2022版新高考数学一轮总复习课后集训：57+圆锥曲线中的范围、最值问题+Word版含解析

课后限时集训(五十七)

圆锥曲线中的范围、最值问题

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1．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

[解]　(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1，

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.

因此a＝2，c＝.

故椭圆C的离心率e＝＝.

(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x0≠0.

因为OA⊥OB，所以·＝0，

即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.

又x＋2y＝4，

所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝2＋(y0－2)2

＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4

＝＋＋4(0＜x≤4)．

因为＋≥4(0<x≤4)，且当x＝4时等号成立，

所以|AB|2≥8.故线段AB长度的最小值为2.

2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|，且cos∠F1PF2＝.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|＝|BQ|，求k的取值范围．

[解]　(1)由题意设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则3r1＝5r2.①

又r1＋r2＝2a，②

联立①②，解得r1＝a，r2＝a.

在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝，解得a2＝4.

因为c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，

于是椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由消去y并整理，得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，

且Δ＝(8km)2－4×(3＋4k2)(4m2－12)＝48(3＋4k2－m2)＞0.③

设线段AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则

x0＝＝，y0＝kx0＋m＝.

因为|AQ|＝|BQ|，所以AB⊥QM，

又Q，M为线段AB的中点，所以k≠0，直线QM的斜率存在，

所以k·kQM＝k·＝－1，

解得m＝－.④

把④代入③，得3＋4k2＞2，

解得k＜－或k＞.即k的取值范围为∪.

3.如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围；

(2)求|PA|·|PQ|的最大值．

[解]　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，

因为－<x<，

所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．

(2)联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是xQ＝.

因为|PA|＝＝(k＋1)，

|PQ|＝(xQ－x)＝－，

所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.

令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，

因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，

所以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，|PA|·|PQ|取得最大值.