2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）9月收心考试数学试卷人教B版

这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）9月收心考试数学试卷人教B版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A={x|(x−3)(x+1)>0}，B={x||x−1|>1}，则(∁RA)∩B=( )
A.(−1, 0)∪(2, 3)B.(2, 3]C.(−∞, 0)∪(2, +∞)D.[−1, 0)∪(2, 3]

2. 中兴、华为事件暴露了我国计算机行业中芯片、软件两大短板，为防止“卡脖子”事件的再发生，科技专业人才就成了决胜的关键．为了解我国在芯片、软件方面的潜力，某调查机构对我国若干大型科技公司进行调查统计，得到了这两个行业从业者的年龄分布的饼形图和“90后”从事这两个行业的岗位分布雷达图，则下列说法中不一定正确的是( )

A.芯片、软件行业从业者中，“90后”占总人数的比例超过50%
B.芯片、软件行业中从事技术设计岗位的“90后”人数超过总人数的25%
C.芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多
D.芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”的总人数多

3. 在直角梯形ABCD中，AB=4，CD=2，AB // CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则AB→⋅(AC→+AE→)=( )

A.8B.12C.16D.20

4. 已知函数f(x)=ex−e−x(x>0),−x2(x≤0), 若a=50.01，b=32lg32，c=lg20.9，则有( )
A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)

5. 下列不等式一定成立的是（ ）
A.lgx2+14>lgxx>0B.sinx+1sinx≥2x≠kπ,k∈Z
C.x2+1≥2|x|x∈RD.1x2+1>1x∈R

6. 已知函数fx=ex−2x−1（其中e为自然对数的底数），则y=fx的图象大致为( )
A.B.
C.D.

7. 已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，ba+c+sinCsinA+sinB=1,AB→⋅AC→=4，则△ABC的面积为（ ）
A.3B.2C.23D.43

8. 已知函数f(x)=xlnx,x>0,x+1,x≤0, 若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，则|x1−x2|的最大值为( )
A.22B.2C.2D.1
二、多选题

已知曲线C:mx2+ny2=1( )
A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n
C.若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±−mnx
D.若m=0，n>0，则C是两条直线

沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是( )

A.沙漏中的细沙体积为1024π81cm3
B.沙漏的体积是128πcm3
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm
D.该沙漏的一个沙时大约是1565秒π≈3.14

已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,|φ|<π2的最大值为2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且fx的图像关于点−π12,0对称，则下列结论正确的是( )
A.函数fx的图像关于直线x=5π12对称
B.当x∈−π6,π6时，函数fx的最小值为−22
C.若fπ6−α=325，则sin4α−cs4α的值为−45
D.要得到函数fx的图像，只需要将gx=2cs2x的图像向右平移π6个单位

函数fx=xlnx，gx=f′xx，下列命题中正确的是( )
A.不等式gx>0的解集为1e,+∞
B.函数gx在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减
C.若函数Fx=fx−ax2有两个极值点，则a∈0,1
D.若x1>x2>0时，总有m2x12−x22>fx1−fx2恒成立，则m≥1
三、填空题

已知三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA=6，AB=23，AC=2，BC=4，则球O的半径为________；若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是________．
四、解答题

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有asinC+csinA=433bsinAsinC.
(1)求sinB；

(2)求ab+cb的取值范围．

已知函数f(x)=(lgax)2−lgax−2(a>0, a≠1)．
(1)当a=2时，求f(2)；

(2)求解关于x的不等式f(x)>0；

(3)若∀x∈[2, 4]，f(x)≥4恒成立，求实数a的取值范围．

在正项等比数列{an}中，已知a1+a3=10，a3+a5=40．
(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn=lg2an，求数列{(−1)nbn2}的前100项的和S100．

已知三棱锥P−ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD为边长等于2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中：

(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；

(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P−BC−M的余弦值．

设函数f(x)=xea−x+bx，曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e−1)x+4.
(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的单调区间．

某医药开发公司实验室有n（n∈N∗）瓶溶液，其中m（m∈N）瓶中有细菌R，现需要把含有细菌R的溶液检验出来，有如下两种方案：
方案一：逐瓶检验，则需检验n次；
方案二：混合检验，将n瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌R，则n瓶溶液全部不含有细菌R；若检验结果含有细菌R，就要对这n瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为n+1.
(1)假设n=5,m=2，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌R的概率；

