2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）假期学业验收考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）假期学业验收考试数学试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知an是等差数列， a6+a7=20，a7+a8=28，那么该数列的前13项和S13等于( )
A.156B.132C.110D.100

2. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与A1E所成角的余弦值为( )
A.31010B.3010C.3030D.−3030

3. 点(1,2)到直线3x+4y−1=0的距离为( )
A.1B.2C.3D.4

4. 在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则sinA=（ ）
A.310B.1010C.55D.31010

5. 若用半径为2的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的体积为( )
A.3πB.3π3C.53πD.5π

6. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n−1，则a5=( )
A.16B.17C.31D.32

7. 项数为奇数的等比数列an，所有奇数项的和为255，所有偶数项的和为−126，末项是192，则首项a1=( )
A.1B.2C.3D.4

8. 已知 a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若a // α，b // α，则a // bB.若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a⊥b
C.若a⊥b，b⊥α，则a // αD.若α // β，a⊂α，则a // β

9. 在班级的演讲比赛中，将甲、乙两名同学的得分情况制成如图所示的茎叶图．记甲、乙两名同学所得分数的平均分分别为x¯甲、x¯乙，则下列判断正确的是( )

A.x¯甲B.x¯甲>x¯乙，甲比乙成绩稳定
C.x¯甲D.x¯甲>x¯乙，乙比甲成绩稳定

10. 设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1A.1B.−14C.4D.−12

11. 在△ABC中，已知b=20，c=103，C=60∘，则此三角形的解的情况是( )
A.有一解B.有两解
C.无解D.有解但解的个数不确定

12. 在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )
A.y=x+1xB.y=sinx+1sinx0C.y=x2+5x2+4D.y=ex+4ex−2
二、填空题

某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是________.

若A4,3，B2,−1，则线段AB的垂直平分线的方程是________.

已知x>0，y>0， x+y+xy−8=0，则xy的最大值是________.

如图，四棱锥 P−ABCD 的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为 16π，点P在球面上，则四棱锥 P−ABCD 体积的最大值为________.

三、解答题

已知{an}是等差数列，a3=7，且a2+a6=18．若bn=1an+an+1．
(1)求数列{an}通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和Tn．

已知关于x的不等式ax2−3x+2>0a∈R．
(1)若不等式ax2−3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b}，求a，b的值．

(2)求不等式ax2−3x+2>5−axa∈R的解集．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， b=1，a−b+cb=sinCsinA+sinB−sinC.
(1)若A=2B，求△ABC的周长；

(2)若CD为AB边上的中线，且CD=3，求△ABC的面积．

已知曲线C:x2+y2+2kx+4k+10y+10k+20=0，其中k≠−1.
(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；

(2)证明：曲线C过定点；

(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；

(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤. 试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
(附：i=14xi2=86，i=14xiyi=66.5，b=i=1nxi−x¯yi−y¯i=1nxi−x¯2=i=1nxiyi−nx¯y¯i=1nxi2−nx¯2，a=y¯−bx¯，其中x¯，y¯为样本平均值)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中， AC=BC=2，AA1=22 ，∠ACB=90∘，M是AA1的中点，N是BC1中点．

