2020-2021学年山东省潍坊市高一（下）期中考试数学试卷人教B版

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这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高一（下）期中考试数学试卷人教B版，共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2021∘角的终边所在的象限是( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2. 函数fx=lgtanx−1的定义域为（）
A.x|x≠kπ+π2,k∈ZB.x|kπ−π2C.{x|kπ
3. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数．若某种信号的波形对应的函数解析式为fx=sinx+13sinx3，则其部分图像为( )
A.
B.
C.
D.

4. 若α∈−π2,0，则1−sin2α=( )
A.sinα+csαB.−sinα−csαC.sinα−csαD.csα−sinα

5. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90∘的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的前一部分，则阴影部分的面积与矩形ABCD的面积之比为( )

A.34B.14C.π4D.π8

6. 如图，在矩形ABCD中，AB→=a→,AD→=b→，M为CD的中点，BD与AM交于点N，则MN→=( )

A.−16a→−13b→B.16a→−13b→C.16a→+13b→D.−16a→+13b→

7. 已知0<α<β<π2,csα−β=45,sinβ=22，则sinα=( )
A.210B.7210C.−210D.−7210

8. 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为F1，F2，且|F1|=|F2|，F1与F2夹角为θ，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是( )

A.|G→|=|F1→|+|F2→|B.当θ=π2时，|F1→|=22 G→
C.当θ角越大时，用力越省D.当|F1→|=|G→|时，θ=π3
二、多选题

下列四个三角关系式中正确的是( )
A.csπ−1=cs1
B.sin2+π2=cs2
C.tan20∘+tan25∘1−tan20∘tan25∘=−1
D.cs73∘cs28∘+sin73∘sin28∘=22

下列命题中的真命题是（）
A.若a→=(−2,5)，b→=(3,4)，则向量b→在向量a→方向上的投影的数量为145
B.若a→=(1,−3)，则a0→=12,−32是与向量a→方向相同的单位向量
C.若向量a→，b→不共线，则a→−b→与a→一定不共线，
D.若平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别为−2,1，−1,3，3,4，则顶点D的坐标为2,4

已知M，N是函数fx=2cs2ωx+π3−1ω>0的图像与直线y=1的两个不同的交点，若MN的最小值是π，则( )
A.fx=2cs2x+π3−1
B.函数fx在区间0,π2上单调递增
C.y=fx+π12+1是奇函数
D.函数fx的图像关于点7π12,0中心对称

如图，设α∈(0, π)，且α≠π2．当∠xOy=α时，定义平面坐标系xOy为α的斜坐标系，在α的斜坐标系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设e1→，e2→是分别与x轴，y轴正方向相同的单位向量，若OP→=xe1→+ye2→，记OP→=(x, y)，则下列结论中正确的是( )

A.设a→=(m, n)，b→=(s, t)，若a→=b→，则m=s，n=t
B.设a→=(m, n)，则|a→|=m2+n2
C.设a→=(m, n)，b→=(s, t)，若a→ // b→，则mt−ns=0
D.设a→=(1, 2)，b→=(2, 1)，若a→与b→的夹角π3，则α=2π3
三、填空题

已知A，B，C，D是平面上四个点，则AB→−CB→+CD→=________.

已知|fx=csωx+φω>0,0<φ<π2的图像过点0,12，要使该函数解析式为fx=cs2x+π3，还应该给出的一个条件是________.

已知函数fx=sinωx+π4ω>0满足|fx1−fx2|=2的|x1−x2|的最小值为π4，则ω=________，直线y=13与函数y=fx在0,π上的图像的所有交点的横坐标之和为________．

潍坊的传统民间工艺有着悠久的历史和深厚的文化底蕴．为弘扬民族文化，潍坊某中学开展劳动实习，学生到一个铸造厂学习铁皮裁剪技术，如图所示，铁皮原料的边界由一个半径为R的半圆弧（点O为圆心）和直径MN围成，甲班学生决定将该铁皮原料裁剪成一个矩形ABCD，则当该矩形ABCD的周长最大时，tanα=________.