(2)现对n瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌R的概率均为P(0≤P≤1).
若采用方案一，需检验的总次数为ξ；
若采用方案二，需检验的总次数为η.
①若ξ与η的期望相等，试求P关于n的函数解析式P=f(n)；
②若p=1−e−14,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望，求n的最大值.
参考数据：ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln5≈1.61,ln7≈1.95.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高三（上）9月收心考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
解二次不等式可以求出集合A，进而求出CRA，解绝对值不等式可以求出集合B，代入后根据交集运算法则，即可得到(CRA)∩B．
【解答】
解：∵ A={x|(x−3)(x+1)>0}={x|x<−1或x>3}，
∴ ∁RA={x|−1≤x≤3}.
∵ B={x||x−1|>1}={x|x<0或x>2}，
∴ (∁RA)∩B=[−1, 0)∪(2, 3].
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
扇形统计图
【解析】

【解答】
解：从第二个图可知，“90后”占总人数55%，故A正确；
从第一个图中，从事技术、设计岗位的“90后”占(37%+13%)×55%=27.5%，故B正确；
无法比较从事技术岗位的人中“90后”与“80后”人数多少，故C不一定正确；
“90后” 从事市场岗位的人数占总数的55%×14%=7.7%>5%，故D正确．
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
数量积的坐标表达式
【解析】

【解答】
解：建立坐标系如图，
设AD=x，
则A(0, 0)，B(4, 0)，D(0, x)，C(2, x)，E(3, x2)，
AC→=(2,x)，AE→=(3, x2)，AB→=(4, 0)，
∴ AC→+AE→=(5, 3x2)，
∴ AB→⋅(AC→+AE→)=20．
故选D.
4.
【答案】
A
【考点】
函数单调性的性质与判断
指数式、对数式的综合比较
【解析】

【解答】
解：∵ 当x>0时，f(x)=ex−e−x为增函数；
当x≤0时，f(x)=−x2为增函数，
∴ 函数f(x)在R上为增函数.
∵ a=50.01>50=1，b=32lg32=lg3232=lg38，即0c=lg20.9∴ a>b>c，
∴ f(a)>f(b)>f(c)．
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
不等式的证明
基本不等式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A、当x>0时，x2+14≥2⋅x⋅12=x，
（当且仅当x=12时，等号成立）
所以lgx2+14≥lgxx>0，故选项A不正确；
B、当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不确定，故选项B不正确；
C、由基本不等式可知，x2+1≥2|x|x∈R，故选项C正确；
D、当x=0时，有1x2+1=1，故选项D不正确．
故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】

【解答】
解：∵f(x)=ex−2x−1，
∴ 该函数的定义域为R，且f′(x)=ex−2，
令f′(x)<0，可得x令f′(x)>0，可得x>ln2，此时，函数y=f(x)单调递增，
∴ 函数y=f(x)的极小值为
f(ln2)=eln2−2ln2−1=1−2ln2<0，
∴ 函数y=fx的图象大致为A选项中的图象．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
余弦定理
正弦定理
平面向量数量积的运算
【解析】
答案未提供解析．
【解答】
解：由已知及正弦定理得ba+c+ca+b=1化简得b2+c2−a2=bc，
∴csA=b2+c2−a22bc=12，∴A=60∘，
∴AB→⋅AC→=bccs60∘=4，
∴bc=8，S△ABC=12bcsinA=12×8×32=23．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
分段函数的应用
【解析】
所求表达式的最值，转化为函数的图象的最值，转化函数的导数求解切线方程，平行线的距离．
【解答】
解：不妨设x1>x2，已知f(x1)=f(x2)，
要求|x1−x2|的最大值，即求(x1−x2)max，
作函数图像如图，
设点A(x1, y1)是函数y=xlnx(x>0)上一点，
当点A到直线y=x+1(x≤0)的距离最大时，x1−x2取最大值，
此时需过A点的切线与y=x+1平行，
当x>0时，f′(x)=lnx+1，
令f′(x)=1，解得：x1=1，
所以点A(1, 0)，此时x2=−1，
所以|x1−x2|的最大值为2.
故选B.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
双曲线的渐近线
椭圆的标准方程
圆的标准方程
【解析】
根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可.
【解答】
解：A，若m>n>0 ，则1m<1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
B，若m=n>0，则方程为x2+y2=1n，表示半径为1n的圆，故B错误；
C，根据求双曲线渐近线的方法，可以得双曲线的渐近线方程mx2+ny2=0，
又因为mn<0，
所以渐近线方程为y=±−mnx，故C正确；
D，当m=0，n>0时，则方程为y=±1n表示两条直线，故D正确.
故选ACD．
【答案】
A,C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】