(1)求证： MN//平面A1B1C1；

(2)求直线BC1与平面BCM所成的角的正弦值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河北省廊坊市高二（上）假期学业验收考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由a6+a7=20，a7+a8=28，可得4a7=48，
∴ a7=12，
故S13=13(a1+a13)2
=13a7=156.
故选A .
2.
【答案】
C
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：如图所示，建立D−xyz空间直角坐标系，
则A11,0,2，E0,2,1，B1,2,0，C10,2,2，
BC1→=−1,0,2，A1E→=−1,2,−1，
设异面直线BC1与A1E所成的角为θ，
csθ=BC1→⋅A1E→BC1→⋅A1E→=1−25×6=3030．
故选C．
3.
【答案】
B
【考点】
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据点到直线的距离公式可知：d=|1×3+2×4−1|32+42=105=2.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，
∴ AB=23BC．
由余弦定理得AC=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅csB
=29BC2+BC2−23BC2=53BC．
又△ABC的面积S=12BC⋅13BC=12AB⋅AC⋅sin∠BAC
=12⋅23BC⋅53BC⋅sin∠BAC，
∴ sin∠BAC=31010．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=1，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．
【解答】
解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，
则圆锥的母线长为R，
设圆锥的底面半径为r，
则2πr=πR，
即r=1，
∴ 圆锥的高ℎ=R2−r2=3，
∴ 圆锥的体积V=13π×12×3=33π.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题目条件知，数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n−1，
则：an+1−an=2n−1，
因此得出：
a2−a1=20，
a3−a2=21，
a4−a3=22，
a5−a4=23，
以上各式累加，得a5−a1=20+21+22+23，由此可得：a5=16．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
等比数列的性质
【解析】
根据等比数列的性质得到奇数项为a1(1+q2+q4+...+q2n)=1qa1(q+q3+q5+...+q2n−1)+a2n+1，求出公比，代入数据求出项数，然后求解首项．
【解答】
解：设等比数列有2n+1项，则奇数项有n+1项，偶数项有n项，设公比为q，
得到奇数项为a1(1+q2+q4+...+q2n)=255，
偶数项为a1(q+q3+q5+...+q2n−1)=−126，
所以qa1(1+q2+q4+...+q2n)=255q，
即a1(q+q3+q5+...+q2n−1)+qa2n+1=255q，
可得：−126+192q=255q，解得q=−2．
所以所有奇数项和S奇=255，末项是192，
将数列反向排列，则奇数项的和可列式：
a2n+11−14n+11−14=1921−14n+11−14=255，
即：14n+1=1256，解得n=3．
所以共有7项，a7=a1−26，解得a1=3．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、或异面；在C中，a // α或a⊂α；在D中，由面面平行的性质定理得a // β．
【解答】
解：由a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：
在A中：若a // α，b // α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；
在B中：若α⊥β，a⊂α，b⊂β，则a与b相交、平行或异面，故B错误；
在C中：若a⊥b，b⊥α，则a // α或a⊂α，故C错误；
在D中：若α // β，a⊂α，则由面面平行的性质定理得a // β，故D正确．
故选D．
9.
【答案】
C
【考点】
众数、中位数、平均数
极差、方差与标准差
【解析】
由茎叶图知分别求出两组数据的平均数和方差，由此能求出结果．
【解答】
解：由茎叶图知：
x¯甲=15(76+77+88+90+94)=85，
s甲2=15[(76−85)2+(77−85)2+(88−85)2+(90−85)2+
(94−85)2]=52，
x¯乙=15(75+86+88+88+93)=86，
s乙2=15[(75−86)2+(86−86)2+(88−86)2+(88−86)2+
(93−86)2]=35.6，
∴ x¯甲s乙2
∴ x¯甲故选C．
10.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的应用
【解析】
根据一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1【解答】
解：∵ 一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1∴ 方程ax2+bx+1=0的解为x1=−1，x2=2.
∴ −1+2=−ba，(−1)×2=1a，
∴ a=−12，b=12，
∴ ab=−14．
故选B.
11.
【答案】
A
【考点】
解三角形
正弦定理
【解析】
由正弦定理求得B，由此即可作出判断．
【解答】
解：由正弦定理可得，bsinB=csinC，
即20sinB=103sin60∘，
∴ sinB=1，
又B为△ABC的内角，
∴ B=90∘，则A=30∘，
∴ 该三角形有唯一解．
故选A.
12.
【答案】
D
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
基本不等式
【解析】