四、解答题

如图所示，在直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点O重合，始边落在x轴的正半轴上，终边与单位圆的交点为P−45,y0，其中y0>0．

(1)求y0和sinα，csα，tanα的值；

(2)求csπ2−α+csα+2πsinα−cs−α的值．

已知向量a→=2,−3，向量b→=4,2，向量c→=3,m（其中m∈R），且2a→+b→⊥c→．
(1)求a→⋅b→的值和|c→|；

(2)若AB→=2a→+b→，BC→=b→+λc→，且A，B，C三点共线，求实数λ的值．

三角函数中有许多形式简洁，含义隽永的数学等式．某学习小组在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同一个常数：
甲：sin267.5∘+cs267.5∘−2sin67.5∘cs67.5∘；
乙：sin241∘+cs294∘−2sin41∘cs94∘；
丙：sin237∘+cs298∘−2sin37∘cs98∘；
丁：sin2−25∘+cs2160∘−2sin−25∘cs160∘．
(1)请从上述四个式子中任选一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，请将结论推广为一个三角恒等式，并证明你的结论．

将形如a11a12a21a22的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：a11a12a21a22=a11a22−a12a21．已知两个不共线的向量a→，b→的夹角为θ，|a→|=6，|b→|=t（其中t>0）且t2sinπ42csπ31=1.
(1)若θ为钝角，试探究a→+b→与a→−5b→能否垂直？若能，求出csθ的值；若不能，请说明理由；

(2)若θ=π3，当k>0时，求|a→−4kb→|的最小值并求出此时a→与a→−4kb→的夹角．

潮汐现象是发生在沿海地区的一种自然现象，是指海水在天体（主要是月球和太阳）引潮力作用下所产生的周期性运动，我们把海面垂直方向涨落称为潮汐，地球上不同的地点潮汐规律不同．
下表给出了某沿海港口在一天（24小时）中海水深度的部分统计数据：

(1)请结合表中数据，在给出的平面直角坐标系中，选择合适的点，画出该港口在一天24小时中海水深度ℎ与时间t的函数图像，并根据你所学知识，请从ℎt=at2+bt+ca>0，ℎt=2t，ℎt=Asinωt+φ+BA>0,ω>0,|φ|<π2，ℎt=Acsωt+φ+BA>0,ω>0,|φ|<π2，这四个函数解析式中，选取一个合适的函数模型描述该港口一天24小时内水深ℎ与时间t的函数关系，求出其解析式；

(2)现有一货轮需进港卸货，并在白天进行物资补给后且于当天晚上离港．已知该货轮进港时的吃水深度（水面到船底的距离）为10米，卸货后吃水深度减小0.8米，根据安全航行的要求，船底至少要留出2.8米的安全间隙（船底到海底的距离），如果你是船长，请你规划货轮的进港、离港时间，并计算出货轮在该港口停留的最短时长．
（参考数据：2≈1.4,3≈1.7）

已知函数fx=2sinx2csx2+23cs2x2−3 .
(1)求函数fx的单调递增区间；

(2)若不等式|fx−m|≤3对任意x∈−π6,π3恒成立，求整数m的最大值；

(3)若函数gx=fπ2−x，将函数gx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移π12个单位，得到函数y=ℎx的图像，若关于x的方程12ℎx−ksinx+csx=0在x∈−π12,5π12上有解，求实数k的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
象限角、轴线角
终边相同的角
【解析】
由题意，根据角的范围来判断该角终边所在象限.
【解答】
解：已知2021∘=5×360∘+221∘，
而180∘<220∘<270∘，
所以2021∘角的终边所在的象限是第三象限.
故选C.
2.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
由题意，令真数必要大于零得到正切值的大小，再进行求解即可.
【解答】
解：已知函数f(x)=lg(tanx−1)，
因为tanx−1>0，即tanx>1，
所以kπ+π4所以函数f(x)的定义域为{x|kπ+π4故选D.
3.
【答案】
B
【考点】
正弦函数的图象
函数的图象
【解析】
根据x=π2和x=π时函数的值排除选项即可得解.
【解答】
解：f(−x)=−sinx−13sinx3=−f(x)，故函数f(x)为奇函数，
当x=π时，f(π)=sinπ+13sinπ3=0+13×32=36>0.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
三角函数值的符号
【解析】
由题可得sinα<0，csα>0，再根据同角三角函数的基本关系即可得解.
【解答】
解：因为α∈(−π2,0)，
所以sinα<0，csα>0，
所以1−sin2α=1−2sinαcsα
=sinα−csα2=csα−sinα.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
扇形面积公式
【解析】
根据扇形的面积公式求出阴影部分面积，根据矩形面积公式求出矩形ABCD的面积，进而求出答案
【解答】
解：矩形长为8+5=13，宽为5+3=8，
所以面积S矩=13×8=104，
而阴影部分由5个部分组成，
则S阴=14π(12+12+22+32+52+82)=104π4，
则阴影部分的面积与矩形ABCD的面积之比为 104π4104=π4.
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
平面向量的基本定理
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】
由题可知△MND∼△ANB，根据三角形的相似性得到DMAB=MNAN=DNNB=12，即MN→=−13AM→，再用AD→,AB→表示出AM→即可得解.

