高中数学人教B版 (2019)必修 第四册11.1.1 空间几何体与斜二测画法达标测试

11.1空间几何体与斜二测画法

【基础练习】

一、单选题

1．利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（    ）

A．①② B．① C．③④ D．①②③④

【答案】A

【解析】

由斜二测画法的规则可知：

因为平行关系不变，所以①正确；

因为平行关系不变，所以②是正确；

因为直角变为或，所以正方形的直观图是平行四边形，所以③错误；

因为平行于轴的线段长度减半，平行于轴的线段长度不变，所以④是错误，

故选：A.

2．在用斜二测画法画水平放置的的直观图时，若在直角坐标系中的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中等于（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】

因为的两边分别平行于x轴、y轴，所以在直观图中，由斜二测画法知或，即或.

故选:D

3．下列直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由题意知，应看到正方体的上面、前面和右面，

由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知选A.

4．的直观图如图所示，其中，则在原图中边的长为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】

在原图形中，，，

∴．

故选：D.

5．如图，某四边形的斜二测直观图是上底为2，下底为4，高为1的等腰梯形，则原四边形的面积为()

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

原图的面积是斜二测图形面积的倍．该四边形的斜二测图形面积为，故原图面积为．

二、填空题

6．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）

①原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；

②原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；

③画与直角坐标系对应的时，必须是；

④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．

【答案】③

【解析】

原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变；故①正确；

原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的；故②正确；

画与直角坐标系对应的坐标系时，也可以是.故③错误；

在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；故④正确.

故答案为③

7．一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积为___________．

【答案】    .

【解析】

因为一个平面四边形用斜二测画法得到的直观图是一个边长为的正方形，故其直观图的面积为，又直观图与原图面积之比为，所以原平面四边形的面积为．

故答案为： ．

8．如图矩形的长为2cm，宽为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是______.

【答案】10cm

【解析】

解：由斜二测画法的规则知与轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度为原来一半.
则原图形中AB所对应的边长为2cm，由，

可得原图形中BC所对的边长为，
则原图形的周长是：，
故答案为：10cm.

三、解答题

9．如图所示是由正方形ABCD和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图.

【答案】作图见解析

【解析】

（1）以AB所在直线为轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图①所示），再建立坐标系，使两坐标轴的夹角为（如图②所示）.

（2）以为中点，在轴上截取；分别过，作轴的平行线，截取，.在轴上截取.

（3）连接，，，得到平面图形.

（4）去掉辅助线，就得到所求的直观图（如图③所示）

10．用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧楼长为3cm的正三棱柱的直观图.

【答案】见解析.

【解析】

正三棱柱直观图如图：

【提升练习】

1．用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【解析】

∵直观图是等腰直角三角形，，∴，根据直观图中平行于轴的长度变为原来的一半,

∴△的边上的高.故选D.

2．如图是利用斜二测画法画出的的直观图，已知，且的面积为，过作轴，则的长为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

试题分析：因为轴，所以的中，，又三角形的面积为，所以．∴，所以．如图，作于，所以，所以的长为：．

3．等腰三角形中，，其直观图可能是图中的（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

【答案】D

【解析】

由题意及直观图的画法可知当时，等腰三角形的直观图是④；

当时，等腰三角形的直观图是③，

综上，等腰三角形的直观图可能是③④，故选D.

4．如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则下列叙述正确的是(  )

A．原图形是正方形 B．原图形是非正方形的菱形

C．原图形的面积是 D．原图形的面积是

【答案】C

【解析】

过点作的平行线交轴于点如图（1），，，，，由正弦定理可得，可得，，

将直观图还原为平面图形，并过点作的垂线垂足为，如图（2），

则，,，

显然，即原图形既不是正方形又不是菱形,原图形的面积为.

故选C.

5．建立坐标系用斜二测画法画正△ABC的直观图，其中直观图不是全等三角形的一组是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

A．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形；

B．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形；

C．左图中的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，

右图中的底边变为原来的一半，高保持不变，所以直观图不是全等的三角形；

D．的底边没有改变，高平行于轴且测画后长度变为原来的一半，所以直观图是全等的三角形.

故选：C.

6．给出下列说法：

① 正方形的直观图是一个平行四边形，其相邻两边长的比为1∶2，有一内角为45°；

② 水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高为原三角形高的一半的三角形；

③ 不等边三角形水平放置的直观图是不等边三角形；　

④ 水平放置的平面图形的直观图是平面图形．

其中，正确的说法是________．(填序号)

【答案】④

【解析】对于①，若以该正方形的一组邻边所在的直线为x轴、y轴，则结论正确；但若以该正方形的两条对角线所在的直线为x轴、y轴，由于此时该正方形的各边均不在坐标轴上，则其直观图中相邻两边长不一定符合“横不变，纵减半”的规则．对于②，水平放置的正三角形的直观图是一个底边长不变，高比原三角形高的一半还要短的三角形．对于③，只要坐标系选取恰当，不等边三角形水平放置的直观图可以是等边三角形．

即正确的说法是④.

7．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样，已知长方体的长、宽、高分別为20m，5m，10m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______.

【答案】4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.

【解析】

由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高，应分别为4cm，1cm，2cm和1.6cm，再结合直观图，与x,z轴平行的直线长度不变，与y轴平行的直线长度为原图的，则图形的尺寸应为4cm，0.5cm，2cm，1.6cm.

8．如图，是的直观图（斜二测画法），其中与重合，在轴上，且轴，，，则的最长边长为__________.

【答案】5

【解析】

由斜二测试画法可知是直角三角形，且，则最长边（斜边），故答案为.

9．在水平放置的平面内有一个边长为1的正方形，如图所示，其中的对角线在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的平面图形并求出其面积．

【答案】图形见解析，2.

【解析】

【详解】

四边形ABCD的真实图形如图所示，

因为A′C′在水平位置，

A′B′C′D′为正方形，

所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°，

所以在原四边形ABCD中，

DA⊥AC，AC⊥BC，

因为DA=2D′A′=2，

AC=A′C′=，

所以S四边形ABCD=AC·AD=2.

10．已知点O为坐标原点,点A在x轴上,等边三角形的面积为,其斜二测画法的直观图为,求点到的距离.

【答案】

【解析】

解析图①为等边三角形在平面直角坐标系内的图形,且.以点为原点画出的直观图如图②所示,过作轴,垂足为D.因为等边三角形的面积为,所以等边三角形的边长为2,则,,又,所以,则点到的距离为.