人教B版 (2019)必修 第四册11.3.3 平面与平面平行第2课时综合训练题

11.3.3 平面与平面平行(2)

一、选择题

1．已知α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（　　）

A．m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β 

B．m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α 

C．面α内不共线的三点到β的距离相等 

D．面α，β都垂直于平面γ

【答案】B

【解析】对于A，m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，没有m与n交于一点，不能判断α∥β；对于B，m，n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，且m∥β，n∥α，能判断α∥β；因为m∥β，所以在β内存在直线m1∥m，又m⊂α，所以m1∥α；又m，n是两条异面直线，所以直线m1与n是两条相交直线；又n∥α，所以α∥β；对于C，因为α内不共线的三点到β的距离相等，此三点在两平面相交时也可以找出，所以不能判断α∥β；对于D，因为α，β都垂直于平面γ时，两平面α、β的位置关系可能是平行或相交，所以不能判断α∥β．

2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（　　）

A．α内有无数条直线与β平行          

B．α，β平行于同一条直线 

C．α内有两条相交直线与β平行      

D．α，β垂直于同一平面

【答案】C

【解析】对于选项A：当α与β相交时，α内也有无数条直线与β平行，所以选项A不正确；

对于选项B：当α、β平行于同一条直线时，α与β可能相交，所以选项B不正确；

对于选项C：根据面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，

那么这两个平面平行．可知C正确；对于选项D：当α、β垂直于同一平面，则α与β可能垂直，例如墙角的三个面，所以选项D不正确；故选：C．

3．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，

阴影平面与PRQ所在平面平行的是（　　）

A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；

4．在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（　　）

A．平面 B．直线 

C．线段，但只含1个端点 D．圆

【答案】C

【解析】过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连结BN，

∵在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，

AA1∩A1C1＝A1，BD∩DM＝D，

∴平面BDN∥平面A1C，

∵点M是△A1B1C1内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，

∴M的轨迹是线段DM，且M与D不重合，

∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点．故选：C．

5．（多选题）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的有（　　）

A．直线A1B B．直线BB1 C．平面A1DC1 D．平面A1BC1

【答案】AD

【解析】对于A，由于A1B∥D1C，且A1B⊄平面ACD1，可得直线A1B∥平面ACD1；

对于B，由于B1B∥D1D，且D1D∩平面ACD1＝D1，可得直线B1B不平行平面ACD1；

对于C，由于A1D∩AD1，A1D⊂平面A1DC1，可得平面A1DC1不与平面ACD1平行；

对于D，由于A1B∥D1C，C1B∥D1A，A1B，C1B⊂平面A1BC1，可得平面A1BC1∥平面ACD1．

6．（多选题）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：

A. FG∥平面AA1D1D；                           B. EF∥平面BC1D1；

C. FG∥平面BC1D1；                            D. 平面EFG∥平面BC1D1

其中推断正确的序号是（　　）

【答案】AC

【解析】∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，

∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故A正确；

∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故B错误；

∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，

∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，

∴FG∥平面BC1D1，故C正确；

∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．

二、填空题

7．过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面BCC1B1平行的直线有

           条；

【答案】12

【解析】设AB、A1B1、C1D1、CD的中点分别为E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE、EG、FH，

∵平面EFGH∥平面BCC1B1，EF、FG、GH、HE、EG、FH都是平面EFGH内的直线

∴EF、FG、GH、HE、EG、FH都与平面BCC1B1平行，共6条直线，

面ADD1A1上还有6个，四条边中点分别为M，N，O，P，

即还有MN，NO，OP，MP，NP，OM．

因此，满足条件：“与平面BCC1B1平行的直线平行”的直线一共有12条．

8．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，SA＝SB＝SC＝10，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为　　．

【答案】10

【解析】∵D、E、F、H分别是AB、BC、SA、SC的中点，

∴DE∥AC，FH∥AC，DH∥SB．EF∥SB，

则四边形DEFH是平行四边形，且HD＝SB＝＝5，DE＝AC＝＝2，

取AC的中点O，连结OB，

∵SA＝SC＝10，AB＝BC＝4，∴AC⊥SO，AC⊥OB，

∵S0∩OB＝O，∴AO⊥平面SOB，

∴AO⊥SB，则HD⊥DE，

即四边形DEFH是矩形，

∴四边形DEFH的面积S＝＝10．

9．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC的交线为l，则l与直线A1C1的位置关系为　  　．

【答案】平行

【解析】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴A1C1∥平面ABC．

又∵A1C1⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，

∴A1C1∥l．

19．正四面体ABCD的棱长为2，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是　　，最大值是　　．

【答案】，2．

【解析】因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，

当CD∥平面α，这时的投影面是对角线为2的正方形，

此时面积最大，是2×＝2．

当CD⊥平面α时，射影面的面积最小，

此时构成的三角形底边是2，高是直线CD到AB的距离，为，

射影面的面积是＝．

∴正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的最小值是，最大值是2．

三、解答题

11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，

证明：

（Ⅰ）D1Q∥平面C1DB；

（Ⅱ）平面D1PQ∥平面C1DB．

【解析】证明：（Ⅰ）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，可知D1Q∥DB，

∵D1Q⊄平面C1DB，DB⊂平面C1DB，

∴D1Q∥平面C1DB．

（Ⅱ）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，D1P∥C1B，

∵D1P⊄平面C1DB，C1B⊂平面C1DB，

∴D1P∥平面C1DB，

由（Ⅰ）知，D1Q∥平面C1DB，

又D1Q∩D1P＝D1，∴平面D1PQ∥平面C1DB．

12． 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．

（1）求证：EF∥平面BDD1B1；

（2）在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【解析】证明：（1）连结BM，∵BE＝EC，CF＝FM，∴EF∥BM，

又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．

解：（2）棱CD上存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1．

理由如下：

∵平面GEF∩平面ABCD＝EG，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，

∴EG∥BD，

又∵E是BC中点，∴G是DC中点，

∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1，且＝1．