是、的中点，所以，

又平面，平面，所以平面．

由（1）知，，

又是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，从而，

又平面，平面，所以平面．

又因为，所以，平面平面．

2．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）证明：在四棱锥中，是中点，是的中点，

∴是的中位线，即，

又平面，平面，∴平面，

∵且，

∴四边形是平行四边形，有，

∵平面，平面，

∴平面，而，

∴平面平面，

又平面，∴平面．

（2）连接，由，

∴的面积，

又，

∴三棱锥的体积为，

故三棱锥的体积为：．

3．【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）平面，平面，

所以，

又，所以平面，

平面，所以，

所以，

在和有：，

可得，

所以，，

所以平面，得证．

（2）．

4．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】（1）连接交于点O，连接，

因为为矩形，所以O为的中点，

又E为的中点，所以，

平面，平面，所以平面．

（2）因为，所以，

所以底面为正方形，所以，

因为，所以，且，所以平面，

又平面，所以平面平面．

5．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】证明：（1）因为点E、F分别为线段AC、AD的中点，

为的中位线，则，

平面BCD，平面BCD，

平面BCD，

又平面EFNM，

平面平面，．

（2），，，

，平面ADB，平面ADB，

平面ADB，，

又，，平面DCH，平面DCH，

平面CDH，

平面ABC，平面平面ABC．

6．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】证明：（1）如图，连接和，

在正方体中，，

∵，∴，

又，，∴．

又在正方体中，，，，

∴，

又，∴．

同理可得，

又，∴，∴．

（2）由题意可得（或者和不平行），

又由（1）知，所以直线和必相交，

不妨设，则，

又，所以，

同理．

因为，所以，

所以、、三条直线交于一点．