2020-2021学年山东省聊城市高二（上）10月月考数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年山东省聊城市高二（上）10月月考数学试卷人教A版（2019），共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是( )
A.2颗都是4点
B.1颗是1点，另1颗是3点
C.2颗都是2点
D.1颗是1点，另1颗是3点，或2颗都是2点

2. 下列事件中，随机事件的个数为( )
①在学校运动会上，学生张涛获得100m短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在 4​∘C时结冰.
A.1B.2C.3D.4

3. 下列事件：
①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；
②明天下雨；
③某人买彩票中奖；
④从集合{1, 2, 3}中任取两个元素，它们的和大于2；
⑤在标准大气压下，水加热到90​∘C时会沸腾，其中是随机事件的个数有( )
A.1B.2C.3D.4

4. 甲，乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为13，14，那么两人中恰有1人合格的概率是( )
A.712B.512C.12D.112

5. 已知甲射击命中目标的概率为12，乙射击命中目标的概率为13，甲，乙是否命中目标相互之间无影响.现在甲，乙两人同时射击目标一次，则目标被击中的概率是( )
A.16B.13C.23D.56

6. 已知向量a→=(λ, 6, 2)，b→=(−1, 3, 1)，满足a→ // b→，则实数λ的值是( )
A.2B.6C.−2D.−6

7. 在四面体OABC中，空间的一点M满足OM→=14OA→+16OB→+λOC→，若MA→，MB→，MC→共面，则λ=( )
A.12B.13C.512D.712

8. 甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为( )
A.56B.25C.16D.13

9. 如图，空间四边形OABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，且OM=2MA，BN=NC，则MN→等于( )

A.23a→+23b→+12c→B.12a→+12b→−12c→
C.−23a→+12b→+12c→D.12a→−23b→+12c→

10. 甲，乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率是14，乙解出这个问题的概率是12，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( )
A.34B.18C.78D.58
二、多选题

甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是15，下面结论正确的是( )
A.甲不输的概率是710B.乙不输的概率是45
C.乙获胜的概率是310D.乙输的概率是25

抛掷一枚硬币三次，若记出现“三个正面”，“三个反面”，“二正一反”，“一正二反”的概率分别为P1，P2，P3，P4，则下列结论中正确的是( )
A.P1=P2=P3=P4B.P3=2P1
C.P1+P2+P3+P4=1D.P4=3P2
三、填空题

同时抛掷两个质地均匀的骰子，向上的点数之和小于5的概率为________.

一个家庭中有三个小孩，假定生男，生女是等可能的. 已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是________.

甲、乙两间医院各有3名医生报名参加研讨会，其中甲医院有2男1女，乙医院有1男2女，若从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，则选出的2名医生性别不相同的概率是________.

如图，空间四边形ABCD的各边长均相等，AB⊥AD，BC⊥CD，平面ABD⊥平面CBD，给出下列四个结论：
①AC⊥BD；
②异面直线AB与CD所成的角为60∘；
③△ADC为等边三角形；
④AB与平面BCD所成的角为60∘.
其中正确结论的序号是________.(请将正确结论的序号都填上)

四、解答题

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，BM=2MA，A1N=2ND，且AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，试用a→，b→，c→表示向量MN→.


一个工人看管三台自动机床，在一小时内第一，二，三台机床不需要照顾的概率分别为0.9，0.8，0.85，在一小时的过程中，试求：
(1)没有一台机床需要照顾的概率；

(2)恰有两台机床需要照顾的概率；

(3)至少有一台机床需要照顾的概率；

(4)至少有两台机床需要照顾的概率.

已知向量OA→=a→=(1,1)，OB→=b→=(2,−2)，OC→=c→=λa→+(1−λ)b→.
(1)若λ=−2，求c→，|c→|；

(2)当|c→|最小时，求λ的值.

在六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中.

(1)化简A1F1→−EF→+AB→+CC1→，并在图中标出化简结果的向量；

(2)化简AB→+CC1→+DE→+B1D1→，并在图中标出化简结果的向量.

已知正方体ABCD−A′B′C′D′的边长为a.
(1)求AC→⋅AA′→；

(2)求AC→⋅A′C′→；

(3)求AC→⋅AC′→.

某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40, 50)，[50, 60)，⋯，[80, 90)，[90, 100].

