2020-2021学年辽宁省盘锦市高三（上）10月测试数学试卷人教B版

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这是一份2020-2021学年辽宁省盘锦市高三（上）10月测试数学试卷人教B版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 设集合A={x|xA.0,1B.−2,0∪1,3C.−3,1D.−3,0∪1,2

2. 在△ABC中，AB=2,AC=5,BC=11，则csA=( )
A.910B.−45C.710D.−51122

3. 下列四个数中，最大的是( )
B.lg29C.lg312D.lg415

4. 若0b3”是“a>b”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 函数fx=x2sinx−xcsx在−π,π上的图象大致为( )
A.B.
C.D.

6. 某艺术展览馆在开馆时间段9:00−16:00的参观人数（单位：千）随时间t（单位：时）的变化近似满足函数关系ft=Asinπ3t−11π6+5A>0，9≤t≤16，且下午两点整参观人数为7千，则开馆中参观的人数的最大值为( )
A.7千B.8千C.9千D.1万

7. 太阳是位于太阳系中心的恒星，其质量M大约是2×1030千克．地球是太阳系八大行星之一，其质量m大约是6×1024千克．下列各数中与mM最接近的是(参考数据：lg3≈0.4771，lg6≈0.7782)( )
A.10−5.519B.10−5.521C.10−5.523D.10−5.525

8. 已知ln72>87，函数fx=x2−7lnx，设函数y=|fx|−sinπ7的零点个数为α，函数y=f(f(x))的零点个数为β，则α+β=（）
A.5B.6C.7D.8
二、多选题

若复数z=3−5i1−i，则（）
A.|z|=17
B.z的实部与虚部之差为3
C.z¯=4+i
D.z在复平面内对应的点位于第四象限

若tan2x−tanx+π4=5，则tanx的值可能为( )
A.−63B.−62C.63D.62

设命题p：∃a∈0,+∞，fx=x3−ax+1在1,+∞上是增函数，则( )
A.p为真命题
B.¬p为∀a∈0,+∞，fx=x3−ax+1在1,+∞上是减函数
C.p为假命题
D.¬p为∀a∈0,+∞，fx=x3−ax+1在1,+∞上不是增函数

已知函数fx的导函数为f′x．若fxA.f1>f22B.f1三、填空题

已知函数fx=5−3x，x≥0，x4+a，x<0，且f−1=f1，则ff−2的值为________.

已知曲线y=sinωx+π6关于−1,0对称，则|ω|的最小值为________．

不等式3x+1<4x+5的解集为________.

关于函数fx=cs2x−2|csx|有如下四个命题：
①fx的最小值为−32；
②fx在2π3,π上单调递增；
③fx的最小正周期为π；
④方程fx=−2在0,π内的各根之和为2π.
其中所有真命题的序号是________.
四、解答题

在①2sinCcsA=2，②atanA=22，③ccsA=26这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求△ABC的面积．
问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=4，C=π3，________？

已知函数fx的图象关于直线x=1对称，当x≥1时，fx=x2−4x−5.
(1)求fx在(−∞,1]上的解析式；

(2)若m<1，求fx在m,1上的最小值gm.

甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10，9，8环的概率分别为25，25，15，乙一次射击命中10，9环的概率分别为16，56．一轮射击中，甲、乙各射击一次．甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响．
(1)在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；

(2)记一轮射击中，甲、乙命中的环数之和为X，求X的分布列；

(3)进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率．

如图，已知AC⊥BC，DB⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，过点D且垂直于DB的平面α与平面BCD的交线为l，AC=BD=1，BC=3，AE=2.

(1)证明：l⊥平面AEC．

(2)设点P是l上任意一点，求平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值．

已知函数fx=14x3−43x2+32x−a+6lnxx+2.
(1)若a=0，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程;

(2)若fx>0，求a的取值范围.