【解答】
解：由题可知△MND∼△ANB，
因为M为CD的中点，
所以DMAB=MNAN=DNNB=12，
则MN→=−13AM→
=−13AD→+DM→
=−13AD→−13DM→
=−13AD→−13×12AB→
=−13b→−16a→.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
三角函数的化简求值
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
先根据a和β的范围求得sinα−β和csβ的值，进而利用正弦的两角和公式求得答案．
【解答】
解：因为0<α<β<π2，
所以−π2<α−β<0，
因为cs(α−β)=45，sinβ=22，
所以sin(α−β)=1−cs2(α−β)=−35，csβ=1−sin2β=22,
sinα=sinα−β+β
=sinα−βcsβ+csα−βsinβ
=−35×22+45×22
=210.
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
向量在物理中的应用
平面向量数量积
【解析】

【解答】
解：A，由题可得−G→=F1→+F2→ ，所以G→2=F1→2+F2→2+2F1→⋅F2→csθ=2F1→21+csθ，
由G→=F1→+F2→可得G→2=F1→2+F2→2+2F1→⋅F2→，故A错误；
B，当θ=π2时，G→2=2F1→21+csπ2=2F1→2，所以F1→=22G→，故B正确；
C，当θ∈[0,π)时， y=csθ在θ∈[0,π)上单调递减，所以F1→大小变大，故C错误；
D，当F1→=G→时，1+csθ=12，所以csθ=−12，所以θ=2π3+2kπ，k∈Z.∵ θ∈[0，π)，∴ θ=2π3，故D错误.
故选B.
二、多选题
【答案】
B,D
【考点】
两角和与差的正切公式
两角和与差的余弦公式
运用诱导公式化简求值
【解析】
根据诱导公式和两角和与差的三角函数公式逐一化简即可得解.
【解答】
解：A，cs(π−1)=−cs1，故A错误；
B，sin(2+π2)=cs2，故B正确；
C，tan20∘+tan25∘1−tan20∘tan25∘=tan20∘+25∘=tan45∘=1，故C错误；
D，cs73∘cs28∘+sin73∘sin28∘
=cs73∘−28∘=cs45∘=22，故D正确.
故选BD.
【答案】
B,C
【考点】
平行向量的性质
向量的共线定理
向量的投影
【解析】
由题意，结合投影的运算、单位向量的性质、向量共线的性质和平面向量的坐标运算，结合选项进行逐一分析即可求解.
【解答】
解：对于选项A，已知a→=(−2,5)，b→=(3,4)，
则b→在a→方向上的投影为|b→|⋅cs=a→⋅b→|a→|
=−6+20(−2)2+52=142929，故选项A错误；
对于选项B，已知a→=(1,−3)，则该向量方向相同的单位向量a0→=a→|a→|=(12,−32)，故选项B正确；
对于选项C，若a→−b→与a→共线，
此时a→−b→=ka→，k∈R，
则(k−1)a→=−b→，a→=b→1−k，可得a→和b→共线，其矛盾，
所以a→−b→与a→一定不共线，故选项C正确；
对于选项D，因为ABCD为平行四边形，不妨设D(x,y)，
则(−1,3)−(−2,1)=−(x,y)+(3,4)，整理得(x,y)=(2,2)，
所以D(2,2)，故选项D错误；
综上得，选项正确的有BC.
故选BC.
【答案】
A,C
【考点】
余弦函数的对称性
函数解析式的求解及常用方法
余弦函数的单调性
余弦函数的奇偶性
【解析】
根据题意求出函数的解析式，再根据余弦函数的性质逐一判断选项即可得解.
【解答】
解：A，因为fx=2cs2ωx+π3−1的最大值为fxmax=2×1−1=1，
由题可知函数fx的图像与y=1两个不同的交点为极大值点，
因为MN的最小值为π，
所以T=2π2ω=π，
所以ω=1，
所以fx=2cs2x+π3−1，故A正确；
B，由于0C，y=fx+π12+1
=2cs2x+π12+π3+1−1=−2sin2x，为奇函数，故C正确．
D，因为f7π12=2cs2×7π12+π3−1=−1，所以函数fx的图像不关于7π12,0对称，故D错误.
故选AC.
【答案】
A,C,D
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
平面向量的坐标运算
【解析】
把新定义回归到向量的数量积的运算对每个结论进行验证，即可得出结论．
【解答】
解：根据题意易得，故A正确；
|a→|=|me1→+ne2→|=m2+n2+2mncsα，∵ α≠π2，故B错误；
由a→ // b→得b→=λa→，∴ s=λm，t=λn，∴ mt−ns=0，故C正确；
根据夹角公式得4+5e1→⋅e2→=(5+4e1→⋅e2→)csπ3，
故e1→⋅e2→=−12，即csα=−12，则α=2π3，故D正确.
故选ACD．
三、填空题
【答案】
AD→
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
直接相加即可.
【解答】
解：AB→−CB→+CD→=AB→+BC→+CD→
=AC→+CD→=AD→.
故答案为：AD→.
【答案】
ω=2或周期T=π
【考点】
余弦函数的图象
余弦函数的周期性
【解析】
由题可知csφ=12，则φ=π3+2kπ,k∈Z，根据0<φ<π2，则φ=π3，要是该函数解析式为f(x)=cs(2x+π3)，可得ω=2.

