2020-2021学年山东省青岛市高二（上）10月月考数学试卷人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年山东省青岛市高二（上）10月月考数学试卷人教A版（2019），共14页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 为调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了100名运动员的年龄，就这个问题来说，下列说法正确的是( )
A.1000名运动员是总体B.每个运动员是个体
C.抽取的100名运动员是样本D.样本容量是100

2. 某工厂生产的30个零件编号为01，02，⋯，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为 ( )

A.25B.23C.12 D.07

3. 若{a→,b→,c→}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A.a→，2b→，3c→
B.a→+b→，b→+c→，c→+a→
C.a→+b→+c→，b→+c→，c→
D.a→+2b→，2b→+3c→，3a→−9c→

4. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：（单位：分）78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是( )
A.90B.91.5C.91D.90.5

5. 已知数据x1，x2，⋯，xn的平均数x¯=5，方差s2=4，则数据3x1+7，3x2+7，⋯，3xn+7的平均数和标准差分别为( )
A.15，36B.22，6C.15，6D.22，36

6. 如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC与BD交于点M，设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则B1M→=( )

A.−12a→−12b→−c→B.12a→+12b→−c→
C.12a→−12b→−c→D.−12a→+12b→−c→

7. 若向量a→=(1,λ,1)，b→=(2,−1,−2)，且a→与b→的夹角余弦为26，则λ等于( )
A.−2B.2C.−2或2D.2

8. 棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足BE→=13BC→，AF→=14AD→，则AE→⋅CF→=( )
A.−1324B.−12C.12D.1324
二、多选题

已知向量a→=(1, 2, 3)，b→=(3, 0, −1)，c→=(−1, 5, −3)，下列等式中正确的是( )
A.(a→⋅b→)⋅c→=b→⋅c→
B.(a→+b→)⋅c→=a→⋅(b→+c→)
C.(a→+b→+c→)2=a→2+b→2+c→2
D.|a→+b→+c→|=|a→−b→−c→|

有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥的两个事件是( )
A.至少有1件次品与至多有1件正品
B.至少有1件次品与都是正品
C.至少有1件次品与至少有1件正品
D.恰有1件次品与恰有2件正品

根据给出所示的三幅统计图，判断正确的选项是( )

A.从折线统计图能看出世界人口的变化情况
B.2050年非洲人口将达到大约15亿
C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢

利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A为“是一等品”，B为“是合格品”，C为“是不合格品”，则下列结果正确的是( )
A.PB=710B.PA∪B=910C.PA∩B=0D.PA∪B=PC
三、填空题

已知A，B，C，D为空间中任意四点，化简(AB→−CD→)−(AC→−BD→)=_________.

若直线l的方向向量为a→=(12,0,1)，平面β的法向量为b→=−1,0,−2，则l与β的关系是________.

设两非零向量e1→，e2→不共线，且ke1→+e2→与e1→+ke2→共线的k的值是________．

已知空间向量PA→，PB→，PC→的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60∘.点G为△ABC的重心，若PG→=xPA→+yPB→+zPC→，x，y，z∈R，则x+y+z=_________；|PG→|=__________.
四、解答题

国家射击队的某队员射击一次，命中7−10环的概率如表所示：
该射击队员射击一次，求：
(1)射中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

3命中不足8环的概率．

已知向量a→=(−2, −1, 2)，b→=(−1, 1, 2)，c→=(x, 2, 2).
(1)当|c→|=22时，若向量ka→+b→与c→垂直，求实数x和k的值；

(2)若向量c→与向量a→，b→共面，求实数x的值.

某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），以[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)分组的频率分布直方图如图.

(1)求直方图中x的值；并估计出月平均用水量的众数．

(2)求月平均用水量的中位数及平均数；

(3)在月平均用水量为[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在[10,12)这一组的用户中抽取多少户？

(4)在第3问抽取的样本中，从[10,12)，[12,14)这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？

在边长是2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点．应用空间向量方法求解下列问题.

(1)求EF的长；

(2)证明：EF // 平面AA1D1D；

(3)证明：EF⊥平面A1CD.

溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为23，乙队每人回答问题正确的概率分别为12，23，34，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BB1=2，P为B1C1的中点.

