专题强化训练（六）基本不等式求最值-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册期末复习重点知识点

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常用的基本不等式
最值定理
设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当时，积xy有最大值，且这个值为.
设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.
经典例题
一．选择题（共11小题）
1．已知，，则的最小值为
A．B．6C．D．
2．已知，，且，则的最小值是
A．4B．6C．8D．2
3．已知，，且，则的最小值为
A．9B．12C．16D．20
4．下列不等式一定成立的是
A．B．
C．D．
5．已知，则的最小值为
A．B．C．D．
6．已知，，且，则的最小值为
A．9B．10C．11D．
7．已知正数，满足，则的最小值为
A．36B．42C．49D．60
8．若实数，满足，则的最小值为
A．2B．3C．4D．5
9．设，，且，则
A．有最小值为4B．有最小值为
C．有最小值为D．无最小值
10．已知实数，，，则的最小值为
A．B．C．D．
11．若，，且，则的最小值为
A．2B．C．D．
二．解答题（共3小题）
12．已知，，，求的最小值．
13．设，且的最小值为．
（1）求；
（2）若关于的不等式的解集为，求的取值范围．
14．设，，，其中为参数．
（1）当时，求的最小值；
（2）当时，求的最小值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．【解答】解：，，
，
（当且仅当，时“”成立），
故选：．
2．【解答】解：由题意可得，，当且仅当时取等号，
故选：．
3．【解答】解：，，且，
则，
当且仅当且，即时取等号．
故选：．
4．【解答】解：当时，故不符合题意；
当，中不等式显然不成立，
因为恒成立，所以即一定成立，故正确；
由可知，故不正确，
故选：．
5．【解答】解：根据题意，
，
又，则
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
故
，当且仅当，时等号成立．
故选：．
6．【解答】解：，，
又，且，
，
当且仅当，即，时等号成立，
故的最小值为10．
故选：．
7．【解答】解：因为正数，满足，
所以，
当且仅当，时取等号．
故选：．
8．【解答】解：因为，则，当且仅当时取等号，
，当且仅当且时取等号，即时取等号，
此时取得最小值3．
故选：．
9．【解答】解：，，且，
，解得．
，当且仅当，时取等号．
有最小值．
故选：．
10．【解答】解：令，，则，，且，
，
而，当且仅当，即时，等号成立．
的最小值为，
．
故选：．
11．【解答】解：（法一）可变形为，
所以
，
当且仅当即，时取等号，
（法二）原式可得，则，
当且仅当，即时取“”
故选：．
二．解答题（共3小题）
12．【解答】解：因为，，，
所以，
当且仅当即时取等号．
故的最小值25．
13．【解答】解：（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即，也即时等号成立，
故．
（2）由（1）知，
若不等式 的解集为，则
当 时 恒成立，满足题意；
当时，，
解得，
综上，，
所以的取值范围为．
14．【解答】解：（1）当时，，两边同除以得，
则，
当且仅当，即，时取“”，
即当时，的最小值为9；
（2）当时，，
即有，
所以，即，
当且仅当，即，时取“”，
即当时，的最小值为25．