【解答】
解：A，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，
细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，
所以细沙的底面半径r=23×4=83(cm)，
所以沙漏中的细沙体积V=13⋅πr2⋅2ℎ3
=13×64π9×163=1024π81(cm3)，故选项A正确；
B，沙漏的体积V=2×13×π×42×8=2563π(cm3)，故选项B错误；
C，设细沙流入下部后的高度为ℎ1，根据细沙体积不变可知，
1024π81=13×π×42×ℎ1，
整理得，1024π81=16π3ℎ1，解得：ℎ1≈2.4cm，故选项C正确；
D，因为细沙的体积为1024π81cm3，沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，
所以该沙漏的一个沙时大约是：
1024π810.02=1024×3.1481×50≈1985(秒)，故选项D错误.
故选AC．
【答案】
B,D
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】

【解答】
解：因为函数fx的最大值为2，
所以A=2．
因为函数fx图像相邻的两条对称轴之间的距离为π2，
所以T2=π2，T=2πω=π，ω=2，
所以fx=2sin2x+φ.
又因为fx的图像关于点−π12,0对称，
所以f−π12=2sin−π6+φ=0，
即 −π6+φ=kπ，k∈Z，
所以φ=π6+kπ，k∈Z．
因为|φ|<π2，
所以φ=π6．
即fx=2sin2x+π6．
A，f512π=2sinπ=0≠±2，故A错误；
B，当x∈−π6,π6时，2x+π6∈−π6,π2，
所以当2x+π6=−π6时， fx取得最小值−22，故B正确；
C，fπ6−α=2sinπ2−2α=2cs2α=325，
所以cs2α=35，
则sin4α−cs4α=sin2α+cs2αsin2α−cs2α
=−cs2α=−35，故C错误；
D，gx=2cs2x的图像向右平移π6个单位得到
y=2cs2x−π6=2cs2x−π3
=2sinπ2+2x−π3
=2sin2x+π6=f(x) ，故D正确．
故选BD．
【答案】
A,D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】

【解答】
解：函数fx=xlnx，x>0，
f′x=lnx+1，则gx=lnx+1x，g′x=−lnxx2，
函数g(x)的图象如图所示，
A，∵ gx>0，即lnx+1x>0，lnx+1>0，解得：x>1e，
∴ 不等式gx>0的解集为1e,+∞，故A正确；
B，∵ 当00；当x>1时，g′(x)<0，
∴ 函数gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，故B错误；
C，若函数Fx=fx−ax2有两个极值点，
则F′x=f′x−2ax有2个零点，
则lnx+1−2ax=0，2a=lnx+1x，
即直线y=2a与函数y=g(x)的图象有两个交点，
结合图象可知，2a∈0,1，a∈0,12，故C错误.
D，若x1>x2>0时，总有m2x12−x22>fx1−fx2恒成立，
则m2x12−x1lnx1>m2x22−x2lnx2>0在0,+∞上恒成立.
令Hx=m2x2−xlnxx>0，则H(x)在(0,+∞)上单调递增，
即H′(x)=mx−(lnx+1)≥0在(0,+∞)上恒成立，
等价于m≥lnx+1x，即m≥g(x)在(0,+∞)上恒成立.
又g(x)max=g(1)=1，所以m≥1，故D正确.
故选AD．
三、填空题
【答案】
13,4π
【考点】
球内接多面体
【解析】