(1)求频率分布图中a的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80分的概率；

(3)从评分在[40, 60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40, 50)的概率．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省聊城市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
随机事件
【解析】
题目要求点数之和为ξ＝4表示的随机试验结果，对于选择题我们可以代入选项检验，从而选出正确答案，题目考查的是变量所取得数字与试验中事件相互对应．
【解答】
解：ξ=4表示抛掷2颗骰子，所得点数之和为4，
有两种情况：1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
随机事件
【解析】
利用随机事件的概念直接判断．
【解答】
解：在①中，在学校运动会上，学生张涛获得100m短跑冠军，是随机事件；
在②中，在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯，是随机事件；
在③中，从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，是随机事件；
在④中，在标准大气压下，水在 4​∘C时结冰是不可能事件.
综上，随机事件的个数为3.
故选C.
3.
【答案】
C
【考点】
随机事件
【解析】
因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断5个事件哪一个符合这种情况即可．
【解答】
解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴ ①是随机事件.
明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴ ②是随机事件.
某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴ ③是随机事件.
从集合{1, 2, 3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴ ④是必然事件.
在标准大气压下，水加热到100​∘C时才会沸腾，∴ ⑤是不可能事件.
综上，随机事件的个数有3个.
故选C.
4.
【答案】
B
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】

【解答】
解：甲，乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为13，14，
那么两人中恰有1人合格的概率是 13×34+14×23=512.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
相互独立事件
【解析】
目标被击中的对立事件是甲、乙同时没有击中目标，由此能求出目标被击中的概率．
【解答】
解：甲射击命中目标的概率为12，乙射击命中目标的概率为13，甲，乙是否命中目标相互之间无影响．
现在甲，乙两人同时射击目标一次，目标被击中的对立事件是甲，乙同时没有击中目标，
则目标被击中的概率是：P=1−(1−12)(1−13)=23.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
利用向量平行的性质直接求解．
【解答】
解：∵ 向量a→=(λ, 6, 2)，b→=(−1, 3, 1)，满足a→ // b→，
∴ λ−1=63=21，解得λ=−2，
∴ 实数λ的值是−2.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
利用向量共面基本定理即可得出结论．
【解答】
解：由MA→，MB→，MC→共面可知，14+16+λ=1，
解得λ=712.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：甲不输这一事件包括两人下成和棋和甲获胜两种情况，
由已知条件及互斥事件的概率公式可得，
甲不输的概率为P=12+13=56.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
空间向量的加减法
【解析】
BN=NC，可得ON→=12(OB→+OC→)．由OM=2MA，可得OM→=23OA→．可得MN→=ON→−OM→．
【解答】
解：∵ BN=NC，∴ ON→=12(OB→+OC→)=12(b→+c→).
∵ OM=2MA，∴ OM→=23OA→=23a→，
∴ MN→=ON→−OM→=12(OB→+OC→)−23OA→=−23a→+12b→+12c→.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵甲解出这个问题的概率是14，
∴甲解决不了这个问题的概率是1−14=34.
∵乙解出这个问题的概率是12，
∴ 乙解决不了这个问题的概率是1−12=12.
则甲，乙两人均不能解决该问题的概率为34×12=38，
则甲，乙两人中至少有一人解决这个问题的概率为1−38=58.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,B,C
【考点】
互斥事件的概率加法公式
【解析】
利用互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式直接求解．
【解答】
解：甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是15.
对于A，甲不输的概率为：P=12+15=710，正确；
对于B，乙不输的概率为：P=1−15=45，正确；
对于C，乙获胜的概率为：P=1−12−15=310，正确；
对于D，乙输的概率就是甲胜的概率，∴ 乙输的概率为：P=15，错误.
故选ABC.
【答案】
C,D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，能求出结果．
【解答】
解：由题可得，P1=(12)3=18，
P2=(12)3=18.
出现“二正一反”的基本事件包括：正正反，正反正，反正正，
