2020-2021学年山东省潍坊市高三（下）5月月考数学试卷人教B版

这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高三（下）5月月考数学试卷人教B版，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2，B=3,4，则集合5=( )
A.∁UA∪BB.∁UA∪∁UBC.∁UA∪BD.∁UB∪A

2. 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=( )
A.5B.−5C.−4+iD.−4−i

3. 某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为( )
A.2B.3C.4D.5

4. 如图，在平行四边形ABCD中，AE→=13AC→，若ED→=λAD→+μAB→，则λ+μ=( )

A.−13B.1C.23D.13

5. “tanα=2”是“cs2α−π2=45”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 某地区为落实乡村振兴战略，帮助农民脱贫致富，引入一种特色农产品种植，该农产品上市时间仅能维持5个月，预测上市初期和后期会因产品供应不足使价格持续上涨，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．经研究其价格模拟函数为ft=tt−32+n，(0≤t≤5，其中t=0表示5月1日，t=1表示6月1日，以此类推).若f2=6，为保护农户的经济效益，当地政府计划在价格下跌时积极拓宽外销，请你预测该农产品价格下跌的月份为( )
A.5月和6月B.6月和7月C.7月和8月D.8月和9月

7. 双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且△ABF2为等边三角形，则以下说法正确的是( )
A.双曲线C的渐近线方程为y=±x
B.若双曲线C的实轴长为2，则S△AF1F2=3
C.若双曲线C的焦距为23，则点A的纵坐标为3
D.点F2在以AF1为直径的圆上

8. 定义：两个正整数 a，b，若它们除以正整数 m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡bmdm，比如：26≡16md10．已知n=C100+C101⋅8+C102⋅82+⋯+C1010⋅810，满足n≡pmd10，则p可以是( )
A.23B.21C.19D.17
二、多选题

已知函数y=ax(a>0且a≠1)的图象如图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是( )

A.
B.
C.
D.

已知α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列结论正确的是( )
A.如果m⊥α，n//α，那么m⊥n
B.如果m⊥n，m⊥α，n//β，那么α⊥β
C.如果α//β，m⊂α，那么m//β
D.如果m//α，n//β且α//β，那么m//n

已知函数fx=2sinx−sin2x，则下列结论正确的是( )
A.fx的周期为2πB.y=fx的图象关于x=π2对称
C.fx的最大值为332D.fx在区间2π3,4π3上单调递减

如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是( )

A.第6行第1个数为192
B.第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列
C.第10行前10个数的和为95×29
D.数表中第2021行第2021个数为6061×22020
三、填空题

在一次期中考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布Nμ,σ2，若PX≥90=0.5，且PX≥110=0.2，则PX≤70=________.

设函数fx=x,x≤1,x−12+1,x>1, 则不等式f1−|x|+f2>0的解集为________.

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A，B在椭圆上，且满足AF1→=2F1B→，AF2→⋅AF1→=0，则椭圆C的离心率为________.

阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________.
四、解答题

已知正项等比数列an，其中a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，令bn=2lg2an．

(1)求数列an和bn的通项公式；

(2)设数列1bn2−1的前n项和为Tn，证明：Tn<12．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是AC上的点，BM平分∠ABC，△ABM的面积是△BCM面积的2倍．
(1)求sinCsinA；

(2)若csB=14，b=2，求△ABC的面积．

如图，已知△ABC是以AC为底边的等腰三角形，将△ABC绕AB转动到△PAB位置，使得平面PAB⊥平面ABC，连接PC，E，F分别是PA，CA的中点．

(1)证明：EF⊥AB；

(2)在①S△ABC=33，②点P到平面ABC的距离为3，③直线PB与平面ABC所成的角为60∘这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角E−BF−A的余弦值．

第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2月20日在中国举行，其中冰壶比赛项目是本届奥运会的正式比赛项目之一，1998年中国女子冰壶队第一次参加奥运会冰壶比赛就获得了铜牌．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O的远近决定胜负．
某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，乙得3分和2分的概率分别为0.2和0.4，甲，乙每次投掷冰壶的结果互不影响．

