2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）9月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）9月月考数学试卷人教A版，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.5π3B.4π3C.2πD.3π

2. 圆柱形容器内盛有高度为6cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是( )

A.67cmB.2cmC.3cmD.4cm

3. 如图所示，用符号语言可表达为( )

A.α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
B.α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C.α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D.α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n

4. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面C1−AB−C所成的二面角的大小是( )
A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘

5. 下列如图所示是正方体和正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是( )
① ② ③ ④
A.①②③B.①②C.①③D.①②③④

6. 已知两个平面垂直，下列命题中正确的个数是( )
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．
A.3B.2C.1D.0

7. AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点（点C不与A，B重合），过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论错误的是( )
A.直线DE // 平面ABCB.直线DE⊥平面VBC
C.DE⊥VBD.DE⊥AB

8. 《九章算术》中，将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．在阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=2AD，则异面直线PC与BD所成角的正弦值为( )
A.1510B.155C.1010D.105

9. 已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( )
A.若m // α，n // α，则m // nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α // β
C.若m // α，m // β，则α // βD.若m⊥α，n⊥α，则m // n

10. 如图：直线L1的倾斜角α1=30∘，直线L1⊥L2，则L2的斜率为( )

A.−33B.33C.−3D.3
二、填空题


直三棱柱ABC−A1B1C1的顶点都在同一球面上．若AB=AC=2，AA1=3，∠BAC=90∘，则此球的表面积等于________.
三、解答题

已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是A1B的中点，F是B1D1的中点，求证：EF // 平面BB1C1C．

如图，平面α // 平面β // 平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F．已知AC=15cm，DE=5cm，AB:BC=1:3，求AB，BC，EF的长．

