2022版新高考数学一轮总复习课后集训：41+空间点、直线、平面之间的位置关系+Word版含解析

课后限时集训(四十一)　

空间点、直线、平面之间的位置关系

建议用时：40分钟

一、选择题

1．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　　)

A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

C　[若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.]

2．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是(　　)

A．① B．①④ 

C．②③ D．③④

B　[①显然正确；②错误，三条平行直线可能确定1个或3个平面；③若三个点共线，则两个平面相交，故③错误；④显然正确．故选B.]

3．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)

　            　A　　　　　B　　　　C　　　　D

D　[A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．]

4.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是(　　)

A．直线AC

B．直线AB

C．直线CD

D．直线BC

C　[由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，

又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，

所以点D在平面ABC与平面β的交线上．

又因为C∈平面ABC，C∈β，

所以点C在平面β与平面ABC的交线上，

所以平面ABC∩平面β＝CD.]

5.(2020·兰州模拟)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为(　　)

A. B．

C. D．

B　[不妨设正方体的棱长为1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GA∥C1E，则∠FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角．连接FG(图略)，在△AFG中，AG＝＝，AF＝＝，FG＝1，

于是cos∠FAG＝＝，故选B.]

6．(多选)(2020·北京通州区期末改编)设点B为⊙O上任意一点，AO垂直于⊙O所在的平面，且AO＝OB，对于⊙O所在平面内任意两条相互垂直的直线a，b，有下列结论，其中正确的有(　　)

A．当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角

B．当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角

C．直线AB与a所成角的最小值为45°

D．直线AB与a所成角的最小值为60°

BC　[如图，AO＝OB，直线a⊥b，点D，M分别为BC，AC的中点，则∠ABC为直线AB与a所成的角，∠MDO为直线AB与b所成的角．设AO＝OB＝1，若∠ABC＝60°，则OM＝OD＝MD，所以∠MDO＝60°，故B正确，A不正确；因为AB与⊙O所在平面所成的角为45°，即直线AB与平面内所有直线所成角中的最小角为45°，所以直线a与直线AB所成角的最小值为45°，故C正确，D不正确．故选BC.]

二、填空题

7．已知AE是长方体ABCD­EFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有________条．

4　[如图，作出长方体ABCD­EFGH.

在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH，GF，BC，CD.共4条．]

8．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点．若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的度数为________．

30°　[如图，设G为AD的中点，连接GF，GE，则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．

由此可得GF∥AB，且GF＝AB＝1，

GE∥CD，且GE＝CD＝2，

∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成的角．

又∵EF⊥AB，GF∥AB，∴EF⊥GF.

因此，在Rt△EFG中，GF＝1，GE＝2，

sin∠GEF＝＝，可得∠GEF＝30°，

∴EF与CD所成角的度数为30°.]

9．在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)

　              ①　　　　②　　　 　③　　　　④

②④　[图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．]

10.如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

[解]　(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC.

∴四边形BCHG为平行四边形．

(2)∵BE綊AF，G为FA的中点，

∴BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．

11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

[解]　(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，

所以相交直线EF与EG所成的角，

即为异面直线EF与BD所成的角．

又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.

在Rt△EGF中，由EG＝FG

＝AC，求得∠FEG＝45°，

即异面直线EF与BD所成的角为45°.

1.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为(　　)

A． B．－ 

C． D．－

A　[如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，

则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，

∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角．

设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，

∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG＝60°，

∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.]

2.(多选)(2020·山东泰安一中、宁阳一中联考)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法正确的是(　　)

A．无论点F在线段BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1D

B．当F为BC1的中点时，才有A1F与B1D相交于一点，记为点E，且＝2

C．无论点F在线段BC1上怎么移动，异面直线A1F与CD所成的角都不可能是30°

D．当F为BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成的角最大，且为60°

ABC　[对于A选项，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，连接A1C1，A1B(图略)，易知B1D⊥平面A1BC1，又A1F⊂平面A1BC1，∴A1F⊥B1D，故A正确；

对于B选项，如图，当F为BC1的中点时，连接B1C，A1D，B1C与BC1交于点F，A1F与B1D共面于平面A1B1CD，且必相交，交点为E，易知△A1DE∽△FB1E，所以＝＝2，故B正确；

对于C选项，点F从点B移至点C1，异面直线A1F与CD所成的角先变小再变大，当F为BC1的中点时，异面直线A1F与CD所成的角最小，此时该角的正切值为，最小角大于30°，故C正确；

对于D选项，点F从点B移至点C1，直线A1F与平面BDC1所成的角先变大再变小，当F为BC1的中点时，设点O为A1在平面BDC1上的投影，连接OF(图略)，则直线A1F与平面BDC1所成角的最大角的余弦值为＝＝，则最大角大于60°，故D错误．故选ABC.]

3.如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.

(1)证明：E，F，G，H四点共面；

(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？

(3)在(2)的条件下，若AC⊥BD.试证明：EG＝FH.

[解]　(1)证明：因为AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.

又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.

所以E，F，G，H四点共面．

(2)当EH∥FG，且EH＝FG时，四边形EFGH为平行四边形．

因为＝＝，所以EH＝BD.

同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.

故当m＝n时，四边形EFGH为平行四边形．

(3)证明：当m＝n时，AE∶EB＝CF∶FB，所以EF∥AC，又EH∥BD，所以∠FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EG＝FH.