(1)求甲通过测试的概率；

(2)设Y为本次测试中乙的得分，求Y的分布列；

(3)请根据测试结果来分析，甲，乙两人谁的水平较高？

设抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，点Pm,2m>0在抛物线C上，且满足|PF|=3 .
(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点G0,4的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q，求三角形PQG周长的最小值．

设函数fx=xlnx．
(1)求曲线y=fx在点e−2,fe−2处的切线方程；

(2)若关于x的方程fx=a有两个实根，设为x1，x2x1参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高三（下）5月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
直接交、并、补运算即可.
【解答】
解：∵ U={1,2,3,4,5}，A={1,2}，B={3,4}，
∴ A∪B=1,2,3,4，∁U(A∪B)=5，故A正确；
∁UA=3,4,5，∁UB=1,2,5，
∁UA∪∁UB=1,2,3,4,5，故B错误；
∁UA∪B=3,4,5，故C错误；
∁UB∪A=1,2,5，故D错误.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
复数代数形式的乘除运算
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．
【解答】
解：z1=2+i对应的点的坐标为(2, 1)，
∵ 复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
∴ (2, 1)关于虚轴对称的点的坐标为(−2, 1)，
则对应的复数，z2=−2+i，
则z1z2=(2+i)(−2+i)=i2−4=−1−4=−5.
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
分层抽样方法
【解析】
根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在各年级中抽取的人数．
【解答】
解：630=15，
则高三年级的学生中应抽取的人数为20×15=4.
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量在几何中的应用
【解析】
直接利用平面向量的线性运算，即可得出答案.
【解答】
解：∵ ED→=AD→−AE→
=AD→−13AC→
=AD→−13(AD→+AB→)
=23AD→−13AB→，
又∵ ED→=λAD→+μAB→，且AD→，AB→不共线，
∴ λ=23，μ=−13，
∴ λ+μ=13.
故选D.
5.
【答案】
A
【考点】
二倍角的正弦公式
必要条件、充分条件与充要条件的判断
诱导公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
直接求三角函数值，即可得出答案.
【解答】
解：∵ tanα=2，
∴ sinαcsα=2，
又sin2α+cs2α=1，
∴ sinα=255，csα=55，或sinα=−255，csα=−55，
∴ cs2α−π2=sin2α=2sinαcsα=45，故充分性成立；
若cs2α−π2=45，则sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=45，
即tanαtan2α+1=25，解得tanα=2或tanα=12，故必要性不成立，
故“tanα=2”是“cs2α−π2=45”的充分不必要条件.
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
函数模型的选择与应用
利用导数研究函数的单调性
【解析】
利用函数模型，得到递减范围，即可得出答案.
【解答】
解：∵ f(t)=t(t−3)2+n，f(2)=2+n=6，
∴ n=4，
∴ f(t)=t(t−3)2+4，
∴ f′(t)=(t−3)2+2t(t−3)=3(t−1)(t−3)，
令f′(t)<0，则1即该农产品价格下跌的月份为6月和7月.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的渐近线
双曲线的应用
【解析】
逐项分析判断即可.
【解答】
解：A，设AB=m ，
∵△ABF2为等边三角形，
∴AF2=BF2=m，
由双曲线定义得：|BF1|=|AF1|−AB=AF2+2a−|AB|=2a，
又|BF1|=|BF2|=m，
∴m=2a，
∴ ∠AF1F2=12∠ABF2=30∘，
cs30∘=|OF1|BF1=c2a=32，∴ c=3a，
∴b2=c2−a2⇒b2=2a2，∴ba=2，
∴ 双曲线C的渐近线方程为y=±2x，故A错误；
B，2a=2，则a=1，b=2，c=3，2c=23，
∴AF2=2，AF1=4，
S△AF1F2=12×23×4×sin30∘=23，故B错误；
C，已知2c=23 ，则c=3，a=1，m=2a=2，
∵ ∠AF1F2=30∘，∠F1AF2=60∘，
∴ ∠AF2F1=90∘，AF2⊥F1F2，
∴ 点A的横坐标为3，纵坐标为2，故C错误；
D，∵AF1为直径，∴d=4a，
∵AB=BF1=2a，
∴B点为圆心，
∵BF2=2a，∴BF2=BA=BF1=2a，