参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市高二（上）9月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
由三视图求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由三视图知，该几何体由14球、半个圆柱和半个圆锥组成，
球的半径为1，圆柱、圆锥的底面半径为1，高为2，
所以该几何体的体积
V=π2×2+13×π2×2+14×4π3=5π3.
故选A.
2.
【答案】
C
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
设出球的半径，三个球的体积和水的体积之和，等于柱体的体积，求解即可．
【解答】
解：设球的半径为r，
由题意可得，3V球+V水=V柱，
即3×43πr3+πr2×6=πr2×6r，
解得：r=3cm.
故选C．
3.
【答案】
A
【考点】
平面的概念、画法及表示
【解析】
结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．
【解答】
解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，
故用符号语言可表达为 α∩β=m，n⊂α，m∩n=A.
故选A．
4.
【答案】
B
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
由C1B⊥AB，BC⊥AB，知∠C1BC是面C1−AB−C所成的二面角的平面角，由此能求出面C1−AB−C所成的二面角的大小．
【解答】
解：如图，
∵ AB⊥平面BCC1B1，
∴ C1B⊥AB，BC⊥AB，
∴ ∠C1BC是平面C1−AB−C所成的二面角的平面角.
∵ BC=CC1，且BC⊥CC1，
∴ ∠C1BC=45∘，
∴ 平面C1−AB−C所成的二面角的大小为45∘．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
平面的基本性质及推论
【解析】
利用平面的基本性质及推论直接求解．
【解答】
解：①∵ PS // QR，
∴ P，Q，R，S共面，故①正确；
②∵ PQ与SR相交，
∴ P，Q，R，S共面，故②正确；
③∵ PQ // SR，
∴ P，Q，R，S共面，故③正确；
④∵ PS与QR是异面直线，
∴ P，Q，R，S不共面，故④不正确．
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
平面与平面垂直的性质
直线与平面垂直的判定
【解析】
为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中互相垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD即可．
【解答】
解：根据题意可知，考察正方体中互相垂直的两个平面：
平面A1ABB1和平面ABCD，如图所示，
①一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线，
如图中A1B与AB不垂直，故①错误；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线，这一定是正确的，
如图中，已知直线A1B，在平面ABCD中，
所有与BC平行的直线都与A1B垂直，故②正确；
③一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面，
如图中，A1B不垂直于平面ABCD，故③错误；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线不一定垂直于另一个平面，
如图中A1D，它垂直于AB，但不垂直于平面ABCD，故④错误.
综上，正确的命题有1个.
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
两条直线垂直的判定
平面与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
由AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，结合圆周角定理可得AC⊥BC，又由动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，可得VC，AC，BC三条直线两两垂直，进而可得AC⊥平面VBC，BC⊥平面VAC，结合线面垂直的第二判定定理和线面垂直的性质可判断A，B的真假；
【解答】
解：如图，
∵ AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，
∴ AC⊥BC.
∵ VC⊥平面ABC，
∴ VC⊥AC，VC⊥BC，
∴ AC⊥平面VBC，BC⊥平面VAC.
∵ D，E分别是VA，VC的中点，
∴ DE // AC.
由线面平行的判定定理，可得直线DE // 平面ABC，故A正确；
∵ AC⊥平面VBC，DE // AC，
∴ 直线DE⊥平面VBC，故B正确；
∵ DE⊥平面VBC，
∴ DE⊥VB，故C正确，D错误．
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图，将阳马P−ABCD置于长方体中，连接PE，CE，
则有BD//PE，
∴ 异面直线PC与BD所成的角即为∠CPE．
设PD=CD=2AD=2，
则PE=CE=5，PC=22，
∴ 在等腰三角形PCE中，cs∠CPE=PC2PE=105，
∴ sin∠CPE=155．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．
【解答】
解：A，m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B，α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；
C，α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；
D，垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确.
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
直线的倾斜角
【解析】
由题意可得L2的倾斜角等于30∘+90∘=120∘，从而得到L2的斜率为tan120∘，运算求得结果．
【解答】
解：∵ 直线L1的倾斜角α1=30∘，直线L1⊥L2，
∴ L2的倾斜角等于30∘+90∘=120∘，
∴ L2的斜率为tan120∘=−tan60∘=−3.
故选C．
二、填空题
【答案】
17π
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
画出球的内接直三棱ABC−A1B1C1，作出球的半径，然后可求球的表面积．
【解答】
解：如图，取BC，B1C1的中点O1，O2，
由条件可知：O1，O2是△ABC和△A1B1C1的外接圆的圆心，
连接O1O2，取O1O2的中点O，连接OB，
O是直三棱柱ABC−A1B1C1外接球的球心，
BC=22+22=22，
O1B=2，OB=O1B2+OO12=2+94=172，
∴ R=172，
∴ 此球的表面积为：S=4πR2=17π.
故答案为：17π.
三、解答题
【答案】
证明：如图，连接A1C1，EF，BC1，
∵ E是A1B的中点，F是B1D1的中点，
∴ EF // BC1.
∵ EF⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，
∴ EF // 平面BB1C1C．
【考点】
直线与平面平行的判定
【解析】
由题意画出图形连接EF，A1C1，A1B，BC1，由已知只要判定EF // BC1，利用线面平行的判定定理得到．
【解答】
证明：如图，连接A1C1，EF，BC1，
∵ E是A1B的中点，F是B1D1的中点，
∴ EF // BC1.
∵ EF⊄平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，
∴ EF // 平面BB1C1C．
【答案】
解：如图，连接AF，交β于点G，则点A，B，C，G共面.
∵ 平面α // 平面β // 平面γ，
平面ACF∩平面β=BG，平面ACF∩平面γ=CF，
∴ BG // CF，
∴ △ABG∼△ACF，
∴ ABBC=AGGF，
同理，可得AD // GE，AGGF=DEEF，
∴ ABBC=DEEF.
∵ AB:BC=1:3，
∴ AB=14AC=154cm，BC=34AC=454cm，
∴ EF=3DE=3×5=15(cm)．
【考点】
平行线分线段成比例定理
平面与平面平行的性质
【解析】
根据题意，连接AF，交β于点G，根据面面平行，得出线线平行，证明ABBC=AGGF=DEEF，
再结合题目中的数据，求出AB、BC与EF的大小．
【解答】
解：如图，连接AF，交β于点G，则点A，B，C，G共面.
∵ 平面α // 平面β // 平面γ，
平面ACF∩平面β=BG，平面ACF∩平面γ=CF，
∴ BG // CF，
∴ △ABG∼△ACF，
∴ ABBC=AGGF，
同理，可得AD // GE，AGGF=DEEF，
∴ ABBC=DEEF.
∵ AB:BC=1:3，
∴ AB=14AC=154cm，BC=34AC=454cm，
∴ EF=3DE=3×5=15(cm)．