高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.5 旋转体达标测试

               11.1.5　旋转体

一、选择题

1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】B中图形旋转得到两个相同底面的圆锥，不合题意；C中图形旋转得到相同底面的圆柱与圆锥，不合题意；D中图形旋转得到两个圆锥与一个圆柱，不合题意；A中图形旋转得到一个圆台与一个圆锥，合题意，故选A.

2．已知下列命题，其中正确命题的个数是（    ）

①以直角三角形的一边为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

②以直角梯形的一腰为对称轴旋转一周所得的旋转体是圆台

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆

④一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】对于①:以直角三角形的斜边为轴旋转一周得到的旋转体不是圆锥,而是两个同底的圆锥构成的组合体,故①错误；对于②:以直角梯形的一斜腰为轴旋转一周得到的旋转体不是圆台,故②错误;

对于③:圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆,故③正确;对于④:用一个平行于底面的平面截一个圆锥得到的是一个圆锥和一个圆台,故④错误;故选:B

3．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)

A．1倍 B．2倍 C．倍 D．倍

【答案】C

【解析】设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，所以各球的表面积分别为4πr2，16πr2，36πr2，所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比为：=．

故选：C．

4．一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，通过正方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出球的表面积．由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为，所以球的表面积为：，故选A.

5．（多选题）下列关于球体的说法正确的是（    ）（多选）

A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合

B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合

C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体

D．球的对称轴只有1条

【答案】BC

【解析】空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误.故选:BC.

6．（多选题）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面、下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(    )

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】一个圆柱挖去一个圆锥后,剩下的几体被一个竖直的平面所截,圆柱的轮席是矩形除去一条边,圆锥的轮幕是三角形除去条边或抛物线的一部分,故选：AD.

二、填空题

7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高为________.

【答案】

【解析】设圆锥的底面半径为,则圆锥的高,由题意可知,所以,故.故答案为：

8.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为__________．

【答案】2：1

【解析】∵圆柱的轴截面是边长为a的正方形，故圆柱的底面半径r=a，母线长l=a，

故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=，∵圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，

故圆锥的底面半径r=a，母线长l=a，故圆锥的表面积S=πr（r+l）=，

故它们的表面积之比为：2：1，故答案为：2：1．

9．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为，如图所示，则该地球仪的半径是______cm.

【答案】

【解析】如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为，

则该小圆的半径，其中，

所以该地球仪的半径.故答案为：.

10．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则正方体的体对角线长为          ；两球半径之和为________.

【答案】.

【解析】如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在AC上，

过点，分别作AD，BC的垂线，垂足分别为E，F.

设球的半径为r，球的半径为R，

由，体对角线，得，，

∴，∴.

三、解答题

11．直角梯形ABCD如图所示，分别以AB、BC、CD、DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．

【答案】见解析

【解析】以AB所在直线为轴旋转，可得到的几何体如图（1），它是一个圆台；以BC所在直线为轴旋转，可得到一个圆柱和圆锥的组合体，如图（2）；以CD所在直线为轴旋转，可得到一圆台，一底面挖出一个小圆锥，另一底面增加一个较大的圆锥，如图（3）；以AD所在直线为轴旋转，可得一个不完整的圆柱，上面挖去一个圆锥，如图（4）．

12．一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.

（1）求圆锥的侧面积；

（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.

【答案】（1）（2）时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为

【解析】（1）圆锥的母线长为，

∴圆锥的侧面积.

（2）该几何体的轴截面如图所示.

设圆柱的底面半径为r cm，由题意，知，.

∴圆柱的侧面积，

∴当时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为.