∴点F2在AF1 为直径的圆上，故D正确.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
二项式定理的应用
【解析】
构造二项式，即可得出答案.
【解答】
解：由题意得，
n=C100+C101⋅8+C102⋅82+⋯+C1010⋅810=(1+8)10=910，
而910=10−110=C100⋅1010−C101⋅109+⋯−C109⋅10+C1010，
故n除以10的余数为1，
故p可以是21.
故选B.
二、多选题
【答案】
A,B,D
【考点】
函数的图象
对数函数的图象与性质
指数函数的图象
幂函数的图像
【解析】
直接分别确定各基本函数，即可得出答案.
【解答】
解：由图可知，该函数过点1,2，
故2=a1，解得a=2，
A，y=2−x=12x，由指数函数可知，y=2−x=12x符合图象，故A正确；
B，y=x−2，由幂函数可知，y=x−2符合图象，故B正确；
C，y=2|x|，当x>0时，y=2x，由指数函数可知，y=2x不符合图象，故C错误；
D，y=lg2x=lg2x，x≥1,−lg2x，0故选ABD.
【答案】
A,C
【考点】
空间中平面与平面之间的位置关系
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
逐个判断即可.
【解答】
解：A，如果m⊥α，n//α，由线面垂直的性质，可得m⊥n，故A正确；
B，如果m⊥n，m⊥α，此时可得，n//α或n⊂α，再由n//β，可得α与β平行或相交，故B错误；
C，如果α//β，m⊂α，由面面平行的性质，可得m//β，故C正确；
D，如果m//α，n//β且α//β，可得m与n平行或异面，故D错误.
故选AC.
【答案】
A,C,D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
三角函数的最值
正弦函数的对称性
正弦函数的周期性
【解析】
利用三角函数的相关知识，即可得出答案.
【解答】
解：A，f(x+2π)=2sin(x+2π)−sin2(x+2π)
=2sinx−sin2x=fx，故fx的周期为2π，故A正确；
B，若y=f(x)的图象关于x=π2对称，
则f(x)上的点(π2+x,y1)与(π2−x,y1)关于x=π2对称，
f(π2+x)=2sin(π2+x)−sin2(π2+x)=2csx+sin2x，
f(π2−x)=2sin(π2−x)−sin2(π2−x)=2csx−sin2x，
f(π2+x)≠f(π2−x)，
故fx的图象不关于x=π2对称，故B错误；
C，f′(x)=2csx−2cs2x=2csx−4cs2x+2
=2(2csx+1)(1−csx)，
由于函数周期为2π，故考虑0,2π即可，
令f′x>0，得x∈0,23π∪43π,2π，f(x)单调递增，
令f′x<0，得x∈23π,43π，f(x)单调递减，
又f23π=332，f(2π)=0，
故函数fx的最大值为332，故C正确；
D，由C可知，D正确.
故选ACD.
【答案】
A,B,D
【考点】
数列的应用
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
【解析】
利用归纳推理，结合数列的通项公式和数列的前n项和，逐个分析即可.
【解答】
解：A，每一行第一个数的规律：
第一行：1=1×20，
第二行：4=2×21，
第三行：12=3×22，
⋮
第n行：an=n×2n−1，
所以A中，第6的第一个数是a6=6×25=192，故A正确；
B，每一行公差的规律：
第一行：21，
第二行：22，
第三行：23，
⋮
第n行：2n，
所以B中，第10行的数从左到右构成公差为210的等差数列，故B正确；
C，第10行的第一个数为a10=10×29，公差为210，
所以S=10×10×29+10×92×210=190×29，故C错误；
D，第2021行的第一个数为a2021=2021×22020，第2021行公差为22021，
第2021行第2021个数为2021×22020+(2021−1)×22021=6061×22020，故D正确.
故选ABD.
三、填空题
【答案】
0.2
【考点】
正态分布的密度曲线
【解析】
利用正态分布的对称性，即可得出答案.
【解答】
解：由题意知，μ=90，
∴ P(X≤70)=P(X≥110)=0.2.
故答案为：0.2.
【答案】
(−3,3)
【考点】
分段函数的应用
其他不等式的解法
【解析】
由已知条件根据分段函数的表达式进行求解即可．
【解答】
解：∵ f(x)=x,x≤1,(x−1)2+1,x>1,
∴ f(2)=(2−1)2+1=2，
∵ |x|≥0，
∴ −|x|≤0，
∴ 1−|x|≤1，
∴ f(1−x)=1−x，
∴ f(1−x)+f(2) >0，
即1−|x|+2>0，
|x∣<3，
解得：−3故不等式的解集为：(−3,3).
故答案为：(−3,3).
【答案】
53
【考点】
椭圆的定义和性质
椭圆的离心率
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
利用椭圆的定义，构造边长关系，构造勾股定理，即可得出答案.
【解答】
解：由题意，设F1B=m，则AF1=2m，
由椭圆的定义可知，F2B=2a−m，AF2=2a−2m，
∵ AF2→⋅AF1→=0，
∴ AF2⊥AF1，
由勾股定理可知，4c2=4m2+2a−2m2,2a−m2=2a−2m2+9m2,
不妨设m=1，解得a=3，c=5，
故离心率为e=ca=53.
故答案为：53.
【答案】
12
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球的表面积和体积
多面体的内切球问题
【解析】

