2022版新高考数学一轮总复习课后集训：15+函数的图象+Word版含解析

课后限时集训(十五)　函数的图象

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一、选择题

1．函数y＝－ex的图象(　　)

A．与y＝ex的图象关于y轴对称

B．与y＝ex的图象关于坐标原点对称

C．与y＝e－x的图象关于y轴对称

D．与y＝e－x的图象关于坐标原点对称

D　[由点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)，可知D正确．]

2．函数y＝lg|x－1|的图象是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

A　[函数y＝lg|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，则排除B，D，当x＝0时，y＝0，排除C，故选A.]

3．函数f(x)＝的图象大致为(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

C　[因为y＝x2－1与y＝e|x|都是偶函数，所以f(x)＝为偶函数，排除A，B，又由x→＋∞时，f(x)→0，x→－∞时，f(x)→0，排除D，故选C.]

4．下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线y＝1对称的是

(　　)

A．y＝log2 B．y＝log2

C．y＝log2(2x) D．y＝log2(4x)

B　[设P(x，y)为所求函数图象上的任意一点，它关于直线y＝1对称的点是Q(x,2－y)，由题意知点Q(x,2－y)在函数y＝log2x的图象上，则2－y＝log2x，即y＝2－log2x＝log2，故选B.]

5．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)

A　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　D

C　[要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．故选C.]

6．对∀x∈，23x≤logax＋1恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A. B．

C. D．

C　[若23x≤logax＋1在上恒成立，则0＜a＜1，利用数形结合思想画出指数函数与对数函数图象(图略)，易得loga＋1≥23×，解得≤a＜1，故选C.]

二、填空题

7．不等式log2(－x)＜x＋1的解集为________．

(－1,0)　[在同一坐标系中画出函数y＝log2(－x)和y＝x＋1的图象如图所示：

由图象知，不等式log2(－x)＜x＋1的解集为(－1,0)．]

8．(2020·浙江台州一中质检)已知函数f(x)的图象是如图所示的曲线段OAB，其中O(0,0)，A(1,2)，B(3,1)，则f ＝________；函数g(x)＝f(x)－的零点的个数为________．

2　2　[由图可知，f(3)＝1，故f ＝f(1)＝2.函数g(x)＝f(x)－的零点的个数为函数y＝f(x)与函数y＝的图象的交点个数，由图象可知，有2个交点，故零点的个数为2.]

9．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

[－1，＋∞)　[如图，作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．]

三、解答题

10．画出下列函数的图象．

(1)y＝eln x；

(2)y＝；

(3)y＝|x2－2x－1|.

[解]　(1)因为函数的定义域为{x|x＞0}且y＝eln x＝x(x＞0)，所以其图象如图①所示．

图①　　　　　　　图②

(2)y＝＝1＋，先作出y＝的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y＝的图象，如图②.

(3)先作出函数y＝x2－2x－1的图象，然后x轴上方的图象不变，把x轴下方的图象以x轴为对称轴，翻折到x轴上方，得到y＝|x2－2x－1|的图象，如图③中实线部分．

图③

11．已知函数f(x)＝

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；

(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．

[解]　(1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．

(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，

当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.

1.(2020·潍坊模拟)如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是(　　)

A．y＝2x－x2－1

B．y＝2xsin x

C．y＝

D．y＝(x2－2x)ex

D　[由函数图象知，函数的定义域为R，既不是奇函数也不是偶函数，则排除B、C，由图象知，当x＝－2时，y＞0，则排除A，故选D.]

2．已知函数f(x)＝|x2－1|，若0＜a＜b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)

C．(1，) D．(1,2)

C　[作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)．]

3．已知函数f(x)＝2x，x∈R.

(1)当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？

(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)－m＞0在R上恒成立，求m的取值范围．

[解]　(1)令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图象如图所示，由图象看出，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图象只有一个交点，即原方程有一个解；

当0＜m＜2时，函数F(x)与G(x)的图象有两个交点，即原方程有两个解．

(2)令f(x)＝t(t＞0)，H(t)＝t2＋t，

因为H(t)＝2－在区间(0，＋∞)上单调递增，

所以H(t)＞H(0)＝0.

因此要使t2＋t＞m在区间(0，＋∞)上恒成立，

应有m≤0，

即所求m的取值范围为(－∞，0]．

1．(多选)(2020·山东滨州期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚动), 点D恰好经过坐标原点，设顶点B(x，y)的轨迹方程是y＝f(x)，则对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　)

A．函数y＝f(x)是奇函数

B．对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)

C．函数y＝f(x)的值域为[0,2]

D．函数y＝f(x)在区间[6,8]上单调递增

BCD　[由题意得，当－4≤x＜－2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点A(－2,0)为圆心，2为半径的圆；当－2≤x＜2时，顶点B(x，y)的轨迹是以点(0,0)为圆心，2为半径的圆；当2≤x＜4时，顶点B(x，y)的轨迹是以点(2,0)为圆心，2为半径的圆；当4≤x＜6时，顶点B(x，y)的轨迹是以点(4,0)为圆心，2为半径的圆，与当－4≤x＜－2时，B(x，y)的轨迹的形状相同．因此函数y＝f(x)在[－4,4]上的图象恰好为函数y＝f(x)的一个周期的图象，所以函数y＝f(x)的周期是8，作出y＝f(x)在[－4,4]上的图象如图所示：

由图象及题意得，该函数为偶函数，故A错误；因为函数y＝f(x)的周期为8，所以f(x＋8)＝f(x)，所以f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；由图象可得，该函数的值域为[0，2]，故C正确；因为该函数是以8为周期的函数，所以函数y＝f(x)在区间[6,8]上的图象与在区间[－2,0]上的图象相同，所以y＝f(x)在[6,8]上单调递增，故D正确．故选BCD.]

2．已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝4－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，则 (xi－yi)＝(　　)

A．10 B．20 

C．－10 D．－20

D　[因为f(－x)＝4－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝4，所以f(x)的图象关于点(0,2)对称，因为函数y＝＝2＋的图象也关于点(0,2)对称，所以x1＋x2＋x3＋…＋x10＝0，y1＋y2＋y3＋…＋y10＝5×4＝20，则 (xi－yi)＝－20.故选D.]

3．已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是________.

[－2,0]　[可画出|f(x)|的图象如图所示．

当a＝0时，|f(x)|≥ax＝0恒成立，

所以a＝0满足题意；

当a>0时，在x<0时，|f(x)|≥ax恒成立，所以只需x>0时，ln(x＋1)≥ax成立．

对比对数函数与正比例函数的增长速度发现，一定存在ln(x＋1)<ax的时刻，所以a>0不满足条件；

当a<0时，在x>0时满足题意；

当x≤0时，只需x2－2x≥ax成立，

即直线在抛物线下方，即a≥x－2恒成立，则a≥－2.

综上，a的取值范围为[－2,0]．]