已知函数fx=x−12ex+ax+122.
(1)讨论fx的单调性；

(2)若fx有两个零点，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年辽宁省盘锦市高三（上）10月测试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
本题考查集合的交集与一元二次不等式的解法，考查运算求解能力．
【解答】
解：因为A=−∞,0∪1,+∞，B=−3,2，
所以A∩B=−3,0∪1,2．
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
解三角形
余弦定理
【解析】
本题考查余弦定理．
【解答】
解：由余弦定理，得cs A=22+52−(11)22×2×5=910．
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
本题考查对数大小的比较，考查逻辑推理的核心素养．
【解答】
解：因为lg0.16<0，lg29>lg28=3，
2=lg391=lg44所以最大的是lg29．
故选B．
4.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
本题考查充分、必要条件的判定，考查推理论证能力．
【解答】
解：因为0b3，
所以a>b可以推出a>b3，必要性成立；
若a>b3，可取a=15，b=12，此时a故a>b3无法推出a>b，充分性不成立.
故"a>b3"是"a>b"的必要不充分条件．
故选B．
5.
【答案】
A
【考点】
函数图象的作法
函数的图象
【解析】
本题考查函数图象的识别，考查逻辑推理的核心素养与数形结合的数学思想．
【解答】
解：因为f−x=−x2sinx+xcsx=−fx，
所以fx为奇函数，其图象关于原点对称，故排除C与D．
因为fπ6=π12π6−3<0，所以排除B．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
诱导公式
三角函数的最值
【解析】
本题考查三角函数模型的应用，考查数学运算与数学建模的核心素养．
【解答】
解：下午两点整即t=14，当t=14时，ft=7，
即Asin17π6+5=Asinπ6+5=7，
∴A=4.
∵当9≤t≤16时，π3t−11π6∈7π6,7π2，
∴当π3t−11π6=5π2时，
ft取得最大值，且最大值为4+5=9．
故选C．
7.
【答案】
C
【考点】
对数的运算性质
【解析】
本题考查对数运算的应用（估算数量级），考查化归与转化的数学思想与数据处理能力．
【解答】
解：因为mM=3×10−6，
所以lgmM=lg3+lg10−6≈0.4771−6=−5.5229≈−5.523，
故mM≈10−5.523.
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
根的存在性及根的个数判断
函数的零点与方程根的关系
函数的零点
【解析】
本题考查函数与导数的综合应用．
【解答】
解：f′x=2x−7x=2x2−7xx>0，
当0当x>142时，f′x>0．
从而f(x)min=f142=721−ln72<0．
因为f1=1>0，f4=16−14ln 2>0，
所以fx有两个零点，
设它们为x1，x2(x1则1由ffx=0，得fx=x1或fx=x2，
可知，这两个方程都有2个实根，
所以β=2+2=4．
由|fx|−sin π7=0，得|fx|=sin π7，
因为ln 72>87，
所以|f142|=72ln72−1>7287−1=12，
如下图所示：
又0所以方程|fx|=sin π7有4个实根，
所以α=4，故α+β=4+4=8．
故选D．
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
共轭复数
复数的模
复数代数形式的混合运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
本题考查复数的四则运算与复数的概念．
【解答】
解：因为z=3−5i1+i2=4−i，
所以|z|=17，z¯=4+i，
z的实部与虚部之差为5，z在复平面内对应的点位于第四象限．
故选ACD．
【答案】
B,D
【考点】
二倍角的正切公式
两角和与差的正切公式
【解析】
本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．
【解答】
解：设tanx=t，则tan2x−tan(x+π4)
=2t1−t2−t+11−t=2t−(t+1)21−t2=t2+1t2−1=5，
所以t2=32，故tanx=t=±62．
故选BD．
【答案】
A,D
【考点】
全称命题与特称命题
利用导数研究函数的单调性
命题的否定
【解析】
本题考查特称命题的否定与导数的应用，考查推理论证能力．
【解答】
解：当a=1时，f′x=3x2−1>0对x∈1,+∞恒成立，所以p为真命题，故A正确；
因为特称命题的否定是全称命题，“是增函数”的否定为“不是增函数”，
所以¬p为∀a∈0,+∞，fx=x3−ax+1在1,+∞上不是增函数，故D正确.
故选AD.
【答案】
B,D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
本题考查导数与不等式的综合应用，考查构造函数的方法的灵活应用与推理论证能力．
【解答】
解：设g(x)=f(x)−xx2，ℎ(x)=f(x)x，x∈(0,+∞)，
则g′(x)=[f′(x)−1]x2−2x[f(x)−x]x4=xf′(x)−2f(x)+xx3，
ℎ′(x)=xf′(x)−f(x)x2，
因为f(x)所以g′(x)<0, ℎ′(x)>0，
所以gx在0,+∞上单调递减，ℎx在0,+∞上单调递增，
则g(1)>g(2)，ℎ(1)<ℎ(2)，
即f1−112>f2−222，f(1)1即f24+12故选BD．
三、填空题
【答案】
−46
【考点】
函数的求值
【解析】
本题考查分段函数求值．
【解答】
解：因为 f−1=a+1=f1=2，
所以a=1，
故ff−2=f17=5−51=−46．
故答案为：−46．
【答案】
π6
【考点】
正弦函数的对称性
正弦函数的图象
【解析】
本题考查三角函数图象的对称性．
【解答】
解：因为曲线y=sinωx+π6关于−1,0对称，
所以−ω+π6=kπk∈Z，
所以ω=π6−kπk∈Z，
故|ω|的最小值为π6．
故答案为：π6．
【答案】
−1,1
【考点】
指、对数不等式的解法
【解析】