【解答】
解：如图所示，设母线长为l，∠DCO=θ，AD=ℎ，
圆锥体积V=13πr2ℎ，
ℎ=l2−r2=l−r2+R2+R，
rtanθ=R，
∠AOE+∠DOE=180∘，
∵ ∠ODC=∠OEC=90∘，
∴∠DCE=∠DOE=180∘，
∴ ∠AOE=∠DCE=2θ，
l+r=AE+EC+CD=Rtan2θ+2r
=2Rtanθ1−tan2θ+2Rtanθ=2Rtanθ(1−tan2θ)，
l−r=Rtan2θ=2Rtanθ1−tan2θ，
∴ℎ=l2−r2=l+rl−r=2R1−tan2θ，
∴ V球V圆锥=43πR313πr2ℎ=4R3r2ℎ=4R32R1−tan2θ×R2tan2θ
=21−tan2θtan2θ，
令tan2θ=x，y=21−xx=−2x2+2x=−2x−122+12，
当tan2θ=x=12时，y有最大值，最大值为12．
故答案为：12．
四、解答题
【答案】
(1)解：由题意得a1=2，a2=4，a3=8，
所以q=42=2，
即an=2×2n−1=2n，
又因为bn=2lg2an=2lg22n，
所以bn=2n．
(2)证明：因为1bn2−1=14n2−1=12n−12n+1
=1212n−1−12n+1，
所以Tn=1b12−1+1b22−1+⋯+1bn2−1
=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1．
所以Tn=121−12n+1<12得证．
【考点】
等比数列的通项公式
数列递推式
数列的求和
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由题意得a1=2，a2=4，a3=8，
所以q=42=2，
即an=2×2n−1=2n，
又因为bn=2lg2an=2lg22n，
所以bn=2n．
(2)证明：因为1bn2−1=14n2−1=12n−12n+1
=1212n−1−12n+1，
所以Tn=1b12−1+1b22−1+⋯+1bn2−1
=121−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1
=121−12n+1=n2n+1．
所以Tn=121−12n+1<12得证．
【答案】
解：1S△ABM=12AB⋅BMsin∠ABM，
S△BCM=12BC⋅BMsin∠MBC．
因为S△ABM=2S△BCM，∠ABM=∠MBC，
所以AB=2BC．
由正弦定理得sinCsinA=ABBC=2．
2由sinCsinA=2得c=2a，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
又因为csB=14，b=2，
所以4=a2+4a2−4a2×14，
所以a=1，从而c=2．
又因为csB=14且0所以sinB=154．
因此S△ABC=12acsinB=12×1×2×154=154．
【考点】
正弦定理
三角形的面积公式
余弦定理
同角三角函数间的基本关系
【解析】
无
无
【解答】
解：1S△ABM=12AB⋅BMsin∠ABM，
S△BCM=12BC⋅BMsin∠MBC．
因为S△ABM=2S△BCM，∠ABM=∠MBC，
所以AB=2BC．
由正弦定理得sinCsinA=ABBC=2．
2由sinCsinA=2得c=2a，
由余弦定理得b2=a2+c2−2accsB，
又因为csB=14，b=2，
所以4=a2+4a2−4a2×14，
所以a=1，从而c=2．
又因为csB=14且0所以sinB=154．
因此S△ABC=12acsinB=12×1×2×154=154．
【答案】
(1)证明：如图(1)，过点E作ED⊥AB，垂足为D，连接DF，
由题意知，△PAB≅△CAB，
易证△EDA≅△FDA，
所以∠EDA=∠FDA=π2，
即FD⊥AB，
因为ED⊥AB，ED∩FD=D，
