2022版新高考数学一轮总复习课后集训：51+椭圆及其性质+Word版含解析

课后限时集训(五十一)　椭圆及其性质

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一、选择题

1．(多选)(2020·山东烟台一中月考)已知椭圆x2＋ky2＝1的焦距为，则

(　　)

A．k＝2 B．k＝2或k＝

C．离心率e＝ D．离心率e＝或e＝

BD　[将椭圆方程化为标准方程x2＋＝1,2c＝，∴c2＝.当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝，那么c2＝1－＝，∴k＝2，此时e＝＝.当焦点在y轴上时，a2＝，b2＝1，那么c2＝－1＝，∴k＝，此时e＝＝＝.故选项BD正确．]

2．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)

A． B．(1，＋∞)

C．(1,2) D．

C　[由题意得

解得1＜k＜2.故选C.]

3．(2020·皖南八校联考)已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)．过点F1的直线与C交于A，B两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

C　[根据椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝8，

∴a＝2，又c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，

∴椭圆C的标准方程为＋＝1.]

4．(多选)(2020·四川绵阳南山中学月考)设定点F1(0，－3)，F2(0,3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a>0)，则点P的轨迹可能是(　　)

A．椭圆 B．圆

C．线段 D．不存在

AC　[当a>0时，由基本不等式得a＋≥2＝6，当且仅当a＝3时等号成立．当a＋＝6时，点P的轨迹是线段F1F2，当a＋>6＝|F1F2|时，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆．故选AC.]

5．(2020·武邑模拟)点P在焦点为F1(－4,0)和F2(4,0)的椭圆上，若△PF1F2面积的最大值为16，则椭圆标准方程为(　　)

A．＋＝1 B．＋＝1

C．＋＝1 D．＋＝1

C　[由题意，2c＝8，即c＝4，

∵△ PF1F2面积的最大值为16，∴×2c×b＝16，

即4b＝16，b＝4，∴a2＝b2＋c2＝16＋16＝32.

则椭圆的标准方程为＋＝1.故选C.]

6．(多选)(2020·山东济宁金乡一中月考)已知椭圆C：x2＋＝1(n>0)的离心率为，则n的值可能是(　　)

A．4 B． 

C．2 D．

AB　[当椭圆C的焦点在x轴上时，0<n<1，所以a2＝1，b2＝n，所以c2＝a2－b2＝1－n，此时，椭圆C的离心率e＝＝＝，解得n＝；当椭圆C的焦点在y轴上时，n>1，所以a2＝n，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝n－1，此时，椭圆C的离心率e＝＝＝，解得n＝4.因此，n＝或n＝4.故选AB.]

二、填空题

7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．

(－5,0)　[∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．]

8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．

(3，)　[不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)．]

9．(2020·江苏启东中学月考)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1,1)，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．

6＋　6－　[椭圆方程可化为＋＝1.

设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，连接AF1，PF1，

∴|AF1|＝，易知|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.

又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，

∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.]

三、解答题

10．已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称．线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点．求点M的轨迹C的方程．

[解]　由题意得F1(－1,0)，F2(1,0)，圆F1的半径为4，

且|MF2|＝|MP|，从而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝|PF1|＝4>|F1F2|＝2，

所以点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，

其中长轴长为4，焦距为2，则短半轴长为，

所以点M的轨迹方程为＋＝1.

11.如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.

(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．

[解]　(1)若∠F1AB＝90°，

则△AOF2为等腰直角三角形，

所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.

所以a＝c，e＝＝.

(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，

由＝2，得

解得x＝，y＝－.

代入＋＝1，得＋＝1.

即＋＝1，解得a2＝3.

所以椭圆方程为＋＝1.

1．(2020·潍坊三模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，给出以下四个结论：

①|QF1|＋|QP|的最小值为2－1；

②椭圆C的短轴长可能为2；

③椭圆C的离心率的取值范围为；

④若＝，则椭圆C的长轴长为＋.

