高中人教B版 (2019)10.2.2 复数的乘法与除法课后练习题

第十章：复数综合习题课

一、选择题

1．若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（  ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【解析】在复平面内所对应的点在虚轴上，

，即．故选D．

2.若（是虚数单位），则的值为（   ）

A．3 B．5 C． D．

【答案】D

【解析】（是虚数单位）,可得,解得,本题正确选项：

3.在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为．那么向量对应的复数是（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】==-=－（）

==，故选D.

4．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意1i是关于x的实系数方程x2+bx+c＝0

∴1+2i﹣2+bbi+c＝0，即

∴，解得b＝﹣2，c＝3故选：D．

5．（多选题）已知复数(a,,i为虚数单位),且,下列命题正确的是(    )

A．z不可能为纯虚数 B．若z的共轭复数为,且,则z是实数

C．若,则z是实数 D．可以等于

【答案】BC

【解析】当时,,此时为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为,且,则,因此,B正确;由是实数,且知,z是实数,C正确;由得,又,因此,,无解,即不可以等于,D错误.故选：BC

6．（多选题）已知虚数z满足，下列结论正确的是（    ）

A．虚数z对应的点在某个圆上

B．虚数z对应的点在某条直线上

C．当实数时，为实数

D．若在复平面内对应的点在直线上，则复数：

【答案】AC

【解析】设（x，且），由，得，

化简得，即，

因此虚数z对应的点在以为圆心，5为半径的圆上，A正确，B错误；

若为实数，则，

又且，，解得，因此C正确；

由及已知得，，

即，代入，解得或，

故或，因此D错误.故选：AC.

二、填空题

7．下列说法中正确的序号是__________．

①若，其中， ，则必有

②

③虚数上的点表示的数都是纯虚数

④若一个数是实数，则其虚部不存在

⑤若，则对应的点在复平面内的第一象限．

【答案】⑤

【解析】①若,其中令，则必有，不是，所以①不正确；②，不正确，复数不能比较大小；③虚数上的点表示的数都是纯虚数，必须除去原点，所以③不正确；④若一个数是实数，则其虚部不存在，不正确，虚部为，不是不存在；⑤若，

则， 对应的点在复平面内的第一象限，⑤正确.故答案为⑤.

8．已知复数和复数，则__________.

【答案】

【解析】.

9．设i为虚数单位，给定复数，则z的虚部为________，________．

【答案】2       

【解析】因为

 所以的虚部为2，

10．已知复数，若（，），则________．

【答案】-1

【解析】因为，所以，，，所以的周期3，所以

，所以..

三、解答题

11． 某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ①    ②  

 ③  （是虚数单位）

（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；

（2）根据三个式子的结构特征及（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论.

【答案】（1）（2）结论为（且不同时为零），证明见解析

【解析】（1）

（2）根据三个式子的结构特征及（I）的计算结果，可以得到：

（且不同时为零）       

下面进行证明：

要证明

只需证       

只需证           

因为上式成立，所以成立.    

12.已知复平面内点对应的复数分别是，，其中，设对应的复数为．

（1）求复数；

（2）若复数对应的点在直线上，求的值；

（3）在（2）的条件下，在极坐标系中，圆以为圆心、1为半径，请写出圆的直角坐标方程

【答案】（1）；

（2）或；

（3）

【解析】（1）设，

则由题意可得，
；
（2）由于复数对应的点在直线上，故有，

，再结合，

可得或，

 或；

（3）当时，，则，

此时圆的直角坐标方程为；

当时，，则，

此时圆的直角坐标方程为；

综合得圆的直角坐标方程为．