所以AB⊥平面EFD．
又因为EF⊂平面EFD，
所以EF⊥AB．
(2)解：过P作PO⊥AB，垂足为O，连接CO，则CO⊥AB，
由平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，
所以PO⊥平面ABC．
以O为坐标原点，以OA，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB=a，∠ABC=θ，
由条件①得S△ABC=12a2sinθ=33，
由条件②得PO=asinθ=3，
由条件③得∠PBO=60∘，即θ=120∘．
若选条件①②，可求得a=23．
B3,0,0，A33,0,0，P0,0,3，C0,3,0，
因而E332,0,32，F332,32,0，
所以BF→=32,32,0，BE→=32,0,32．
设平面BEF的一个法向量m→=x,y,z，
由m→⋅BF→=0,m→⋅BE→=0,
得m→=−3,1,1，
又易知平面BFA的一个法向量n→=0,0,1，
故cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=15=55，
所以二面角E−BF−A的余弦值为55．
若选①③或②③均可求得a=23，下同．
【考点】
两条直线垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
无
无
【解答】
(1)证明：如图(1)，过点E作ED⊥AB，垂足为D，连接DF，
由题意知，△PAB≅△CAB，
易证△EDA≅△FDA，
所以∠EDA=∠FDA=π2，
即FD⊥AB，
因为ED⊥AB，ED∩FD=D，
所以AB⊥平面EFD．
又因为EF⊂平面EFD，
所以EF⊥AB．
(2)解：过P作PO⊥AB，垂足为O，连接CO，则CO⊥AB，
由平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，
所以PO⊥平面ABC．
以O为坐标原点，以OA，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB=a，∠ABC=θ，
由条件①得S△ABC=12a2sinθ=33，
由条件②得PO=asinθ=3，
由条件③得∠PBO=60∘，即θ=120∘．
若选条件①②，可求得a=23．
B3,0,0，A33,0,0，P0,0,3，C0,3,0，
因而E332,0,32，F332,32,0，
所以BF→=32,32,0，BE→=32,0,32．
设平面BEF的一个法向量m→=x,y,z，
由m→⋅BF→=0,m→⋅BE→=0,
得m→=−3,1,1，
又易知平面BFA的一个法向量n→=0,0,1，
故cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=15=55，
所以二面角E−BF−A的余弦值为55．
若选①③或②③均可求得a=23，下同．
【答案】
解：(1)若甲通过测试，则甲的得分X=4或5，
P(X=4)=0.9×0.5×0.5=0.225，
P(X=5)=0.1×0.5×0.5+0.1×0.5=0.025+0.05=0.075，
所以P=P(X=4)+P(X=5)=0.225+0.075=0.3．
(2)Y的可能取值为0，2，3，4，5．
P(Y=0)=0.8×0.6×0.6=0.288，
P(Y=2)=0.8×0.4×0.6+0.8×0.6×0.4=0.384，
P(Y=3)=0.2×0.6×0.6=0.072，
P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128，
P(Y=5)=0.2×0.6×0.4+0.2×0.4=0.128．
(3)甲水平高．