【解答】
解：如图，在同一直角坐标系中，作出函数y=3x+1,y=4x+5的图象，
这两个图象的交点为(−1,1)，1,9．
故由图可知不等式3x+1<4x+5的解集为−1,1 .
故答案为：−1,1.
【答案】
①②③④
【考点】
余弦函数的周期性
三角函数的最值
命题的真假判断与应用
余弦函数的对称性
余弦函数的单调性
【解析】

【解答】
解：fx=2cs2x−1−2|csx|=2(|csx|−12)2−32 ，
当|csx|=12时，fx取得最小值，且最小值为−32；
当x∈(2π3,π)时，y=|csx|单调递增，且|csx|∈(12,1)，
则fx在(2π3,π)上单调递增；
因为函数y=cs2x与y=2|csx|的最小正周期均为π，
所以fx的最小正周期为π；
因为fπ−x=2(|cs(π−x)|−12)2−32
=2(|csx|−12)2−32=f(x)，
所以fx的图象关于直线x=π2对称，由fx=−2，
得|csx|=1±3−222=1±2−12，
则方程fx=−2在0,π内有四个根，且各根之和为π2×4=2π.
故所有真命题的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．
四、解答题
【答案】
解：若选①，
因为2sinCcsA=2，
所以2×32csA=2，
所以csA=63，则sinA=33．
因为asinA=csinC，所以c=asinCsinA=4×3233=6．
因为A+B+C=π，
所以sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC
=33×12+63×32=3+326，
故△ABC的面积为12acsinB=12×4×6×3+326=23+62．
若选②，
因为atanA=22，a=4，
所以tanA=22，
则sinA=33，csA=63．
因为asinA=csinC，
所以 c=asinCsinA=4×3233=6 ．
因为A+B+C=π，
所以sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC
=33×12+63×32=3+326，
故△ABC的面积为12acsinB=12×4×6×3+326=23+62．
若选③，
因为asinA=csinC，
所以csinA=asinC=23，
所以c2sin2A=12．
因为ccsA=26，
所以c2cs2A=24，
所以c2=36，即c=6．
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC，即36=16+b2−4b，
即b2−4b−20=0，解得b=2+26，
故△ABC的面积为12absinC=12×4×(2+26)×32=23+62．
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
【解答】
解：若选①，
因为2sinCcsA=2，
所以2×32csA=2，
所以csA=63，则sinA=33．
因为asinA=csinC，所以c=asinCsinA=4×3233=6．
因为A+B+C=π，
所以sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC
=33×12+63×32=3+326，
故△ABC的面积为12acsinB=12×4×6×3+326=23+62．
若选②，
因为atanA=22，a=4，
所以tanA=22，
则sinA=33，csA=63．
因为asinA=csinC，
所以 c=asinCsinA=4×3233=6 ．
因为A+B+C=π，
所以sinB=sinA+C=sinAcsC+csAsinC
=33×12+63×32=3+326，
故△ABC的面积为12acsinB=12×4×6×3+326=23+62．
若选③，
因为asinA=csinC，
所以csinA=asinC=23，
所以c2sin2A=12．
因为ccsA=26，
所以c2cs2A=24，
所以c2=36，即c=6．
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC，即36=16+b2−4b，
即b2−4b−20=0，解得b=2+26，
故△ABC的面积为12absinC=12×4×(2+26)×32=23+62．
【答案】
解：(1)因为函数fx的图象关于直线x=1对称，
所以fx=f2−x，
当x∈(−∞,1]时，2−x∈[1,+∞)，
所以fx=f2−x=2−x2−42−x−5=x2−9，
故fx在(−∞,1]上的解析式为fx=x2−9．
(2)由(1)得，当0则fxmin=fm=m2−9．
当m≤0时，fxmin=f0=−9．
综上，gm=m2−9，0【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为函数fx的图象关于直线x=1对称，
所以fx=f2−x，
当x∈(−∞,1]时，2−x∈[1,+∞)，
所以fx=f2−x=2−x2−42−x−5=x2−9，
故fx在(−∞,1]上的解析式为fx=x2−9
(2)由(1)得，当0则fxmin=fm=m2−9．
当m≤0时，fxmin=f0=−9．
综上，gm=m2−9，0【答案】
解：(1)记“在一轮射击中，甲命中的环数不高于乙命中的环数”为事件A，
则事件A¯表示“甲一次射击命中10环，且乙一次射击命中9环”，
从而P(A¯)=25×56=13，
故P(A)=1−P(A¯)=1−13=23．
(2)X的所有可能取值为17，18，19，20．
P(X=17)=15×56=16，
P(X=18)=25×56+15×16=1130，
P(X=19)=25×16+25×56=25，
P(X=20)=25×16=115．
X的分布列为：
(3)记“进行三轮射击，甲、乙命中的环数之和不低于52环”为事件B，
由(2)可知每轮射击甲、乙命中的环数之和最小为17，
故P(B)=1−C33[P(X=17)]3=1−163=215216．
【考点】
对立事件的概率公式及运用
离散型随机变量及其分布列
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)记“在一轮射击中，甲命中的环数不高于乙命中的环数”为事件A，
则事件A¯表示“甲一次射击命中10环，且乙一次射击命中9环”，
从而P(A¯)=25×56=13，
故P(A)=1−P(A¯)=1−13=23．
(2)X的所有可能取值为17，18，19，20．
P(X=17)=15×56=16，