【解答】
解：对于A选项，由于x可以取负数，
故最小值不为2，A选项错误．
对于B选项，y≥2sinx⋅1sinx=2，
但是sinx=1sinx在区间0,π2上不成立，
即基本不等式等号不成立，故B选项错误．
对于C选项，
y=x2+4+1x2+4≥2x2+4⋅1x2+4=2，
但是x2+4=1x2+4无实数解，
即基本不等式等号不成立，故C选项错误．
对于D选项，y≥2ex+4ex−2=2，
当且仅当ex=4ex，x=ln2时，等号成立.
故选D．
二、填空题
【答案】
18
【考点】
系统抽样方法
【解析】
根据系统抽样的定义和方法，所抽取的4个个体的编号成等差数列，故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号．
【解答】
解：某班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，
则抽样间隔为524=13.
∵ 其中三个个体的编号为5，31，44，
故样本中还有一个学生的编号是：5+13=18.
故答案为：18.
【答案】
x+2y−5=0
【考点】
两点间的距离公式
直线的一般式方程
【解析】
左侧图片未给出解析．
【解答】
解：设线段AB的垂直平分线的任意一点为Px,y，
则PA=PB，
∵A4,3，B2,−1，
∴x−42+y−32=x−22+y+12，
即：x2−8x+16+y2−6y+9=x2−4x+4+y2+2y+1，
整理可得：x+2y−5=0.
故答案为：x+2y−5=0．
【答案】
4
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为x+y+xy−8=0，
且x>0，y>0，
所以0=x+y+xy−8≥2xy+xy−8，
所以xy+4xy−2≤0，
所以0所以0故答案为：4．
【答案】
163
【考点】
球内接多面体
基本不等式在最值问题中的应用
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设球的半径为R，
由题知 4πR2=16π，则R=2.
再设大圆内的矩形长、宽分别为x，y，
由题知x2+y2=(2R)2=16，
则矩形面积 xy≤x2+y22=8，
当且仅当 x=y 时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，
此时S正方形ABCD=8.
点P在球面上，当PO⊥底面ABCD时，
PO=R，即ℎmax=R=2.
故四棱锥P−ABCD体积的最大值为 13×8×2=163.
故答案为：163.
三、解答题
【答案】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
a3=7，且a2+a6=18．
可得a1+2d=7，2a1+6d=18，
解得a1=3，d=2，
则an=3+2(n−1)=2n+1.
(2)bn=1an+an+1
=12n+1+2n+3
=2n+1−2n+32n+1−2n+32n+1+2n+3
=−2n+1+2n+32
=12(2n+3−2n+1)，
∴ 前n项和Tn=12(5−3+7−5+
9−7+⋯+2n+3−2n+1)
=12(2n+3−3)．
【考点】
数列的求和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得bn=1an+an+1=12n+1+2n+3=12(2n+3−2n+1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
【解答】
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
a3=7，且a2+a6=18．
可得a1+2d=7，2a1+6d=18，
解得a1=3，d=2，
则an=3+2(n−1)=2n+1.
(2)bn=1an+an+1
=12n+1+2n+3
=2n+1−2n+32n+1−2n+32n+1+2n+3
=−2n+1+2n+32
=12(2n+3−2n+1)，
∴ 前n项和Tn=12(5−3+7−5+
9−7+⋯+2n+3−2n+1)
=12(2n+3−3)．
【答案】
解：(1)将x=1代入ax2−3x+2=0，则a=1，
∴ 不等式为x2−3x+2>0，即x−1x−2>0，
∴ 不等式解集为{x|x>2或x<1}，
∴ b=2.
(2)不等式为ax2+a−3x−3>0，
即(ax−3)(x+1)>0.
当a=0时，原不等式解集为x|x<−1，
当a≠0时，方程(ax−3)(x+1)=0的根为x1=3a，x2=−1，
∴ ①当a>0时，3a>−1，∴ {x|x>3a或a<−1}；
②当−3③当a=−3时，3a=−1，∴ 解集为⌀；
④当a<−3时，3a>−1，∴ x|−1【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)将x=1代入ax2−3x+2=0，则a=1，
∴ 不等式为x2−3x+2>0，即x−1x−2>0，
∴ 不等式解集为{x|x>2或x<1}，
∴ b=2.
(2)不等式为ax2+a−3x−3>0，
即(ax−3)(x+1)>0.
当a=0时，原不等式解集为x|x<−1，
当a≠0时，方程(ax−3)(x+1)=0的根为x1=3a，x2=−1，
∴ ①当a>0时，3a>−1，∴ {x|x>3a或a<−1}；
②当−3③当a=−3时，3a=−1，∴ 解集为⌀；
④当a<−3时，3a>−1，∴ x|−1【答案】
解：(1)因为a−b+cb=sinCsinA+sinB−sinC，
所以a−b+cb=ca+b−c，
即bc=a2−(b−c)2，即b2+c2−a22bc=12，
即csA=12，即A=π3.
又A=2B，则B=π6，则C=π2.
又b=1，则a=3，c=2，
即a+b+c=3+3，
即△ABC的周长为3+3．
(2)因为CD=3，AC=1，在△ACD中，
由余弦定理可得：CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcsA，
则AD2−AD−2=0，即AD=2，即AB=4，
所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA
=12×4×1×32
=3．
【考点】
三角形求面积
余弦定理
正弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)因为a−b+cb=sinCsinA+sinB−sinC，
所以a−b+cb=ca+b−c，
即bc=a2−(b−c)2，即b2+c2−a22bc=12，
即csA=12，即A=π3.