(1)求直线AC与平面ABP所成的角；

(2)求异面直线AC与BP所成的角；

(3)求点B到平面APC的距离.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省青岛市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
简单随机抽样
【解析】
根据统计中的总体、个体、样本和样本容量的定义判断．
【解答】
解：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况.
A，总体是1000名运动员的年龄，故错误；
B，个体是每个运动员的年龄，故错误；
C，样本是100名运动员的年龄，故错误；
D，样本容量是100，故正确.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
简单随机抽样
【解析】
本题考查随机数法.
【解答】
解：从随机数表第1行的第5列数字开始，由左到右依次选取两个数字，
选出的编号依次为07，04，08，23，12，因此选出的第5个个体的编号为12.
故选C.
3.
【答案】
D
【考点】
共线向量与共面向量
空间向量的基本定理及其意义
【解析】
只要所给三个向量不共面即可作为空间向量的基底．
【解答】
解：对于A中a→，2b→，3c→，
B中a→+b→，b→+c→，c→+a→，
C中a→+b→+c→，b→+c→，c→，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于D，a→+2b→，2b→+3c→，3a→−9c→，
满足3a→−9c→=3[(a→+2b→)−(2b→+3c→)]，是共面向量，不能构成空间的一个基底．
故选D.
4.
【答案】
D
【考点】
众数、中位数、平均数
【解析】
由样本数据第80百分位的定义以及求解步骤直接求解即可得出答案．
【解答】
解：∵ 15×0.8=12，
将这15个数按照从小到大排为：
56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98．
∴ 第12个数为90，第13个数为91.
∵ 90+912=90.5，
∴ 第80百分位数是90.5.
故选D.
5.
【答案】
B
【考点】
极差、方差与标准差
众数、中位数、平均数
【解析】
根据x1，x2，x3，…，xn的平均数为5得到n个数据的关系，把这组数据做相同的变化，数据的倍数影响平均数和方差，后面的加数影响平均数，不影响方差．
【解答】
解：∵ x1，x2，⋯，xn的平均数为5，
∴ x1+x2+⋯+xnn=5，
∴ 3x1+3x2+⋯+3xnn+7=3(x1+x2+⋯+xn)n+7
=3×5+7=22.
∵ x1，x2，⋯，xn的方差为4，
∴ 3x1+7，3x2+7，⋯，3xn+7的方差是32×4=36，
∴ 3x1+7，3x2+7，⋯，3xn+7的标准差为36=6．
故选B.
6.
【答案】
D
【考点】
空间向量的加减法
【解析】
由于B1M→=B1B→+BM→，BM→=12BD→，BD→=BA→+BC→，代入化简即可得出．
【解答】
解：B1M→=B1B→+BM→，BM→=12BD→，BD→=BA→+BC→，
∴ B1M→=−AA1→+12(−AB→+AD→)
=−c→−12a→+12b→.
故选D.
7.
【答案】
A
【考点】
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
利用向量夹角余弦公式直接求解．
【解答】
解：∵ 向量a→=(1,λ,1)，b→=(2,−1,−2)，
a→与b→的夹角余弦为26，
∴ cs=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−λ2+λ2⋅9=26，
解得λ=−2.
故选A.
8.
【答案】
A
【考点】
空间向量的数量积运算
【解析】
直接根据AE→=AB→+BE→=AB→+13(AC→−AB→)=23AB→+13AC→=23a→+13b→； CF→=14c→−b→，代入数量积即可求解
【解答】
解：令AB→=a→，AC→=b→，AD→=c→，
由题意可得AE→=AB→+BE→=AB→+13BC→
=AB→+13(AC→−AB→)
=23AB→+13AC→=23a→+13b→，
CF→=CA→+AF→=14c→−b→，
则AE→⋅CF→=(23a→+13b→)⋅(14c→−b→)
=16a→⋅c→−23a→⋅b→+112b→⋅c→−13b→2
=16×12−23×12+112×12−13×1=−1324.
故选A.
二、多选题
【答案】
B,C,D
【考点】
空间向量运算的坐标表示
空间向量的数量积运算
【解析】
A．左边为向量，右边为实数，显然不相等．
B．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．
C．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．
D．利用向量运算性质、数量积运算性质即可得出．
【解答】
解：A，左边为向量，右边为实数，显然不相等，故不正确；
B，左边=(4, 2, 2)⋅(−1, 5, −3)=−4+10−6=0，