【解答】
解：如图所示：
由题意知底面三角形ABC为直角三角形，
所以底面外接圆的半径r=BC2=2.
过底面外接圆的圆心O′作垂直于底面的直线，
则球心O在该直线上，
所以OO′=PA2=3.
连结OA，设外接球的半径为R，
则R2=r2+OO′2=22+32=13，
解得：R=13.
若D是BC的中点，则D，O′重合，
过点D作球O的截面，
则截面面积最小时是与OO′垂直的面，
即三角形ABC的外接圆.
因为外接圆半径为2，
所以截面面积为π⋅22=4π．
故答案为：13；4π．
四、解答题
【答案】
解：(1)由正弦定理的边化角公式可得
2sinAsinC=433sinAsinBsinC.
∵A，B，C∈0,π2，
∴sinA≠0，sinC≠0，
∴sinB=32．
(2)由(1)可知B=π3，则A+C=2π3.
∵△ABC为锐角三角形，
∴ A∈π6,π2.
ab+cb=sinAsinB+sinCsinB
=233sinA+sin2π3−A
=3sinA+csA
=2sinA+π6.
∵A+π6∈π3,2π3，
∴sinA+π6∈32,1，
∴ab+cb∈(3,2]．
【考点】
两角和与差的正弦公式
正弦定理
正弦函数的定义域和值域
【解析】


【解答】
解：(1)由正弦定理的边化角公式可得
2sinAsinC=433sinAsinBsinC.
∵A，B，C∈0,π2，
∴sinA≠0，sinC≠0，
∴sinB=32．
(2)由(1)可知B=π3，则A+C=2π3.
∵△ABC为锐角三角形，
∴ A∈π6,π2.
ab+cb=sinAsinB+sinCsinB
=233sinA+sin2π3−A
=3sinA+csA
=2sinA+π6.
∵A+π6∈π3,2π3，
∴sinA+π6∈32,1，
∴ab+cb∈(3,2]．
【答案】
解：(1)当a=2时，f(2)=(lg22)2−lg22−2=−2.
(2)由f(x)>0得，(lgax)2−lgax−2>0，
解得：lgax>2或lgax<−1．
当01a；
当a>1时，解得：x>a2或0综上所述，当00的解集为{x|01a}；
当a>1时，不等式f(x)>0的解集为{x|x>a2或0(3)∀x∈[2, 4]，f(x)≥4恒成立，
即∀x∈[2, 4]，(lgax)2−lgax−2≥4恒成立，
即(lgax)2−lgax−6≥0，解得：lgax≥3或lgax≤−2.
①当0∴ lga2≤−2=lgaa−2或lga4≥3=lgaa3（舍去），
解得：22≤a<1；
②当a>1时，(lgax)max=lga4，(lgax)min=lga2，
∴ lga4≤−2=lgaa−2（舍去）或lga2≥3=lgaa3.
解得： 1综上所述，实数a的取值范围为[22, 1)∪(1, 32].
【考点】
指、对数不等式的解法
函数恒成立问题
其他不等式的解法
函数的求值
【解析】

【解答】
解：(1)当a=2时，f(2)=(lg22)2−lg22−2=−2.
(2)由f(x)>0得，(lgax)2−lgax−2>0，
解得：lgax>2或lgax<−1．
当01a；
当a>1时，解得：x>a2或0综上所述，当00的解集为{x|01a}；
当a>1时，不等式f(x)>0的解集为{x|x>a2或0(3)∀x∈[2, 4]，f(x)≥4恒成立，
即∀x∈[2, 4]，(lgax)2−lgax−2≥4恒成立，
即(lgax)2−lgax−6≥0，解得：lgax≥3或lgax≤−2.
①当0∴ lga2≤−2=lgaa−2或lga4≥3=lgaa3（舍去），
解得：22≤a<1；
②当a>1时，(lgax)max=lga4，(lgax)min=lga2，
∴ lga4≤−2=lgaa−2（舍去）或lga2≥3=lgaa3.
解得： 1综上所述，实数a的取值范围为[22, 1)∪(1, 32].
【答案】
解：(1)设公比为q，
由题意可得，a1(1+q2)=10,a1q2(1+q2)=40,
∵ q>0，
∴ q=2，a1=2，
∴ 数列{an}的通项公式为an=a1qn−1=2n．
(2)由(1)可得，bn=lg2an=lg22n=n，
则数列{(−1)nbn2}的前100项的和
S100=−b12+b22−b32+b42−⋯−b992+b1002
＝−12+22−32+42−⋯−992+1002
＝(2+1)×(2−1)+(4+3)×(4−3)+⋯+(100+99)×(100−99)
＝3+7+11+⋯+195+199
=50×(3+199)2
=5050．
【考点】
数列的求和
等比数列的通项公式
【解析】