∴ P3=12×12×12+12×12×12+12×12×12=38.
出现“一正二反”的基本事件包括：正反反，反正反，反反正，
∴ P4=12×12×12+12×12×12+12×12×12=38.
∴ P1=P2P3=3P1，故B错误；
P1+P2+P3+P4=1，故C正确；
P4=3P2，故D正确.
故选CD.
三、填空题
【答案】
16
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
同时抛掷两个质地均匀的骰子，基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出向上的点数之和小于5包含的基本事件有6个，由此能求出所求向上点数之和小于5的概率．
【解答】
解：同时抛掷两个质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，
其中向上的点数之和小于5包含的基本事件有：
(1, 1)，(1, 2)，(1, 3)，(2, 1)，(2, 2)，(3, 1)，共6个，
故所求向上点数之和小于5的概率P=636=16.
故答案为：16.
【答案】
34
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：已知家庭三个小孩中有一个是男孩，
则题目可转化为求另外两个小孩中至少有一个女孩的概率.
由题可知，另外两个小孩中没有女孩的概率为12×12=14，
所以另外两个小孩中至少有一个女孩的概率为1−14=34，
即家庭中至少有一个女孩的概率是34.
故答案为：34.
【答案】
59
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，基本事件总数n=C31C31=9，选出的2名医生性别不相同包含的基本事件个数m=C21C21+C11C11=5，由此能求出选出的2名医生性别不相同的概率．
【解答】
解：将甲医院的两男一女表示为：A1，A2，B1，
将乙医院的一男两女表示为：a1，b1，b2，
从甲医院和乙医院报名的医生中各任选1名，基本事件总数n=3×3=9，
其中选出的2名医生性别不相同包含的基本事件有：
(A1,b1)，(A1,b2)，(A2,b1)，(A2,b2)，(a1,B1)，共5个，
所以选出的2名医生性别不相同的概率是P=mn=59.
故答案为：59.
【答案】
①②③
【考点】
用空间向量求直线与平面的夹角
用空间向量求直线间的夹角、距离
两条直线垂直的判定
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：取BD的中点O，连结AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故AC⊥BD，①正确.
如图，以BD的中点O为坐标原点，OA，OD，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O−xyz.
设空间四边形ABCD的各边长均为a，
则A22a,0,0，B0,−22a,0，C0,0,22a，D0,22a,0，
故AB→=−22a,−22a,0，CD→=0,22a,−22a.
所以cs⟨AB→,CD→⟩=AB→⋅CD→|AB→|⋅|CD→|=−12，两直线所成夹角小于等于90∘，
故异面直线AB与CD所成的角为60∘，②正确.
在直角三角形AOC中，AO=CO=22a，AC=2AO=a，
故△ADC为等边三角形，③正确.
易知∠ABO即直线AB与平面BCD所成的角，
可求得∠ABO=45∘，④错误.
综上，正确结论的序号是①②③.
故答案为：①②③.
四、解答题
【答案】
解：连接MD，根据向量的三角形法则，
得MN→=MD→+DN→=AD→−AM→+13DA1→
=AD→−13AB→+13(AA1→−AD→)
=23AD→−13AB→+13AA1→
=23b→−13a→+13c→.
【考点】
空间向量的加减法
【解析】
根据向量的三角形法则把要表示的向量写成以几何体的棱为基底的向量的加法的形式，从向量的起点出发，沿着棱到终点．
【解答】
解：连接MD，根据向量的三角形法则，
得MN→=MD→+DN→=AD→−AM→+13DA1→
=AD→−13AB→+13(AA1→−AD→)
=23AD→−13AB→+13AA1→
=23b→−13a→+13c→.
【答案】
解：(1)在一小时的过程中，没有一台机床需要照顾的概率：
P1=0.9×0.8×0.85=0.612.
(2)在一小时的过程中，恰有两台机床需要照顾的概率：
P2=0.9(1−0.8)(1−0.85)+(1−0.9)×0.8×(1−0.85)+(1−0.9)(1−0.8)×0.85=0.056.
(3)在一小时的过程中，至少有一台机床需要照顾的概率：
P3=1−P1=1−0.612=0.388.
(4)在一小时的过程中，至少有两台机床需要照顾的概率：
P4=P2+(1−0.9)(1−0.8)(1−0.85)
=0.056+0.003，
=0.059.
【考点】
对立事件的概率公式及运用
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
【解析】
（1）利用相互独立事件概率乘法公式能求出在一小时的过程中，没有一台机床需要照顾的概率．
（2）利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出在一小时的过程中恰有两台机床需要照顾的概率．
（3）至少有一台机床需要照顾的对立事件是没有一台机床需要照顾，利用对立事件概率计算公式能求出在一小时的过程中至少有一台机床需要照顾的概率．
（4）至少有两台机床需要照顾包含恰有两台机床需要照顾和三台机床都需要照顾，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出在一小时的过程中至少有两台机床需要照顾的概率．
【解答】
解：(1)在一小时的过程中，没有一台机床需要照顾的概率：
P1=0.9×0.8×0.85=0.612.
(2)在一小时的过程中，恰有两台机床需要照顾的概率：
P2=0.9(1−0.8)(1−0.85)+(1−0.9)×0.8×(1−0.85)+(1−0.9)(1−0.8)×0.85=0.056.
(3)在一小时的过程中，至少有一台机床需要照顾的概率：
P3=1−P1=1−0.612=0.388.
(4)在一小时的过程中，至少有两台机床需要照顾的概率：
P4=P2+(1−0.9)(1−0.8)(1−0.85)