P(X=18)=25×56+15×16=1130，
P(X=19)=25×16+25×56=25，
P(X=20)=25×16=115．
X的分布列为：
(3)记“进行三轮射击，甲、乙命中的环数之和不低于52环”为事件B，
由(2)可知每轮射击甲、乙命中的环数之和最小为17，
故P(B)=1−C33[P(X=17)]3=1−163=215216．
【答案】
(1)证明：因为BD⊥α，BD⊥平面ABC，
所以α//平面ABC.
又α∩平面BCD=l，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以BC//l.
因为EA⊥平面ABC，
所以BC⊥AE.
又BC⊥AC，AE∩EA=A，
所以BC⊥平面AEC，
从而l⊥平面AEC．
(2)解：作CF//AE，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，
则A0,1,0，C0,0,0，D3,0,1，E0,1,2，
设Pa,0,1，平面PAE，平面ACD的法向量分别为m→=x1,y1,z1，n→=x2,y2,z2，
则AP→=a,−1,1，AE→=0,0,2，AC→=0,−1,0，CD→=3,0,1，
因为m→⊥平面PAE，
所以ax1−y1+z1=0，2z1=0，
令x1=1，得y1=a，z1=0，即m→=1,a,0，
同理−y2=0，3x2+z2=0，
令x2=1，得y2=0，z2=−3，即n→=1,0,−3．
因为cs=12a2+1≤12，当且仅当a=0时取等号，
所以平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值为60∘．
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
直线与平面垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：因为BD⊥α，BD⊥平面ABC，
所以α//平面ABC.
又α∩平面BCD=l，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以BC//l.
因为EA⊥平面ABC，
所以BC⊥AE.
又BC⊥AC，AE∩EA=A，
所以BC⊥平面AEC，
从而l⊥平面AEC．
(2)解：作CF//AE，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C−xyz，
则A0,1,0，C0,0,0，D3,0,1，E0,1,2，
设Pa,0,1，平面PAE，平面ACD的法向量分别为m→=x1,y1,z1，n→=x2,y2,z2，
则AP→=a,−1,1，AE→=0,0,2，AC→=0,−1,0，CD→=3,0,1，
因为m→⊥平面PAE，
所以ax1−y1+z1=0，2z1=0，
令x1=1，得y1=a，z1=0，即m→=1,a,0，
同理−y2=0，3x2+z2=0，
令x2=1，得y2=0，z2=−3，即n→=1,0,−3．
因为cs=12a2+1≤12，当且仅当a=0时取等号，
所以平面PAE与平面ACD所成锐二面角的最小值为60∘．
【答案】
解：(1)因为a=0，所以f′x=34x2−83x+32−6−6lnxx2，
所以f′1=34−83+32−6=−7712，
又f1=14−43+32+2=2912，
故曲线y=f(x)在点1,f1处的切线方程为y−2912=−7712x−1，
即y=−7712x+536（或77x+12y−106=0）.
(2)依题意得x>0，由fx>0，得14x4−43x3+32x2−6ln x+2x>a.
设函数g(x)=14x4−43x3+32x2−6lnx+2x(x>0)，
g′x=x−3x3−x2+2x，
因为x3−x2+2=x+1x2−2x+2=x+1x−12+1，
所以当x>0时，x3−x2+2>0.
所以，当0当x>3时，g′x>0.
从而gxmin=g3=154−6ln3，
故a<154−6ln3，
即a的取值范围为−∞,154−6ln3.
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
无
【解答】
解：(1)因为a=0，所以f′x=34x2−83x+32−6−6lnxx2，
所以f′1=34−83+32−6=−7712，
又f1=14−43+32+2=2912，
故曲线y=f(x)在点1,f1处的切线方程为y−2912=−7712x−1，
即y=−7712x+536（或77x+12y−106=0）.
(2)依题意得x>0，由fx>0，得14x4−43x3+32x2−6ln x+2x>a.
设函数g(x)=14x4−43x3+32x2−6lnx+2x(x>0)，
g′x=x−3x3−x2+2x，
因为x3−x2+2=x+1x2−2x+2=x+1x−12+1，
所以当x>0时，x3−x2+2>0.
所以，当0当x>3时，g′x>0.
从而gxmin=g3=154−6ln3，
故a<154−6ln3，
即a的取值范围为−∞,154−6ln3.
【答案】
解：(1)f′x=x+12ex+2a．
当a≥0时，令f′x<0，得x∈−∞,−12；
令f′x>0，得x∈−12,+∞．
故fx在−∞,−12上单调递减，
在−12,+∞上单调递增．
当a<0时，令f′x=0，得x1=−12，x2=ln−2a，
①当ln−2a=−12，即a=−e2e时，f′x≥0，
fx在R上单调递增；
②当ln−2a<−12，即−e2efx在ln−2a,−12上单调递减，在(−∞,ln(−2a))，−12,+∞上单调递增；
③当ln−2a>−12，即a<−e2e时，
fx在−12,ln(−2a)上单调递减，在−∞,−12，(ln(−2a),+∞)上单调递增．
(2)当a>0时，由(1)可知fx只有一个极小值点x=−12，
且f−12=−ee<0，f12=a>0．
当x→−∞时，x−12ex→0，ax+122→+∞，
从而fx→+∞，因此fx有两个零点；
当a=0时，fx=x−12ex，
此时fx只有一个零点，不符合题意；
当a<0时，若x<12，则恒有fx<0．
当−e2e≤a<0时，fx在12,+∞上单调递增，
此时fx在R上不可能有两个零点．
当a<−e2e时，若ln−2a≤12,
同理可知fx在R上不可能有两个零点；
若ln−2a>12，fx在12，+∞上先减后增，
此时fx在R上也不可能有两个零点．
综上，a的取值范围是0,+∞．
【考点】
利用导数研究与函数零点有关的问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】