【解答】
解：函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图像过点(0,12)，
所以csφ=12，
所以φ=π3+2kπ,k∈Z，
因为0<φ<π2，
所以φ=π3，
所以f(x)=cs(ωx+π3)，
要使该函数解析式为f(x)=cs(2x+π3)，
则ω=2或周期T=π.
故答案为：ω=2或周期T=π.
【答案】
4,9π4
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的性质
正弦函数的图象
根的存在性及根的个数判断
【解析】

【解答】
解：根据正弦型函数fx=sinωx+π4的图象与性质知，当|fx1−fx2|=2时，|x1−x2|min=π4,
所以fx的最小正周期是T=2×π4=π2，
所以ω=2πT=2ππ2=4，
所以fx=sin4x+π4，
x∈0,π，则4x+π4∈π4,17π4，
令t=4x+π4，t∈(π4，17π4)，
则ft=sint，t∈π4,17π4，
当ft=13时，在t∈π4,17π4上有4个交点，
如图：
设横坐标分别为t1，t2，t3，t4，对应的x分别为x1，x2，x3，x4，
则t1+t2=3π，t3+t4=7π，
所以4x1+π4+4x2+π4+4x3+π4+4x4+π4=10π，
所以x1+x2+x3+x4=94π，
所以y=13与函数fx=sin4x+π4在x∈0,π上的图像的所有交点的横坐标之和为9π4.
故答案为：4；9π4.
【答案】
12
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
两角和与差的正弦公式
任意角的三角函数
【解析】
设OB=x,则AB=R2−x2，可得ABCD的周长为C=4x+2R2−x2，令fx=4x+2R2−x2，求出其导数，令f′x0=0，则2R2−x02=x0，可知函数fx在x=x0时有最大值，此时周长最大，进而求解tanα=R2−x02x0=R2−x022R2−x02=12.