=0.056+0.003，
=0.059.
【答案】
解：(1)c→=−2a→+3b→=−2(1,1)+3(2,−2)=(4,−8)，
|c→|=42+(−8)2=45.
(2)由题意得：|c→|=|(2−λ,3λ−2)|
=(2−λ)2+(3λ−2)2，
=10λ2−16λ+8，
=10λ−452+85，
故|c→|最小时，λ=45.
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量的模
函数的最值及其几何意义
【解析】
本题考查向量的加减法、坐标运算与数量积运算．
【解答】
解：(1)c→=−2a→+3b→=−2(1,1)+3(2,−2)=(4,−8)，
|c→|=42+(−8)2=45.
(2)由题意得：|c→|=|(2−λ,3λ−2)|
=(2−λ)2+(3λ−2)2，
=10λ2−16λ+8，
=10λ−452+85，
故|c→|最小时，λ=45.
【答案】
解：(1)六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，
A1F1→−EF→+AB→+CC1→
=AF→+FE→+AB→+CC1→
=AE→+AB→+CC1→
=AE→+ED→+CC1→
=AD→+DD1→
=AD1→.
如图所示：
(2)AB→+CC1→+DE→+B1D1→
=(AB→+DE→)+(B1D1→+CC1→)
=(AB→−AB→)+(BD→+DD1→)
=0→+BD1→
=BD1→.
如图所示：
【考点】
空间向量的加减法
【解析】
根据六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，所有的侧棱平行且相等，相对的两条边平行且相等，
结合空间向量的加法与减法运算的三角形法则，求出答案并画出图形．
【解答】
解：(1)六棱柱ABCDEF−A1B1C1D1E1F1中，
A1F1→−EF→+AB→+CC1→
=AF→+FE→+AB→+CC1→
=AE→+AB→+CC1→
=AE→+ED→+CC1→
=AD→+DD1→
=AD1→.
如图所示：
(2)AB→+CC1→+DE→+B1D1→
=(AB→+DE→)+(B1D1→+CC1→)
=(AB→−AB→)+(BD→+DD1→)
=0→+BD1→
=BD1→.
如图所示：
【答案】
解：(1)∵ AA′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴ AC⊥AA′，
∴ AC→⋅AA′→=0.
(2)∵ AC // A′C′，
∴ AC→⋅A′C′→=|AC→|⋅|A​′C​′→|⋅cs0=2a⋅2a=2a2．
(3)AC→⋅AC′→=|AC→|⋅|AC​′→|cs∠C′AC
=2a×3a×2a2+3a2−a222a⋅3a=2a2．
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】
解：(1)∵ AA′⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴ AC⊥AA′，
∴ AC→⋅AA′→=0.
(2)∵ AC // A′C′，
∴ AC→⋅A′C′→=|AC→|⋅|A​′C​′→|⋅cs0=2a⋅2a=2a2．
(3)AC→⋅AC′→=|AC→|⋅|AC​′→|cs∠C′AC
=2a×3a×2a2+3a2−a222a⋅3a=2a2．
【答案】
解：(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1，
所以a=0.006．
(2)由频率分布直方图知，
50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022+0.018)×10=0.4，
所以该企业职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4．
(3)受访职工中评分在[50, 60)的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40, 50)的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
它们是Ω={(A1, A2)，(A1, A3)，(A2, A3)，(A1, B1)，
(A1, B2)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A3, B1)，(A3, B2)，(B1, B2)}．
又因为所抽取2人的评分都在[40, 50)的结果有1种，即(B1, B2)，
故所求概率P=110．
【考点】
用频率估计概率
频数与频率
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
频率分布直方图
【解析】
(Ⅰ)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；
(Ⅱ)对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；
(Ⅲ)求出评分在[40, 60]的受访职工和评分都在[40, 50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．
【解答】
解：(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1，
所以a=0.006．
(2)由频率分布直方图知，
50名受访职工评分不低于80分的频率为(0.022+0.018)×10=0.4，
所以该企业职工对该部门评分不低于80分的概率为0.4．
(3)受访职工中评分在[50, 60)的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40, 50)的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，
它们是Ω={(A1, A2)，(A1, A3)，(A2, A3)，(A1, B1)，
(A1, B2)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A3, B1)，(A3, B2)，(B1, B2)}．
又因为所抽取2人的评分都在[40, 50)的结果有1种，即(B1, B2)，
故所求概率P=110．