右边=(1, 2, 3)⋅(2, 5, −4)=2+10−12=0，
左边=右边，故正确；
C，a→+b→+c→=(3, 7, −1)，左边=32+72+(−1)2=59，
右边=12+22+32+32+0+(−1)2+(−1)2+52+(−3)2=59，
左边=右边，故正确；
D，由C可得，左边=59，
∵ a→−b→−c→=(−1, −3, 7)，
∴ |a→−b→−c→|=59，
左边=右边，故正确.
故选BCD.
【答案】
B,D
【考点】
互斥事件与对立事件
【解析】
根据互斥事件和对立事件的定义，对每个选项做出判断，从而得到结论．
【解答】
解：A，至少有1件次品与至多有1件正品不互斥，
它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；
B，至少有1件次品与都是正品是互斥事件，故满足条件；
C，至少有1件次品与至少有1件正品不互斥，
它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件．
D，恰有1件次品与恰有2件正品是互斥事件，故满足条件．
故选BD.
【答案】
A,C
【考点】
扇形统计图
分布的意义和作用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A、从折线统计图能看出世界人口的变化情况，故A选项正确；
B、从条形统计图中可得到：2050年非洲人口将达到大约18亿，故B选项错误；
C、从扇形统计图中能够明显的得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C选项正确；
D、由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D选项错误．
故选AC.
【答案】
A,B,C
【考点】
互斥事件的概率加法公式
互斥事件与对立事件
【解析】
根据事件的关系及运算求解．
【解答】
解：由题意可知，A，B，C为互斥事件，则PA∩B=0，故C正确；
又因为100件中一等品有20件，合格品有70件，不合格品有10件，
所以PB=710 ，PA=210，PC=110，
则PA∪B=910 ，故AB正确，D错误.
故选ABC.
三、填空题
【答案】
0→
【考点】
空间向量的加减法
【解析】
本题主要通过向量加减运算，算出最后的结果即可
【解答】
解：(AB→−CD→)−(AC→−BD→)
=AB→+DC→−AC→+BD→
=AB→+BD→+DC→+CA→
=AC→+CA→=0→.
故答案为：0→.
【答案】
l⊥β
【考点】
空间向量运算的坐标表示
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
首先判断两个向量的关系，即可判断线面关系.
【解答】
解：∵ a→=(12,0,1)，b→=(−1,0,−2)，
∴ a→=−12b→，即a→//b→，
∴ l⊥β.
故答案为：l⊥β.
【答案】
±1
【考点】
平行向量的性质
【解析】
利用平行向量的性质求解．
【解答】
解：∵ 两非零向量e1→，e2→不共线，且ke1→+e2→与e1→+ke2→共线，
∴ ke1→+e2→=t(e1→+ke2→)，
则(k−t)e1→+(1−tk)e2→=0.
∵ 非零向量e1→，e2→不共线，
∴ k−t=0，1−kt=0，
解得k=±1.
故答案为：±1.
【答案】
1,53
【考点】
空间向量的数量积运算
空间向量的加减法
向量的模
【解析】
把BG→=23BD→，BD→=PD→−PB→，PD→=12PA→+PC→代入PG→=PB→+BG→化简整理即可；|PG→|=13PA→+13PB→+13PC→2代入计算.
【解答】
解：如图所示，
取AC的中点D，
PG→=PB→+BG→=PB→+23BD→
=PB→+23×PD→−PB→
=PB→+23×12×PA→+PC→−PB→
=13PA→+13PB→+13PC→.
又PG→=xPA→+yPB→+zPC→，
所以x=13，y=13，z=13，
所以x+y+z=1.
空间向量PA→，PB→，PC→的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60∘，
|PG→|=|13PA→+13PB→+13PC→|
=13(PA→+PB→+PC→)2
=13PA→2+PB→2+PC→2+2PA→⋅PB→+2PC→⋅PB→+2PA→⋅PC→
=1312+22+32+2×1×2×12+2×3×2×12+2×1×3×12
=53.
故答案为：1；53.
四、解答题
【答案】
解：1设“射中10环”，”射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A，B，C，D，
所以PA+B=PA+PB=0.32+0.28=0.60，
即射中10环或9环的概率为0.60.
2由题意得，
PA+B+C=PA+PB+PC
=0.32+0.28+0.18=0.78，
即至少命中8环的概率为0.78.
3由题意得，
射中环数不足8环的概率为1−PA−PB−PC=1−0.78=0.22，
即命中不足8环的概率为0.22.
【考点】
对立事件的概率公式及运用
互斥事件的概率加法公式
【解析】