【解答】
解：矩形ABCD的周长=4Rcsα+2Rsinα
=25Rsin(α+φ)，tanφ=2，
∴ 矩形ABCD周长最大为25R.
设AB=x，BC=2y，
则x2+y2=R2,x+2y=5R,
解得x=5R5,y=25R5,
故tanα=xy=12.
故答案为：12.
四、解答题
【答案】
解：(1)由题意，|OP|=1，
所以−452+y02=1，
所以y0=±35，
又因为y0>0，
所以y0=35，
则sinα=35，csα=−45，
所以tanα=−34．
(2)csπ2−α+csα+2πsinα−cs(−α)=sinα+csαsinα−csα
=tanα+1tanα−1=−34+1−34−1=−17．
【考点】
单位圆与周期性
任意角的三角函数
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意，|OP|=1，
所以−452+y02=1，
所以y0=±35，
又因为y0>0，
所以y0=35，
则sinα=35，csα=−45，
所以tanα=−34．
(2)csπ2−α+csα+2πsinα−cs(−α)=sinα+csαsinα−csα
=tanα+1tanα−1=−34+1−34−1=−17．
【答案】
解：(1)因为a→=2,−3，b→=4,2，
a→⋅b→=8−6=2，2a→+b→=4,−6+4,2=8,−4，
因为(2a→+b→)⊥c→，
因为(2a→+b→)⋅c→=(8,−4)⋅(3,m)=24−4m=0，
所以m=6，
故c→=3,6，|c→|=9+36=35．
(2)因为a→=(2,−3)，b→=4,2，c→=3,6，
所以AB=2a→+b→=8,−4，BC→=b→+λc→=4+3λ,2+6λ．
即(8,−4)=k(4+3λ,2+6λ)，
所以4k+3λk=8,2k+6λk=−4,
解得：k=103,λ=−815,
故λ的值为−815．
【考点】
平面向量数量积的运算
平面向量的坐标运算
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)因为a→=2,−3，b→=4,2，
a→⋅b→=8−6=2，2a→+b→=4,−6+4,2=8,−4，
因为(2a→+b→)⊥c→，
因为(2a→+b→)⋅c→=(8,−4)⋅(3,m)=24−4m=0，
所以m=6，
故c→=3,6，|c→|=9+36=35．
(2)因为a→=(2,−3)，b→=4,2，c→=3,6，
所以AB=2a→+b→=8,−4，BC→=b→+λc→=4+3λ,2+6λ．
即(8,−4)=k(4+3λ,2+6λ)，
所以4k+3λk=8,2k+6λk=−4,
解得：k=103,λ=−815,
故λ的值为−815．
【答案】
解：(1)选甲时，sin267.5∘+cs267.5∘−2sin67.5∘cs67.5∘
=1−22sin135∘，
=1−22×22=12．
(2)sin2α+cs2(135∘−α)−2sinαcs(135∘−α)=12，
证明：左边=sin2α+−22csα+22sinα2
−2sinα−22csα+22sinα，
=sin2α+12cs2α−sinαcsα+12sin2α+sinαcsα−sin2α，
=12cs2α+12sin2α=12．
【考点】
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的余弦公式
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)选甲时，sin267.5∘+cs267.5∘−2sin67.5∘cs67.5∘
=1−22sin135∘，
=1−22×22=12．
(2)sin2α+cs2(135∘−α)−2sinαcs(135∘−α)=12，
证明：左边=sin2α+−22csα+22sinα2
−2sinα−22csα+22sinα，
=sin2α+12cs2α−sinαcsα+12sin2α+sinαcsα−sin2α，
=12cs2α+12sin2α=12．
【答案】
解：(1)由题意得，t−22sinπ4csπ3=t−1=1，所以t=2，即|b→|=2，
则a→⋅b→=6×2csθ=12csθ，
∴a→+b→⋅a→−5b→=|a→|2−4a→⋅b→−5|b→|2
=36−48csθ−20=16−48csθ ,
∵θ为钝角，
∴csθ<0，
故a→+b→⋅a→−5b→=16−48csθ>0，
故a→+b→与a→−5b→不可能垂直．
(2)∵θ=π3，
∴a→⋅b→=6×2×csπ3=6，
∴|a→−4kb→|2=|a→|2−8ka→⋅b→+16k2|b→|2
=36−48k+64k2=64k−382+27，
当k=38时，|a→−4kb→|min2=27，
∴|a→−4kb→|min=33 ，
此时a→−4kb→=a→−32b→，
∵a→⋅(a→−32b→)=|a→|2−32a→⋅b→=36−9=27，
∴cs=a→⋅(a→−32b→)|a→|⋅|a→−32b→|=276×33=32，
又∵∈[0,π]，
∴=π6.
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由题意得，t−22sinπ4csπ3=t−1=1，所以t=2，即|b→|=2，
则a→⋅b→=6×2csθ=12csθ，
∴a→+b→⋅a→−5b→=|a→|2−4a→⋅b→−5|b→|2
=36−48csθ−20=16−48csθ ,
∵θ为钝角，
∴csθ<0，
故a→+b→⋅a→−5b→=16−48csθ>0，
故a→+b→与a→−5b→不可能垂直．
(2)∵θ=π3，
∴a→⋅b→=6×2×csπ3=6，
∴|a→−4kb→|2=|a→|2−8ka→⋅b→+16k2|b→|2
=36−48k+64k2=64k−382+27，
当k=38时，|a→−4kb→|min2=27，
∴|a→−4kb→|min=33 ，