【解答】
解：(1)设公比为q，
由题意可得，a1(1+q2)=10,a1q2(1+q2)=40,
∵ q>0，
∴ q=2，a1=2，
∴ 数列{an}的通项公式为an=a1qn−1=2n．
(2)由(1)可得，bn=lg2an=lg22n=n，
则数列{(−1)nbn2}的前100项的和
S100=−b12+b22−b32+b42−⋯−b992+b1002
＝−12+22−32+42−⋯−992+1002
＝(2+1)×(2−1)+(4+3)×(4−3)+⋯+(100+99)×(100−99)
＝3+7+11+⋯+195+199
=50×(3+199)2
=5050．
【答案】
(1)证明：设AC的中点为O，连接BO，PO．
由题意，得PA=PB=PC=2，
所以PO=1，AO=BO=CO=1.
因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，
所以PO⊥AC.
因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=2，
所以PO2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.
因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC，
所以PO⊥平面ABC.
因为PO⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC．
(2)解：由(1)知，BO⊥PO，BO⊥AC，BO⊥平面PAC，
所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角，
且tan∠BMO=BOOM=1OM，
所以当OM最短时，即M是PA的中点时，∠BMO最大.
因为PO⊥平面ABC，OB⊥AC，
所以PO⊥OB，PO⊥OC，
于是以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示空间直角坐标系，
则O0,0,0，C1,0,0，B0,1,0，
A−1,0,0，P0,0,1，M−12,0,12，
所以BC→=1,−1,0，PC→=1,0,−1，
MC→=32,0,−12.
设平面MBC的法向量为m→=x1,y1,z1，
由m→⋅BC→=0,m→⋅MC→=0,得x1−y1=0,3x1−z1=0.
令x1=1，得y1=1，z1=3，
即m→=1,1,3.
设平面PBC的法向量为n→=x2,y2,z2，
由n→⋅BC→=0,n→⋅PC→=0,得：x2−y2=0,x2−z2=0.
令x2=1，得y2=1，z2=1，
即n→=1,1,1，
所以csn→,m→=m→⋅n→m→⋅n→=533=53333．
故二面角P−BC−M的余弦值为53333．
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
平面与平面垂直的判定
【解析】