1直接利用互斥事件的加法运算，通过基本概念即可进行求解；
2利用互斥事件的加法运算，运用基本概念即可求解；
3利用对立事件求出概率即可.
【解答】
解：1设“射中10环”，”射中9环”，“射中8环”，“射中7环”的事件分别为A，B，C，D，
所以PA+B=PA+PB=0.32+0.28=0.60，
即射中10环或9环的概率为0.60.
2由题意得，
PA+B+C=PA+PB+PC
=0.32+0.28+0.18=0.78，
即至少命中8环的概率为0.78.
3由题意得，
射中环数不足8环的概率为1−PA−PB−PC=1−0.78=0.22，
即命中不足8环的概率为0.22.
【答案】
解：(1)当|c→|=22时，x2+4+4=22，
解得x=0，
且向量ka→+b→=(−2k−1, 1−k, 2k+2).
因为向量ka→+b→与c→垂直，
所以(ka→+b→)⋅c→=0，
即2(1−k)+2(2k+2)=0，
解得k=−3，
所以实数x和k的值分别为0和−3.
(2)因为向量c→与向量a→，b→共面，
所以设c→=λa→+μb→(λ，μ∈R)，
所以(x, 2, 2)=λ(−2, −1, 2)+μ(−1, 1, 2)，
所以x=−2λ−μ，2=μ−λ，2=2λ+2μ，
解得x=−12，λ=−12，μ=32，
所以实数x的值为−12.
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量的数量积判断向量的共线与垂直
空间向量的数量积运算
共线向量与共面向量
【解析】
(Ⅰ)直接利用向量的垂直的充要条件的应用求出结果．
(Ⅱ)直接利用共面向量基本定理的应用求出结果．
【解答】
解：(1)当|c→|=22时，x2+4+4=22，
解得x=0，
且向量ka→+b→=(−2k−1, 1−k, 2k+2).
因为向量ka→+b→与c→垂直，
所以(ka→+b→)⋅c→=0，
即2(1−k)+2(2k+2)=0，
解得k=−3，
所以实数x和k的值分别为0和−3.
(2)因为向量c→与向量a→，b→共面，
所以设c→=λa→+μb→(λ，μ∈R)，
所以(x, 2, 2)=λ(−2, −1, 2)+μ(−1, 1, 2)，
所以x=−2λ−μ，2=μ−λ，2=2λ+2μ，
解得x=−12，λ=−12，μ=32，
所以实数x的值为−12.
【答案】
解：1根据频率和为1，得2×0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025=1，
解得x=0.075.
由图可知，最高矩形的数据组为[6,8)，
∴ 众数为126+8=7.
2[0,6)内的频率之和为：0.02+0.095+0.11×2=0.45，
设中位数为y，则0.45+y−6×0.125=0.5，
解得y=6.4，
∴ 中位数为6.4；
平均数为2(1×0.02+3×0.095+5×0.11+7×0.125
+9×0.075+11×0.05+13×0.025)=6.56.
3月平均用水量为[10,12)的用户在四组用户中所占的比例为：+0.075+0.05+0.025=211，
∴ 月平均用水量在[10,12)的用户中应抽取22×211=4(户).
4月平均用水量在[12,14)的用户中应抽取22×111=2（户），
月平均用水量在[10,12)的用户设为A1，A2，A3，A4，
月平均用水量在[12,14)的用户设为B1，B2，
从[10,12)，[12,14)这两组中随机抽取2户有
A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，
A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，
A3A4，A3B1，A3B2，
A4B1，A4B2，B1B2，共15种情况，
其中，抽取的两户不是来自同一个组的有
A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，
A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共8种情况，
则抽取的两户不是来自同一个组的概率为815.
【考点】
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
众数、中位数、平均数
频率分布直方图
分层抽样方法
【解析】
1根据频率和为1，列方程求出x的值；
2根据频率分布直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值，由最高矩形的数据组中点为众数；中位数两边的频率相等，由此求出中位数；
3求出抽取比例数，计算应抽取的户数；
4利用列举法，由古典概型概率公式可得结果．
【解答】
解：1根据频率和为1，得2×0.02+0.095+0.11+0.125+x+0.05+0.025=1，
解得x=0.075.
由图可知，最高矩形的数据组为[6,8)，
∴ 众数为126+8=7.
2[0,6)内的频率之和为：0.02+0.095+0.11×2=0.45，
设中位数为y，则0.45+y−6×0.125=0.5，
解得y=6.4，
∴ 中位数为6.4；
平均数为2(1×0.02+3×0.095+5×0.11+7×0.125
