高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像学案

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像学案，共6页。学案主要包含了教学过程等内容，欢迎下载使用。

【教学过程】
一、问题导入
以摩天轮转轮中心为原点O，以水平线为横轴，建立平面直角坐标系。设O到地面的高OT为1 m，P点为转轮边缘上任意一点，转轮半径OP为r m。记以OP为终边的角为xrad，点P离地面的高度为y m，那么y是x的函数吗？如果是，这个函数有什么性质？
二、新知探究
1．正弦函数的性质与图像
【例1】用五点法做出函数y＝1－2sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
（1）观察函数图像，写出满足下列条件的x的区间。
①y>1；②y<1．
（2）若直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点，求a的取值范围；
（3）求函数y＝1－2sin x的最大值，最小值及相应的自变量的值。
【解】按五个关键点列表
描点连线得：
（1）由图像可知图像在y＝1上方部分y>1，在y＝1下方部分y<1，∴当x∈（－π，0）时，y>1，当x∈（0，π）时，y<1．
（2）如图，当直线y＝a与y＝1－2sin x有两个交点时，1（3）由图像可知ymax＝3，此时x＝－eq \f(π,2)；ymin＝－1，此时x＝eq \f(π,2)。
[教师小结]
（1）正弦函数图像的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π，然后相应求出y值，做出图像。
（2）五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向。
（3）仔细观察图像，找出函数图像y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题。
2．正弦函数的单调性及应用
【例2】比较下列各组数的大小。
（1）sin194°和cs160°；
（2）sineq \f(7,4)和cseq \f(5,3)；
（3）sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin \f(3π,8)))和sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,8)))。
[思路探究]先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小。
解：（1）sin194°＝sin（180°＋14°）＝－sin14°。
cs160°＝cs（180°－20°）＝－cs 20°＝－sin70°。
∵0°<14°<70°<90°，
∴sin14°从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cs160°。
（2）∵cseq \f(5,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，
又eq \f(π,2)y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3,2)π))上是减函数，
∴sin eq \f(7,4)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))＝cs eq \f(5,3)，
即sin eq \f(7,4)>cs eq \f(5,3)。
（3）∵cs eq \f(3π,8)＝sin eq \f(π,8)，
∴0而y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))内递增，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(3π,8)))[教师小结]
（1）求出正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图像，同时注意三角函数的周期性。
（2）比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较。
3．正弦函数的值域与最值问题
[探究问题]
（1）函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))在x∈[0，π]上最小值能否为－1？
【提示】不能。因为x∈[0，π]，所以x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))，由正弦函数图像可知函数的最小值为－eq \f(\r(2),2)。
（2）函数y＝A·sinx＋b，x ∈ R的最大值一定是A＋b吗？
【提示】不是。因为A>0时最大值为A＋b，若A<0时最大值应为－A＋B．
【例3】求下列函数的值域。
（1）y＝3＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))；
（2）y＝1－2sin2x＋sin x。
[思路探究]（1）用|sin α|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围。
（2）用t代替sin x，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围。
解：（1）∵－1≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤1，
∴－2≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))≤2，
∴1≤2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋3≤5，
∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的值域为[1，5]。
（2）y＝1－2sin2x＋sin x，
令sin x＝t，则－1≤t≤1，
y＝－2t2＋t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,4)))2＋eq \f(9,8)。
由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图像可知－2≤y≤eq \f(9,8)，
即函数y＝1－2sin2x＋sin x的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(9,8)))。
[教师小结]
（1）换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性。
（2）转化成同一函数，要注意不要一见sin x就有－1≤sin x≤1，要根据x的范围确定。
三、课堂总结
1．“几何法”和“五点法”画正弦函数图像的优缺点
（1）“几何法”就是利用单位圆中正弦线做出弦函数图像的方法。该方法作图较精确，但较为繁琐。
（2）“五点法”是画三角函数图像的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法。
2．正弦函数周期性的释疑
由正弦函数的图像和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ（k ∈ Z且k≠0）都是它的周期，最小正周期为2π。
3．正弦函数的奇偶性
（1）正弦函数是奇函数，反映在图像上，正弦曲线关于原点O对称。
（2）正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形。
4．正弦函数单调性的说明
（1）正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间。
（2）求解（或判断）正弦函数的单调区间（或单调性）是求值域（或最值）的关键一步。
（3）确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断。
5．正弦函数最值的释疑
（1）明确正弦函数的有界性，即|sin x|≤1．
（2）对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定。
（3）形如y＝A sin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝A·sin z的形式求最值。
四、课堂检测
1．以下对于正弦函数y＝sin x的图像描述不正确的是（ ）。
A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k ∈ Z上的图像形状相同，只是位置不同
B．关于x轴对称
C．介于直线y＝1和y＝－1之间
D．与y轴仅有一个交点
【答案】B
【解析】观察y＝sin x图像可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B．
2．函数y＝－sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))的简图是（ ）。
【答案】D
【解析】可以用特殊点来验证。当x＝0时，y＝－sin 0＝0，排除A，C；当x＝eq \f(3π,2)时，y＝－sin eq \f(3π,2)＝1，排除B．
3．若sin x＝2m＋1且x ∈ R，则m的取值范围是__________。
【答案】[－1，0]
【解析】因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，
所以－1≤2m＋1≤1，
解得－1≤m≤0.]
4．用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0，2π]上的简图。
解：列表：
描点、连线得y＝－2sin x的图像如图：
教学目标
核心素养
1．能正确使用“五点法”、“几何法”做出正弦函数的图像。（难点）
2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值。（重点）
1．通过正弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养。
2．借助正弦函数图像和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养。
x
－π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
sin x
0
－1
0
1
0
1－2sin x
1
3
1
－1
1
x
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
sin x
0
1
0
-1
0
y＝－2sin x
0
-2
0
2
0