又A=2B，则B=π6，则C=π2.
又b=1，则a=3，c=2，
即a+b+c=3+3，
即△ABC的周长为3+3．
(2)因为CD=3，AC=1，在△ACD中，
由余弦定理可得：CD2=AC2+AD2−2AC⋅ADcsA，
则AD2−AD−2=0，即AD=2，即AB=4，
所以S△ABC=12AB⋅AC⋅sinA
=12×4×1×32
=3．
【答案】
(1)证明：曲线方程化简得：
(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2，
∵ k≠−1，
∴ 5(k+1)2>0，故曲线C都是圆，
∴ 圆心(−k, −2k−5)，设x=−k，y=−2k−5，
∴ y=2x−5，
则圆心在同一直线y=2x−5上.
(2)证明：将x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0整理为：
k(2x+4y+10)+(x2+y2+10y+20)=0，
∴ 2x+4y+10=0，x2+y2+10y+20=0，
解得：x=1，y=−3，
曲线C过定点(1, −3).
(3)解：∵ 曲线C与x轴相切，
∴ |−2k−5|=5|k+1|，
解得：k=5±35，
则曲线C与x轴相切时k=5±35．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
直线与圆的位置关系
圆的一般方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：曲线方程化简得：
(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2，
∵ k≠−1，
∴ 5(k+1)2>0，故曲线C都是圆，
∴ 圆心(−k, −2k−5)，设x=−k，y=−2k−5，
∴ y=2x−5，
则圆心在同一直线y=2x−5上.
(2)证明：将x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0整理为：
k(2x+4y+10)+(x2+y2+10y+20)=0，
∴ 2x+4y+10=0，x2+y2+10y+20=0，
解得：x=1，y=−3，
曲线C过定点(1, −3).
(3)解：∵ 曲线C与x轴相切，
∴ |−2k−5|=5|k+1|，
解得：k=5±35，
则曲线C与x轴相切时k=5±35．
【答案】
解：(1)由表中数据可得，
x¯=3+4+5+64=4.5，
y¯=2.5+3+4+4.54=3.5．
∴b=i=14xiyi−4x¯y¯i=14xi2−4x¯2
=66.5−4×4.5×3.586−4×4.52=0.7，
a=y¯−bx¯=3.5−0.7×4.5=0.35．
故线性回归方程为y=0.7x+0.35．
(2)由(1)知线性回归方程为y=0.7x+0.35，
把x=100代入，得y=0.7×100+0.35=70.35，
所以生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低：90−70.35=19.65（吨标准煤）．
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由表中数据可得，
x¯=3+4+5+64=4.5，
y¯=2.5+3+4+4.54=3.5．
∴b=i=14xiyi−4x¯y¯i=14xi2−4x¯2
=66.5−4×4.5×3.586−4×4.52=0.7，
a=y¯−bx¯=3.5−0.7×4.5=0.35．
故线性回归方程为y=0.7x+0.35．
(2)由(1)知线性回归方程为y=0.7x+0.35，
把x=100代入，得y=0.7×100+0.35=70.35，
所以生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低：90−70.35=19.65（吨标准煤）．
【答案】
(1)证明：如图，以点C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，
CA所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
取B1C1中点D，连结A1D，
由已知得A1(0,2,22)，C1(0,0,22)，M(0,2,2)，
N(1,0,2)，D(1,0,22)，
所以MN→=(1,−2,0)，A1D→(1,−2,0)，
所以MN→=A1D→，所以MN//A1D，
又MN⊄平面A1B1C1，
A1D⊂平面A1B1C1，
所以MN//平面A1B1C1．
(2)解：又C(0,0,0)，B(2,0,0)，
则BM→=(−2,2,2)，CM→=(0,2,2)，
设平面BCM的法向量为n→=(a,b,c)，
则n→⋅BM→=0，n→⋅CM→=0，
所以−2a+2b+2c=0，2b+2c=0，
令c=1，则a=0，b=−22，
所以n→=(0,−22,1)，
又BC1→=(−2,0,22) ，
所 以cs=n→⋅BC1→|n→|⋅BC1→=23，
则直线BC1与平面BCM所成角的正弦值为23．
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
直线与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：如图，以点C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，
CA所在直线为y轴，CC1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系．
取B1C1中点D，连结A1D，
由已知得A1(0,2,22)，C1(0,0,22)，M(0,2,2)，
N(1,0,2)，D(1,0,22)，
所以MN→=(1,−2,0)，A1D→(1,−2,0)，
所以MN→=A1D→，所以MN//A1D，
又MN⊄平面A1B1C1，
A1D⊂平面A1B1C1，
所以MN//平面A1B1C1．
(2)解：又C(0,0,0)，B(2,0,0)，
则BM→=(−2,2,2)，CM→=(0,2,2)，
设平面BCM的法向量为n→=(a,b,c)，
则n→⋅BM→=0，n→⋅CM→=0，
所以−2a+2b+2c=0，2b+2c=0，
令c=1，则a=0，b=−22，
所以n→=(0,−22,1)，
又BC1→=(−2,0,22) ，
所 以cs=n→⋅BC1→|n→|⋅BC1→=23，
则直线BC1与平面BCM所成角的正弦值为23．x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5