+9×0.075+11×0.05+13×0.025)=6.56.
3月平均用水量为[10,12)的用户在四组用户中所占的比例为：+0.075+0.05+0.025=211，
∴ 月平均用水量在[10,12)的用户中应抽取22×211=4(户).
4月平均用水量在[12,14)的用户中应抽取22×111=2（户），
月平均用水量在[10,12)的用户设为A1，A2，A3，A4，
月平均用水量在[12,14)的用户设为B1，B2，
从[10,12)，[12,14)这两组中随机抽取2户有
A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，
A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，
A3A4，A3B1，A3B2，
A4B1，A4B2，B1B2，共15种情况，
其中，抽取的两户不是来自同一个组的有
A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，
A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，共8种情况，
则抽取的两户不是来自同一个组的概率为815.
【答案】
(1)解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A1(2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D1(0, 0, 2)，D(0, 0, 0).
∵ E，F分别为AB，A1C的中点，
∴ E(2, 1, 0)，F(1, 1, 1)，
∴ EF→=(−1, 0, 1)，
∴ |EF→|=1+0+1=2.
(2)证明：∵ AD1→=(−2, 0, 2)=2EF→，
∴ EF // AD1.
又AD1⊂平面AA1D1D，EF⊄平面AA1D1D，
∴ EF // 平面AA1D1D.
(3)证明：由(1)可知，CD→=(0, −2, 0)，A1D→=(−2, 0, −2).
∵ CD→⋅EF→=0，EF→⋅A1D→=0，
∴ EF⊥CD，EF⊥A1D.
又CD∩A1D=D，
∴ EF⊥平面A1CD.
【考点】
空间向量运算的坐标表示
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
直线与平面垂直的判定
直线与平面平行的判定
【解析】
（1）建立适当的空间直角坐标系，求出向量EF→的坐标表示，代入长度公式求解；
（2）求出AD1→的坐标表示，关键坐标关系判断EF // AD1，再利用线面平行的判定定理证明；
（3）利用CD→⋅EF→=0，EF→⋅A1D→=0，可证直线EF垂直于CD、A1D，再利用线面垂直的判定定理证明．
【解答】
(1)解：以D为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A1(2, 0, 2)，A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D1(0, 0, 2)，D(0, 0, 0).
∵ E，F分别为AB，A1C的中点，
∴ E(2, 1, 0)，F(1, 1, 1)，
∴ EF→=(−1, 0, 1)，
∴ |EF→|=1+0+1=2.
(2)证明：∵ AD1→=(−2, 0, 2)=2EF→，
∴ EF // AD1.
又AD1⊂平面AA1D1D，EF⊄平面AA1D1D，
∴ EF // 平面AA1D1D.
(3)证明：由(1)可知，CD→=(0, −2, 0)，A1D→=(−2, 0, −2).
∵ CD→⋅EF→=0，EF→⋅A1D→=0，
∴ EF⊥CD，EF⊥A1D.
又CD∩A1D=D，
∴ EF⊥平面A1CD.
【答案】
解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为PA=23×23×23=827；
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为PB=23×1−23×1−23+1−23×23×1−23
+1−23×1−23×23=29，
所以甲队总得分为3分与1分的概率分别为827和29.
2记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，
事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则PC=23×23×1−23+23×1−23×23
+1−23×23×23=49，
事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则PD=12×1−23×1−34+1−12×23×1−34
+1−12×1−23×34=14，
由题意得事件C与事件D相互独立，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
PCD=PCPD=49×14=19.
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
【解析】