【解答】
解：(1)f′x=x+12ex+2a．
当a≥0时，令f′x<0，得x∈−∞,−12；
令f′x>0，得x∈−12,+∞．
故fx在−∞,−12上单调递减，
在−12,+∞上单调递增．
当a<0时，令f′x=0，得x1=−12，x2=ln−2a，
①当ln−2a=−12，即a=−e2e时，f′x≥0，
fx在R上单调递增；
②当ln−2a<−12，即−e2efx在ln−2a,−12上单调递减，在(−∞,ln(−2a))，−12,+∞上单调递增；
③当ln−2a>−12，即a<−e2e时，
fx在−12,ln(−2a)上单调递减，在−∞,−12，(ln(−2a),+∞)上单调递增．
(2)当a>0时，由(1)可知fx只有一个极小值点x=−12，
且f−12=−ee<0，f12=a>0．
当x→−∞时，x−12ex→0，ax+122→+∞，
从而fx→+∞，因此fx有两个零点；
当a=0时，fx=x−12ex，
此时fx只有一个零点，不符合题意；
当a<0时，若x<12，则恒有fx<0．
当−e2e≤a<0时，fx在12,+∞上单调递增，
此时fx在R上不可能有两个零点．
当a<−e2e时，若ln−2a≤12,
同理可知fx在R上不可能有两个零点；
若ln−2a>12，fx在12，+∞上先减后增，
此时fx在R上也不可能有两个零点．
综上，a的取值范围是0,+∞．X
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18
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20
P
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1130
25
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X
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P
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2020-2021学年辽宁省盘锦市高三（上）10月测试数学试卷人教B版

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