新教材2020_2021学年高一数学下学期暑假训练8空间向量与立体几何

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8 空间向量与立体几何  例1．在平行六面体中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．（1）用向量表示，；（2）若，求实数x，y，z的值．           例2．如图，长方体的底面ABCD是正方形，点E为棱AA1的中点，，．（1）求点B到平面B1C1E的距离；（2）求二面角的正弦值．        一、选择题．1．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A． B． C． D．2．若向量，，且与的夹角余弦为，则λ等于（）A． B． C．或 D．2 二、填空题．3．下列关于空间向量的命题中，正确的有________．①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；②若非零向量，，满足，，则有；③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．4．在空间直角坐标系中，若点，，则_______．5．点关于平面xOz的对称点是________，关于z轴的对称点是________，关于的对称点是________． 三、解答题．6．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点．（1）求异面直线SA与FC所成角的大小；（2）在棱SB上是否存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由．          7．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，点O为AB中点，点D为AA1中点．（1）求平面ABC与平面B1CD所成锐二面角的大小；（2）已知点E满足，当异面直线DE与CB1所成角最小时，求实数λ的值．                    
 例1．【答案】（1），；（2）．【解析】（1），．（2），所以．例2．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）如图，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0），B1(1，0，2），C1(1，1，2），E(0，0，1），∴，，，设平面B1C1E的法向量，则，取u＝1，得，∴点B到平面B1C1E的距离为．（2）∵C1(1，1，2），E(0，0，1），C(1，1，0），∴，，设平面CC1E的法向量，则，取x＝1，得，设二面角B1﹣EC1﹣C的平面角为θ，则，∴，∴二面角B1﹣EC1﹣C的正弦值为．  一、选择题．1．【答案】A【解析】，故选A．2．【答案】A【解析】∵向量，，∴，解得，故选A． 二、填空题．3．【答案】①③④【解析】对于①：若向量，与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；对于②：若非零向量，，满足，，则与不确定，可能共线，故②错误；对于③：若，，是空间的一组基底，且，则，即，可得到四点共面，故③正确；对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量，存在唯一实数组，使得，由的唯一性，则，，也是唯一的，则，，也是空间的一组基底，故④正确，故答案为①③④．4．【答案】【解析】空间直角坐标系中，点，，则，故答案为．5．【答案】，，【解析】点关于平面xOz的对称点是，关于z轴的对称点是，设点关于的对称点为，则，解得，故点关于点的对称点为，故答案为，，． 三、解答题．6．【答案】（1）90°；（2）存在，．【解析】（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，已知AB∥DC，AB⊥AD，△SAD是正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，AD＝AB＝2DC＝2，F为SB的中点，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设异面直线SA与FC所成角为，则，∴θ＝90°，∴异面直线SA与FC所成角的大小为90°．（2）假设在棱SB上存在点Q（a，b，c），，(0≤λ≤1)，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，则，即，解得a＝2λ，b＝1﹣λ，，∴，，，，设平面ACQ的法向量，则，取x＝2，得；设平面ASC的法向量，则，取p＝2，得，∵平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，∴，整理得，解得或（舍去），故在棱SB上存在点Q，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为，此时．7．【答案】（1）；（2）．【解析】在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA，取A1B1的中点O1，连接OO1，则OO1AA1，AB⊥OC，又直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，而AB，OC⊂平面ABC，故AA1⊥OC，AA1⊥AB，所以OO1⊥OC，OO1⊥AB，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则，，，，，，所以．（1）∵AA1⊥平面ABC，∴平面ABC的一个法向量为，设平面B1CD的一个法向量为，则，故可取，∴，∴平面ABC与平面B1CD所成锐二面角为．（2）∵，∴，则，设异面直线DE与CB1所成角为θ，则，令，则，当时，cosθ取得最大值，∵y＝cosθ在上递减，∴θ取得最小值，此时．