此时a→−4kb→=a→−32b→，
∵a→⋅(a→−32b→)=|a→|2−32a→⋅b→=36−9=27，
∴cs=a→⋅(a→−32b→)|a→|⋅|a→−32b→|=276×33=32，
又∵∈[0,π]，
∴=π6.
【答案】
解：(1)可选择以下6个点：(0,13.4)，(2,14)，(8,10)，(14,6)，(20,10)，(24,13.4) ，其图像如下：
选法—：设选取的函数解析式为：ℎt=Asinωt+φ+BA>0,w>0,|φ|<π2，
由题意得：T2=12，
∴T=24，w=π12，
又∵ℎ(t)max=ℎ(2)=A+B=14,ℎ(t)min=ℎ(14)=−A+B=6,
解得A=4，B=10，
∴ℎt=4sinπ12t+φ+10，
由ℎ(2)=4sinπ6+φ+10=14,
得sin(π6+φ)=1，
∴φ=2kπ+π3，k∈Z，
又|φ|<π2，
∴当k=0时，φ=π3，
∴ℎ(t)=4sin(π12t+π3)+10，t∈[0,24]．
选法二：设选取的函数解析式为：ℎt=Acsωt+φ+BA>0,w>0,|φ|<π2，
求解过程同上，可得ℎ(t)=4cs(π12t−π6)+10，t∈[0,24]．
(2)根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，
由ℎ(t)=4sin(π12t+π3)+10≥12.8，
解得：4sinπ12t+π3≥2.8，
即sinπ12t+π3≥1.42=22，
∴2kπ+π4≤π12t+π3≤2kπ+3π4，k∈Z，
故24k−1≤t≤24k+5，k∈Z，
又∵t∈[0,24]，
∴0≤t≤5，
∴可安排货轮在0时到5时之间进港，
货轮安全离港的水深要求至少达到12米，
根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时．
综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．
【考点】
在实际问题中建立三角函数模型
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的定义域和值域
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)可选择以下6个点：(0,13.4)，(2,14)，(8,10)，(14,6)，(20,10)，(24,13.4) ，其图像如下：
选法—：设选取的函数解析式为：ℎt=Asinωt+φ+BA>0,w>0,|φ|<π2，
由题意得：T2=12，
∴T=24，w=π12，
又∵ℎ(t)max=ℎ(2)=A+B=14,ℎ(t)min=ℎ(14)=−A+B=6,
解得A=4，B=10，
∴ℎt=4sinπ12t+φ+10，
由ℎ(2)=4sinπ6+φ+10=14,
得sin(π6+φ)=1，
∴φ=2kπ+π3，k∈Z，
又|φ|<π2，
∴当k=0时，φ=π3，
∴ℎ(t)=4sin(π12t+π3)+10，t∈[0,24]．
选法二：设选取的函数解析式为：ℎt=Acsωt+φ+BA>0,w>0,|φ|<π2，
求解过程同上，可得ℎ(t)=4cs(π12t−π6)+10，t∈[0,24]．
(2)根据题意可知：货轮安全进港的水深至少达到12.8米，
由ℎ(t)=4sin(π12t+π3)+10≥12.8，
解得：4sinπ12t+π3≥2.8，
即sinπ12t+π3≥1.42=22，
∴2kπ+π4≤π12t+π3≤2kπ+3π4，k∈Z，
故24k−1≤t≤24k+5，k∈Z，
又∵t∈[0,24]，
∴0≤t≤5，
∴可安排货轮在0时到5时之间进港，
货轮安全离港的水深要求至少达到12米，
根据表中数据可知最早在晚上22时后水深符合要求，可安全离港，货轮在港时间最短为17个小时．
综上规划决策如下：应安排货轮最晚在凌晨5时进港，最早在晚上22时离港，在港时间最短为17个小时．
【答案】
解：(1)由题意得，
fx=2sinx2csx2+23cs2x2−3
=sinx+32cs2x2−1
=sinx+3csx
=2sinx+π3，
由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
可得函数fx的单调递增区间为−5π6+2kπ,π6+2kπ，k∈Z.
(2)因为x∈−π6,π3，所以π6≤x+π3≤2π3，
所以12≤sinx+π3≤1，
所以当x=−π6时，fx的最小值为1；当x=π6时，fx的最大值为2，
所以1≤fx≤2．
由题意得，−3≤fx−m≤3，所以m−3≤fx≤m+3对一切x∈−π6,π3恒成立，
所以m−3≤1,m+3≥2.解得−1≤m≤4，
所以整数m的最大值为4．
(3)由题意知，gx=fπ2−x=2sinπ2−x+π3=2sinx+π6，
将函数gx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），
得y=2sin2x+π6，
再向右平移π12个单位得ℎx=2sin2x−π12+π6=2sin2x，
因为关于x的方程12ℎx−ksinx+csx=0在区间−π12,5π12上有解，
整理得：sin2x−ksinx+csx=0，
即2sinxcsx−ksinx+csx=0∗在区间−π12,5π12上有解，
令t=sinx+csx=2sinx+π4∈22,2，
∗可转化为:t2−kt−1=0在t∈[22,2]内有解，
所以k=t−1t，t∈22,2，
又因为y=t和y=−1t在t∈[22,2]为增函数，
所以y=t−1t在22,2为增函数，
所以当t=22时，k=t−1t取得最小值−22；当t=2时，k=t−1t取得最大值22，
所以k∈−22,22，
综上所述：k的取值范围为−22,22 ．
【考点】
三角函数中的恒等变换应用
正弦函数的单调性
三角函数的最值
三角函数的恒等变换及化简求值
根的存在性及根的个数判断
【解析】