1记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率；
2记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件C与事件D相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
【解答】
解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B，
甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为PA=23×23×23=827；
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，
其概率为PB=23×1−23×1−23+1−23×23×1−23
+1−23×1−23×23=29，
所以甲队总得分为3分与1分的概率分别为827和29.
2记“甲队得分为2分”为事件C，记“乙队得分为1分”为事件D，
事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，
则PC=23×23×1−23+23×1−23×23
+1−23×23×23=49，
事件D即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，
则PD=12×1−23×1−34+1−12×23×1−34
+1−12×1−23×34=14，
由题意得事件C与事件D相互独立，
所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：
PCD=PCPD=49×14=19.
【答案】
解：(1)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，P(1, 2, 1)，
AC→=(−2, 2, 0)，AB→=(0, 2, 0)，AP→=(−1, 2, 1)．
设平面ABP的法向量为m→=(x, y, z)，
则m→⋅AB→=0，m→⋅AP→=0，
即2y=0，−x+2y+z=0，
令x=1，解得y=0，z=1，
∴ m→=(1, 0, 1).
设直线AC与平面ABP所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|m→⋅AC→||m→||AC→|=22⋅8=12，
∴ 直线AC与平面ABP所成的角为30∘.
(2)由(1)可知，BP→=(−1, 0, 1)，
∴ cs=AC→⋅BP→|AC→||BP→|=28×2=12，
∴ 异面直线AC与BP所成的角为60∘.
(3)设平面APC的法向量n→=(x0, y0, z0)，
则n→⋅AP→=0，n→⋅AC→=0，
即−x0+2y0+z0=0，−2x0+2y0=0，
令x0=1，解得y0=1，z0=−1，
∴ n→=(1, 1, −1)，
∴ 点B到平面APC的距离d=|n→⋅AB→||n→|=23=233.
【考点】
点、线、面间的距离计算
直线与平面所成的角
异面直线及其所成的角
【解析】
（1）建立如图所示的空间直角坐标系．A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，P(1, 2, 1)．
设平面ABP的法向量为m→=(x, y, z)，则m→⋅AP→=0˙，可得m→．设直线AC与平面ABP所成的角为θ，则sinθ=|csθ|=|m→||AC→|˙即可得出．
（2）BP→=(−1, 0, 1)，利用cs=|AC→||BP→|˙即可得出．
（3）设平面APC的法向量n→=(x0, y0, z0)，利用n→⋅AC→=0˙，可得n→．再利用点B到平面APC的距离d=|n→|˙即可得出．
【解答】
解：(1)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)，B(2, 2, 0)，P(1, 2, 1)，
AC→=(−2, 2, 0)，AB→=(0, 2, 0)，AP→=(−1, 2, 1)．
设平面ABP的法向量为m→=(x, y, z)，
则m→⋅AB→=0，m→⋅AP→=0，
即2y=0，−x+2y+z=0，
令x=1，解得y=0，z=1，
∴ m→=(1, 0, 1).
设直线AC与平面ABP所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|m→⋅AC→||m→||AC→|=22⋅8=12，
∴ 直线AC与平面ABP所成的角为30∘.
(2)由(1)可知，BP→=(−1, 0, 1)，
∴ cs=AC→⋅BP→|AC→||BP→|=28×2=12，
∴ 异面直线AC与BP所成的角为60∘.
(3)设平面APC的法向量n→=(x0, y0, z0)，
则n→⋅AP→=0，n→⋅AC→=0，
即−x0+2y0+z0=0，−2x0+2y0=0，
令x0=1，解得y0=1，z0=−1，
∴ n→=(1, 1, −1)，
∴ 点B到平面APC的距离d=|n→⋅AB→||n→|=23=233.命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12