理由如下：甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
互斥事件的概率加法公式
离散型随机变量及其分布列
概率的应用
【解析】
无
无
无
【解答】
解：(1)若甲通过测试，则甲的得分X=4或5，
P(X=4)=0.9×0.5×0.5=0.225，
P(X=5)=0.1×0.5×0.5+0.1×0.5=0.025+0.05=0.075，
所以P=P(X=4)+P(X=5)=0.225+0.075=0.3．
(2)Y的可能取值为0，2，3，4，5．
P(Y=0)=0.8×0.6×0.6=0.288，
P(Y=2)=0.8×0.4×0.6+0.8×0.6×0.4=0.384，
P(Y=3)=0.2×0.6×0.6=0.072，
P(Y=4)=0.8×0.4×0.4=0.128，
P(Y=5)=0.2×0.6×0.4+0.2×0.4=0.128．
(3)甲水平高．
理由如下：甲通过测试的概率0.3大于乙通过测试的概率0.256．
【答案】
解：(1)由抛物线定义，得|PF|=2+p2=3，
得p=2 .
所以抛物线C的标准方程为x2=4y.
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
设直线l的方程为y=kx+4，
联立y=kx+4，x2=4y，消掉y得x2−4kx−16=0，
所以x1+x2=4k，x1x2=−16，
设在点A，B的切线斜率分别为k1，k2，
则k1=x12，k2=x22，
所以在点A的切线方程为y−y1=x12x−x1，
即y=x12x−x124①，
同理可得在点B的切线方程为y=x22x−x224②，
由①②得xQ=x1+x22，
将xQ代入①得yQ=x1x24，
所以Q(2k,−4)，
即点Q在定直线y=−4上；
设点G关于直线y=−4的对称点为G′，则G′0,−12，
因为|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G′Q|≥|G′P|=251，
所以三角形PQG周长取得最小值为|GP|+|G′P|=251+23.
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的定义
抛物线的应用
利用导数研究曲线上某点切线方程
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
（1）由抛物线定义，得|PF|=2+p2=3，
得p=2 .
所以抛物线C的标准方程为x2=4y .
（2）设Ax1,y1,Bx2,y2，
设直线l的方程为y=kx+4，
联立y=kx+4x2=4y消掉x,得3x2−4kx−16=0，
所以x1+x2=4k,x1x2=−16，
设在点A，B的切线斜率分别为k1,k2，则k1=x12,k2=x22，
所以在点A的切线方程为y=y1=x12x−x1，即y=x12x−x1​ ①，
同理可得在点B的切线方程为y=x22x−x224②，
由①②得x0=x1+x22，
将x0带入①得y0=x1x24，
所以Q(2k,−4)，
即点Q在定直线y=−4上；
设点C关于直线y=−4的对称点为G′，则G′0,−12，
因为|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G′|≥|G′P|=25，
所以三角形PQG周长取得最小值为|GP|+|G′P|=251+23 .
【解答】
解：(1)由抛物线定义，得|PF|=2+p2=3，
得p=2 .
所以抛物线C的标准方程为x2=4y.
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
设直线l的方程为y=kx+4，
联立y=kx+4，x2=4y，消掉y得x2−4kx−16=0，
所以x1+x2=4k，x1x2=−16，
设在点A，B的切线斜率分别为k1，k2，
