2022版新高考数学一轮总复习课后集训：17+函数模型及其应用+Word版含解析

课后限时集训(十七)　函数模型及其应用

建议用时：40分钟

一、选择题

1.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

B　[函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D，半缸水前，h的变化是越来越慢，半缸水后，h的变化是越来越快，故选B.]

2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，表中记录了该车相邻两次加油时的情况．

(注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程)

在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为(　　)

A．6升 B．8升 

C．10升 D．12升

C　[因为第二次加满油箱时加油量为60升，所以从第一次加油到第二次加油共用油60升，行驶了600千米，所以在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为＝10(升)．故选C.]

3．(多选)(2020·北京东城区一模改编)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．

　图(1)　　　　图(2)　　　　　图(3)

给出下列四种说法，其中正确的说法是(　　)

A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本

B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本

C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变

D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本

BC　[由图(1)可设y关于x的函数为y＝kx＋b，k＞0，b＜0，k为票价，当k＝0时，y＝b，则－b为固定成本．由图(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则－b变小，固定成本减小，故A错误，B正确；由图(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，即k变大，票价提高，b不变，即－b不变，固定成本不变，故C正确，D错误．故答案为BC.]

4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是(　　)

A．减少7.84% B．增加7.84%

C．减少9.5% D．不增不减

A　[设某商品原来价格为a，四年后价格为：

a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.921 6a，

(0.921 6－1)a＝－0.078 4a，

所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]

5．(2020·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t秒内的路程为s＝t2米，那么，此人(　　)

A．可在7秒内追上汽车

B．可在9秒内追上汽车

C．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为14米

D．不能追上汽车，但期间离汽车的最近距离为7米

D　[已知s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.故选D.]

6．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)

A．5千米处 B．4千米处

C．3千米处 D．2千米处

A　[设仓库建在离车站x千米处，则y1＝，y2＝k2x，根据给出的初始数据可得k1＝20，k2＝0.8，两项费用之和为y＝＋0.8x≥8，当且仅当x＝5时，等号成立．]

二、填空题

7．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．

43　[设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N*)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－×2＋×＋32.

因为x∈[0,16]且x∈N*，

所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]

8．(2020·山东济宁期末)2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2 (N0表示碳14原有的质量)，则经过5 730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5 730年．(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3)

　4 011　[当t＝5 730时，N＝N0·2－1＝N0，

∴经过5 730年后，碳14的质量变为原来的.令N＝N0，则2＝，∴－＝log2＝log23－log25≈－0.7，∴t≈0.7×5 730＝4 011，∴良渚古城存在的时期距今约4 011年到5 730年．]

9．(2020·洛阳模拟)为促进全民健身运动，公司为员工购买某健身俱乐部的健身卡，每张360元，使用规定：不记名，每卡每次仅限1人，每天仅限1次．公司共90名员工，公司领导打算组织员工分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还要包租一辆汽车，费用是每次40元，如果要使每位员工健身10次，那么公司购买________张健身卡最合算．

10　[设购买x张健身卡，这项健身活动的总支出为y，

则y＝×40＋360x，

即y＝360≥360×2＝7 200，

当且仅当＝x，即x＝10时取等号，

所以公司购买10张健身卡最合算．]

三、解答题

10.如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．

(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值．

[解]　(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，

在△EDF中，＝，

所以＝，

所以y＝－x＋10，

定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S，

则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，

所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，

所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米．

11．为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小李同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本5万元，每年生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，且C(x)＝每件产品售价为10元，经分析，生产的产品当年能全部售完．

(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式(年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；

(2)年产量为多少万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

[解]　(1)因为每件产品售价为10元，所以x万件产品销售收入为10x万元．

依题意得，当0＜x＜8时，P(x)＝10x－－5＝－x2＋6x－5；

当x≥8时，P(x)＝10x－－5＝30－.

所以P(x)＝

(2)当0＜x＜8时，P(x)＝－(x－6)2＋13，当x＝6时，P(x)取得最大值P(6)＝13；

当x≥8时，P′(x)＝－1＋＜0，所以P(x)为减函数，当x＝8时，P(x)取得最大值P(8)＝.

由13＜可知当年产量为8万件时，小李在这一产品的生产中所获利润最大，最大利润为万元．

1．(2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

(1)130　(2)15　[(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒时，总价为60＋80＝140(元)，总价达到120元，又x＝10，即顾客少付10元，所以需要支付130元．

(2)设顾客买水果的总价为a元，当0≤a＜120时，顾客支付a元，李明得到0.8a元，且0.8a≥0.7a，显然符合题意，此时x＝0；当a≥120时，则0.8(a－x)≥0.7a恒成立，即x≤a恒成立，x≤min，又a≥120，所以min＝15所以x≤15.综上可知，0≤x≤15.所以x的最大值为15.]

2．某种出口产品的关税税率为t，市场价格x(单位：千元)与市场供应量p(单位：万件)之间近似满足关系式：p＝2(1－kt)(x－b)2，其中k，b均为常数．当关税税率t＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．

(1)试确定k，b的值；

(2)市场需求量q(单位：万件)与市场价格x(单位：千元)近似满足关系式：q＝2－x，当p＝q时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．

[解]　(1)由已知得：

⇒

解得b＝5，k＝1.

(2)当p＝q时，2(1－t)(x－5) 2＝2－x，

所以(1－t)(x－5)2＝－x⇒t＝1＋＝1＋.

而f(x)＝x＋在(0,4]上单调递减，

所以当x＝4时，f(x)有最小值，

故当x＝4时，关税税率的最大值为500%.