2022版新高考数学一轮总复习课后集训：24+任意角、弧度制及任意角的三角函数+Word版含解析

课后限时集训(二十四)　任意角、弧度制及任意角的三角函数

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一、选择题

1．(多选)给出下列四个命题，其中正确的有(　　)

A．－75°角是第四象限角

B．260°角是第三象限角

C．475°角是第二象限角

D．－675°角是第一象限角

ABCD　[－75°＝－360°＋285°，是第四象限角，故A正确；

260°＝0·360°＋260°，是第三象限角，故B正确；

475°＝360°＋115°，是第二象限角，故C正确；

－675°＝－2×360°＋45°，是第一象限角，故D正确．

故选ABCD.]

2．(多选)下列说法错误的是(　　)

A．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度

B．若tan α≥0，则kπ≤α≤＋kπ(k∈Z)

C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝

D．当2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)时，sin α＜cos α

ABC　[对于A，长度等于半径的弦所对的圆心角为弧度，故A错误；对于B，若tan α≥0，则kπ≤α＜＋kπ(k∈Z)，故B错误；对于C，若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝±，故C错误；对于D，当2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)时，sin α＜cos α，故D正确．]

3．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为(　　)

A．(1，) B．(，1)

C．(，) D．(1,1)

D　[设P(x，y)，则sin α＝＝sin ，∴y＝1.

又cos α＝＝cos ，∴x＝1，∴P(1,1)．]

4．已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝，则m等于(　　)

A．－3 B．3 

C． D．±3

B　[sin θ＝＝，且m＞0，解得m＝3.]

5．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)

A．2 B．4 

C．6 D．8

C　[设扇形的半径为R，则×4×R2＝2，

∴R＝1，弧长l＝4，∴扇形的周长为l＋2R＝6.]

6．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)

A．小于0 B．大于0

C．等于0 D．不存在

A　[∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，

∴sin 2·cos 3·tan 4＜0.]

二、填空题

7．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________.

120°或－240°　[因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，

所以与α终边相同的角为360°·k＋120°，k∈Z，

令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.]

8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．

(－2,3]　[由cos α≤0，sin α＞0知，角α的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上．则有解得－2＜a≤3.]

9．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________．

4＋2　[由题意可得∠AOB＝，OA＝4.在Rt△AOD中，易得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝OA＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2.由AD＝AOsin＝4×＝2，可得弦＝2AD＝4.所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝×(4×2＋22)＝4＋2.]

三、解答题

10．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．

(1)求sin θ＋cos θ的值；

(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．

[解]　(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，

所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，

当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－；

当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos  θ＝.

(2)当a＞0时，sin θ＝∈，

cos θ＝－∈，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ·sin＜0；

当a＜0时，sin θ＝－∈，

cos θ＝∈，

则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos·sin ＞0.

综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．

11．已知sin α＜0，tan α＞0.

(1)求角α的集合；

(2)求终边所在的象限；

(3)试判断tan sin cos 的符号．

[解]　(1)因为sin α＜0且tan α＞0，所以α是第三象限角，故角α的集合为.

(2)由(1)知2kπ＋π＜α＜2kπ＋，k∈Z，

故kπ＋＜＜kπ＋，k∈Z，

当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋，n∈Z，即是第二象限角．

当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋＜＜2nπ＋π，n∈Z，即是第四象限角，

综上，的终边在第二或第四象限．

(3)当是第二象限角时，

tan ＜0，sin ＞0，cos ＜0，

故tan sin cos ＞0，

当是第四象限角时，tan ＜0，sin ＜0，cos ＞0，

故tan sin cos ＞0，

综上，tan sin cos 取正号．

1．点P的坐标为(2,0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为(　　)

A．(－，) B．(－，1)

C．(－1，) D．(1，－)

B　[由题意可知Q(2cos(－2 010°)，2sin(－2 010°))，

因为－2 010°＝－360°×6＋150°，

所以cos(－2 010°)＝cos 150°＝－，

sin(－2 010°)＝sin 150°＝.

所以Q(－，1)，故选B.]

2．(多选)下列命题中正确的是(　　)

A．若角α的终边上有一点P(0，－3)，则角α不是象限角

B．和1 711°均是第一象限角

C．若某扇形的面积为2.5 cm2，半径为r cm，弧长满足2r＋l＝7 cm，则扇形的圆心角的弧度数是

D．若θ∈(0，π)，且角θ与角7θ的终边相同，则θ的值是或

AD　[对于A，因为点P在y轴上，所以角α的终边在y轴负半轴上，所以角α不是象限角，故A正确．

对于B，＝22π＋，因为为第一象限角，所以为第一象限角，由于1 711°＝4×360°＋271°，且271°不是第一象限角，所以1 711°不是第一象限角，故B错误．

对于C，因为解得或所以圆心角的弧度数为＝或5，故C错误．

对于D，因为角θ与角7θ的终边相同，所以7θ＝θ＋2kπ，k∈Z，所以θ＝，k∈Z，所以0＜＜π，k∈Z，所以k＝1,2，所以θ＝或，故D正确，故选AD.]