2022版新高考数学一轮总复习课后集训：7+基本不等式+Word版含解析

课后限时集训(七)　基本不等式

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一、选择题

1．(多选)(2020·山东淄博期中)下列表达式的最小值为2的有(　　)

A．当ab＝1时，a＋b B．当ab＝1时，＋

C．a2－2a＋3 D．＋

BC　[对于A，当a，b均为负值时，a＋b＜0，故当ab＝1时，a＋b的最小值不为2，A错误；对于B，因为ab＝1，所以a，b同号，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，且ab＝1，即a＝b＝±1时取等号，故当ab＝1时，＋的最小值为2，B正确；对于C，因为a2－2a＋3＝(a－1)2＋2，所以当a＝1时，a2－2a＋3取最小值2，C正确；对于D，＋≥2＝2，当且仅当＝，即a2＋2＝1时取等号，但等号显然不成立，故＋的最小值不为2，D错误．故选BC.]

2．(多选)(2020·山东菏泽期中)设a，b∈R，则下列不等式一定成立的是

(　　)

A．a2＋b2≥2ab B．a＋≥2

C．b2＋1≥2b D．＋≥2

ACD　[对于A，当a，b∈R时，a2＋b2≥2ab成立，故A正确；对于B，当a＞0时，a＋≥2，等号成立的条件是a＝1，当a＜0时，a＋≤－2，等号成立的条件是a＝－1，故B不正确；对于C，当b∈R时，b2＋1－2b＝(b－1)2≥0，所以b2＋1≥2b，故C正确；对于D，＞0，＞0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a2＝b2时等号成立，故D正确．故选ACD.]

3．设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为(　　)

A．2 B． 

C． D．

D　[∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，

∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2.

当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．

即函数y＝的最大值为.]

4．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)

A. B．4 

C. D．5

C　[由a＞0，b＞0，a＋b＝2知＋＝(a＋b)＝≥，当且仅当＝，即b＝2a＝时等号成立，故选C.]

5．若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)

A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R

C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q

C　[∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，

(lg a＋lg b)＞，

即Q＞P.∵＞，∴lg＞lg＝(lg a＋lg b)＝Q，即R＞Q，∴P＜Q＜R.]

6．(2020·福州模拟)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品(　　)

A．60件 B．80件 

C．100件 D．120件

B　[若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．]

二、填空题

7．已知函数y＝x＋(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________．

4　[∵x＞2，∴x－2＞0，

∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，

当且仅当x－2＝，即x＝2＋时等号成立．

由题意知2＋2＝6，解得m＝4.]

8．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．

　[由题知a－3b＝－6，因为2a＞0,8b＞0，所以2a＋≥2×＝2×＝，当且仅当2a＝，即a＝－3b，a＝－3，b＝1时取等号．]

9．(2020·扬州模拟)已知正数a，b满足a＋b＝1，则的最小值为________．

2＋2　[∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，

∴＝＋＝＋＝＋＋2

≥2＋2＝2＋2.

当且仅当即a＝－1，b＝2－时等号成立．

因此的最小值为2＋2.]

三、解答题

10．已知正实数x，y满足等式＋＝2.

(1)求xy的最小值；

(2)若3x＋y≥m2－m恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　(1)2＝＋≥2，即xy≥3，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，所以xy的最小值为3.

(2)3x＋y＝(3x＋y)＝≥＝6，当且仅当x＝1，y＝3时等号成立，即(3x＋y)min＝6，所以m2－m≤6，所以－2≤m≤3.

11．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：

(1)xy的最小值；

(2)x＋y的最小值．

[解]　(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

又x>0，y>0，

则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64，

当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．

所以xy的最小值为64.

(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋

≥10＋2 ＝18.

当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，

所以x＋y的最小值为18.

1．(多选)(2020·山东烟台期中)下列说法正确的是(　　)

A．若x，y＞0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4

B．若x＜，则函数y＝2x＋的最大值为－1

C．若x，y＞0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1

D．函数y＝＋的最小值为9

BD　[对于A，取x＝，y＝，可得2x＋2y＝3＞4，A错误；对于B，y＝2x＋＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C，易知x＝2，y＝满足等式x＋y＋xy＝3，此时xy＝＜1，C错误；对于D，y＝＋＝(sin2x＋cos2x)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当cos2x＝，sin2x＝时等号成立，D正确．故选BD.]

2．(2020·北京朝阳区模拟)已知x＞1，且x－y＝1，则x＋的最小值是________．

3　[∵x＞1且x－y＝1，∴y＝x－1＞0.

∴x＋＝x＋＝(x－1)＋＋1

≥2＋1＝3(当且仅当x＝2时取等号，此时y＝1)．∴x＋的最小值为3.]

3．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝

(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？

(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？

[解]　(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，

所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.

当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，

故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.

因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．

(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·.

①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，

当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16.

②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，

所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.

因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．

1．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的是(　　)

A．(1,4) B．(6,8)

C．(7,12) D．

AC　[设矩形的边长分别为x，y，则x＋y＝l，S＝xy.

对于A，(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，根据基本不等式得xy≤2，符合题意；对于B，(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，根据基本不等式得xy≤2，不符合题意；对于C，(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式得xy≤2，符合题意；对于D，，则x＋y＝，xy＝3，根据基本不等式得xy≤2，不符合题意．故选AC.]

2．为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出建造费用，屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14 400元．设屋子的左右两面墙的长度均为x米(3≤x≤6)．

(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；

(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元(a＞0)，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．

[解]　(1)设甲工程队的总造价为y元，

则y＝3＋14 400＝1 800＋14 400(3≤x≤6)，1 800＋14 400≥1 800×2×＋14 400＝28 800.

当且仅当x＝，即x＝4时等号成立．

即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，最低为28 800元．

(2)由题意可得，1 800＋14 400＞，对任意的x∈[3,6]恒成立．

即＞，从而＞a恒成立，

令x＋1＝t，＝＝t＋＋6，t∈[4,7]，

又因为y＝t＋＋6在t∈[4,7]为单调递增，故ymin＝12.25.

所以0＜a＜12.25.