【解答】
(1)证明：设AC的中点为O，连接BO，PO．
由题意，得PA=PB=PC=2，
所以PO=1，AO=BO=CO=1.
因为在△PAC中，PA=PC，O为AC的中点，
所以PO⊥AC.
因为在△POB中，PO=1，OB=1，PB=2，
所以PO2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.
因为AC∩OB=O，AC，OB⊂平面ABC，
所以PO⊥平面ABC.
因为PO⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC．
(2)解：由(1)知，BO⊥PO，BO⊥AC，BO⊥平面PAC，
所以∠BMO是直线BM与平面PAC所成的角，
且tan∠BMO=BOOM=1OM，
所以当OM最短时，即M是PA的中点时，∠BMO最大.
因为PO⊥平面ABC，OB⊥AC，
所以PO⊥OB，PO⊥OC，
于是以OC，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示空间直角坐标系，
则O0,0,0，C1,0,0，B0,1,0，
A−1,0,0，P0,0,1，M−12,0,12，
所以BC→=1,−1,0，PC→=1,0,−1，
MC→=32,0,−12.
设平面MBC的法向量为m→=x1,y1,z1，
由m→⋅BC→=0,m→⋅MC→=0,得x1−y1=0,3x1−z1=0.
令x1=1，得y1=1，z1=3，
即m→=1,1,3.
设平面PBC的法向量为n→=x2,y2,z2，
由n→⋅BC→=0,n→⋅PC→=0,得：x2−y2=0,x2−z2=0.
令x2=1，得y2=1，z2=1，
即n→=1,1,1，
所以csn→,m→=m→⋅n→m→⋅n→=533=53333．
故二面角P−BC−M的余弦值为53333．
【答案】
解：(1)∵ y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e−1)x+4，
∴ 当x=2时，y=2(e−1)+4=2e+2，即f(2)=2e+2，
同时f′(2)=e−1，
∵ f(x)=xea−x+bx，
∴ f′(x)=ea−x−xea−x+b，
则f(2)=2ea−2+2b=2e+2f′(2)=ea−2−2ea−2+b=e−1，
即a=2，b=e.
(2)∵ a=2，b=e，
∴ f(x)=xe2−x+ex，
∴ f′(x)=e2−x−xe2−x+e=(1−x)e2−x+e，
f″(x)=−e2−x−(1−x)e2−x=(x−2)e2−x，
由f″(x)>0得x>2，由f″(x)<0得x<2，
即当x=2时，f′(x)取得极小值f′(2)=(1−2)e2−2+e=e−1>0，
∴ f′(x)>0恒成立，
即函数f(x)是增函数，
即f(x)的单调增区间是(−∞, +∞)．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f(2)，建立方程组关系即可求a，b的值；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f(x)的单调区间．
【解答】
解：(1)∵ y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程为y=(e−1)x+4，
∴ 当x=2时，y=2(e−1)+4=2e+2，即f(2)=2e+2，
同时f′(2)=e−1，
∵ f(x)=xea−x+bx，
∴ f′(x)=ea−x−xea−x+b，
则f(2)=2ea−2+2b=2e+2f′(2)=ea−2−2ea−2+b=e−1，
即a=2，b=e.
(2)∵ a=2，b=e，
∴ f(x)=xe2−x+ex，
∴ f′(x)=e2−x−xe2−x+e=(1−x)e2−x+e，
f″(x)=−e2−x−(1−x)e2−x=(x−2)e2−x，
由f″(x)>0得x>2，由f″(x)<0得x<2，
即当x=2时，f′(x)取得极小值f′(2)=(1−2)e2−2+e=e−1>0，
∴ f′(x)>0恒成立，
即函数f(x)是增函数，
即f(x)的单调增区间是(−∞, +∞)．
【答案】
解：(1)记所求事件为A，“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前三次均不含有细菌R为事件C，
则A=B∪C，且B、C互斥，
所以P(A)=P(B)+P(C)=A21A21A31A53+A33A53=15+110=310.
(2)①E(ξ)=n，
η的取值为1,n+1，
P(η=1)=(1−P)n,P(η=n+1)=1−(1−P)n，
所以E(η)=(1−P)n+(n+1)1−(1−P)n=n+1−n(1−P)n，
由E(ξ)=E(η)得n=n+1−n(1−P)n，
所以P=1−1n1nn∈N∗.
②P=1−e−14，所以E(η)=n+1−n⋅e−n4，
所以(n+1)−n⋅e−n40，
设f(x)=lnx−x4(x>0)，
f′(x)=1x−14=4−x4x,
当x∈(0，4)时，f(x)>0,f(x)在(0，4)上单调递增；
当x∈(4，+∞)时，f′(x)<0,f(x)在(4，+∞)上单调递减.
又f(8)=ln8−2>0,f(9)=ln9−94<0,
所以n的最大值为8.
【考点】
利用导数研究函数的最值
离散型随机变量的期望与方差
利用导数研究函数的单调性
古典概型及其概率计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)记所求事件为A，“第三次含有细菌R且前2次中有一次含有细菌R”为事件B，“前三次均不含有细菌R为事件C，
则A=B∪C，且B、C互斥，
所以P(A)=P(B)+P(C)=A21A21A31A53+A33A53=15+110=310.
(2)①E(ξ)=n，
η的取值为1,n+1，
P(η=1)=(1−P)n,P(η=n+1)=1−(1−P)n，
所以E(η)=(1−P)n+(n+1)1−(1−P)n=n+1−n(1−P)n，
由E(ξ)=E(η)得n=n+1−n(1−P)n，
所以P=1−1n1nn∈N∗.
②P=1−e−14，所以E(η)=n+1−n⋅e−n4，
所以(n+1)−n⋅e−n40，
设f(x)=lnx−x4(x>0)，
f′(x)=1x−14=4−x4x,
当x∈(0，4)时，f(x)>0,f(x)在(0，4)上单调递增；
当x∈(4，+∞)时，f′(x)<0,f(x)在(4，+∞)上单调递减.
又f(8)=ln8−2>0,f(9)=ln9−94<0,
所以n的最大值为8.