则上述结论正确的是(　　)

A．①②③ B．①②④ 

C．①③④ D．②③④

C　[因为|F1F2|＝2，所以F2(1,0)，|PF2|＝1，

所以|QF1|＋|QP|＝2－|QF2|＋|QP|≥2－|PF2|＝2－1，

当Q，F2，P三点共线时，取等号，故①正确；

若椭圆C的短轴长为2，则b＝1，a＝2，所以椭圆方程为＋＝1，＋＞1，则点P在椭圆外，故②错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以＋＜1，

又a－b＝1，所以b＝a－1，所以＋＜1，

即a2－3a＋1＞0，解得a＞＝＝，

所以＞，所以e＝＜，

所以椭圆C的离心率的取值范围为，故③正确；若＝，则F1为线段PQ的中点，所以Q(－3，－1)，所以＋＝1，又a－b＝1，即a2－11a＋9＝0，解得a＝＝＝，所以＝，所以椭圆C的长轴长为＋，故④正确．故选C.]

2．(多选)(2020·山东黄岛一中月考)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍然以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子中正确的是(　　)

A．a1＋c1＝a2＋c2 B．a1－c1＝a2－c2

C．c1a2>a1c2 D．<

BC　[对于A，因为在椭圆中，a＋c是椭圆上的点到焦点的最大距离，所以a1＋c1>a2＋c2，所以A错误；对于B，因为在椭圆中，a－c是椭圆上的点到焦点的最小距离，所以a1－c1＝a2－c2，所以B正确；对于C，D，因为由题图可以看出椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ扁，所以椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ的离心率大，所以D是错误的，C正确．]

3．(2020·豫州九校联考)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点P为椭圆C上的任意一点，且P在第一象限，O为坐标原点，F(3,0)为椭圆C的右焦点，求·的取值范围．

[解]　因为椭圆C的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，

所以2a＋2c＝4b，即a＋c＝2b.

F(3,0)为椭圆C的右焦点，所以c＝3.

在椭圆中，a2＝c2＋b2，

所以解方程组得

所以椭圆方程为＋＝1.

设P(m，n)(0＜m＜5)，

则＋＝1，则n2＝16－m2.

所以·＝(m，n)(3－m，－n)＝3m－m2－n2

＝3m－m2－

＝－m2＋3m－16

＝－2－.

因为0＜m＜5，所以当m＝时，·取得最大值为－，

当m趋近于0时，·的值趋近于－16.

所以·的取值范围为.

1．(2020·北京模拟)已知椭圆G：＋＝1(0＜b＜)的两个焦点分别为F1和F2，短轴的两个端点分别为B1和B2，点P在椭圆G上，且满足|PB1|＋|PB2|＝|PF1|＋|PF2|，当b变化时，给出下列三个命题：

①点P的轨迹关于y轴对称；

②|OP|的最小值为2；

③存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，

其中，所有正确命题的序号是________．

①②　[椭圆G：＋＝1(0＜b＜)的两个焦点分别为F1(，0)和F2(－，0)，

短轴的两个端点分别为B1(0，－b)和B2(0，b)，

设P(x，y)，点P在椭圆G上，

且满足|PB1|＋|PB2|＝|PF1|＋|PF2|，

由椭圆定义可得，|PB1|＋|PB2|＝2a＝2＞2b，

即有P在椭圆＋＝1上，

对于①，将x换为－x方程不变，

则点P的轨迹关于y轴对称，故①正确；

对于②，由图象可得，当P满足x2＝y2，

即有6－b2＝b2，

即b＝时，|OP|取得最小值，

可得x2＝y2＝2时，

即有|OP|＝＝＝2取得最小值为2，故②正确；

对于③，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0＜b＜，

则椭圆G上满足条件的点P有4个，

不存在b使得椭圆G上满足条件的点P有2个，故③不正确．故答案为①②.]

2．(2019·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

[解]　(1)连接PF1(图略)，由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率为e＝＝－1.

(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当

|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，

即c|y|＝16，  ①

x2＋y2＝c2，  ②

＋＝1.  ③

由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.

又由①知y2＝，故b＝4.

由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)，

所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.

当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.

所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．