【解答】
解：(1)由题意得，
fx=2sinx2csx2+23cs2x2−3
=sinx+32cs2x2−1
=sinx+3csx
=2sinx+π3，
由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−5π6+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
可得函数fx的单调递增区间为−5π6+2kπ,π6+2kπ，k∈Z.
(2)因为x∈−π6,π3，所以π6≤x+π3≤2π3，
所以12≤sinx+π3≤1，
所以当x=−π6时，fx的最小值为1；当x=π6时，fx的最大值为2，
所以1≤fx≤2．
由题意得，−3≤fx−m≤3，所以m−3≤fx≤m+3对一切x∈−π6,π3恒成立，
所以m−3≤1,m+3≥2.解得−1≤m≤4，
所以整数m的最大值为4．
(3)由题意知，gx=fπ2−x=2sinπ2−x+π3=2sinx+π6，
将函数gx的图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），
得y=2sin2x+π6，
再向右平移π12个单位得ℎx=2sin2x−π12+π6=2sin2x，
因为关于x的方程12ℎx−ksinx+csx=0在区间−π12,5π12上有解，
整理得：sin2x−ksinx+csx=0，
即2sinxcsx−ksinx+csx=0∗在区间−π12,5π12上有解，
令t=sinx+csx=2sinx+π4∈22,2，
∗可转化为:t2−kt−1=0在t∈[22,2]内有解，
所以k=t−1t，t∈22,2，
又因为y=t和y=−1t在t∈[22,2]为增函数，
所以y=t−1t在22,2为增函数，
所以当t=22时，k=t−1t取得最小值−22；当t=2时，k=t−1t取得最大值22，
所以k∈−22,22，
综上所述：k的取值范围为−22,22 ．时间t（时）
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
水深ℎ（米）
13.4
14
13.4
12
10
8
6.6
6
6.6
8
10
12
13.4