则k1=x12，k2=x22，
所以在点A的切线方程为y−y1=x12x−x1，
即y=x12x−x124①，
同理可得在点B的切线方程为y=x22x−x224②，
由①②得xQ=x1+x22，
将xQ代入①得yQ=x1x24，
所以Q(2k,−4)，
即点Q在定直线y=−4上；
设点G关于直线y=−4的对称点为G′，则G′0,−12，
因为|PQ|+|GQ|=|PQ|+|G′Q|≥|G′P|=251，
所以三角形PQG周长取得最小值为|GP|+|G′P|=251+23.
【答案】
(1)解：由于fe−2=−2e−2，
又f′x=1+lnx，
故切线斜率k=f′e−2=−1，
因此所求切线方程为y+2e−2=−x−e−2，
即y=−x−e−2．
(2)证明：由于f′x=1+lnx，
故x∈0,1e时，f′x<0，fx单调递减，
x∈1e,+∞时，f′x>0，fx单调递增，
x1∈0,1e，x2∈1e,1，
由(1)可知，在e−2,−2e−2点的切线方程为y=−x−e−2，
设y=−x−e−2与y=a的交点横坐标为x3，
即x3=−e−2−a，下证x3由于fx在0,1e单调递减，
故只需证明fx3−fx1>0即可．
事实上设y=fx3−fx1=x3lnx3−a
=x3lnx3+e−2+x3x3∈0,1e，
y′=1+lnx3+1=2+lnx3，
故x3∈0,e−2，y′<0，函数单调递减，
x3∈e−2,e−1，y′>0，函数单调递增，
因此y>y|x3=e−2=0，
即x3又fx在1,0处的切线方程为y=x−1，
设y=x−1与y=a的交点横坐标为x4，
即x4=a+1，下证x4>x2，
由于fx在1e,1单调递增，
故只需证明fx4−fx2>0即可，
事实上设y=fx4−fx2=x4lnx4−a=x4lnx4−x4+1，
y′=1+lnx4−1=lnx4<0，函数在x4∈1e,1单调递减，
y>y|x4=1=0，即x4>x2，
综上易知，x2−x1即x2−x1<1+2a+e−2．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
(1)解：由于fe−2=−2e−2，
又f′x=1+lnx，
故切线斜率k=f′e−2=−1，
因此所求切线方程为y+2e−2=−x−e−2，
即y=−x−e−2．
(2)证明：由于f′x=1+lnx，
故x∈0,1e时，f′x<0，fx单调递减，
x∈1e,+∞时，f′x>0，fx单调递增，
x1∈0,1e，x2∈1e,1，
由(1)可知，在e−2,−2e−2点的切线方程为y=−x−e−2，
设y=−x−e−2与y=a的交点横坐标为x3，
即x3=−e−2−a，下证x3由于fx在0,1e单调递减，
故只需证明fx3−fx1>0即可．
事实上设y=fx3−fx1=x3lnx3−a
=x3lnx3+e−2+x3x3∈0,1e，
y′=1+lnx3+1=2+lnx3，
故x3∈0,e−2，y′<0，函数单调递减，
x3∈e−2,e−1，y′>0，函数单调递增，
因此y>y|x3=e−2=0，
即x3又fx在1,0处的切线方程为y=x−1，
设y=x−1与y=a的交点横坐标为x4，
即x4=a+1，下证x4>x2，
由于fx在1e,1单调递增，
故只需证明fx4−fx2>0即可，
事实上设y=fx4−fx2=x4lnx4−a=x4lnx4−x4+1，
y′=1+lnx4−1=lnx4<0，函数在x4∈1e,1单调递减，
y>y|x4=1=0，即x4>x2，
综上易知，x2−x1即x2−x1<1+2a+e−2．第一列
第二列
第三列
第一行
5
3
2
第二行
4
10
9
第三行
18
8
11
Y
0
2
3
4
5
P
0.288
0.384
0.072
0.128
0.128
Y
0
2
3
4
5
P
0.288
0.384
0.072
0.128
0.128