2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）10月新高考质量测评数学试卷人教B版

这是一份2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）10月新高考质量测评数学试卷人教B版，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 点P3,4,−5关于xOz平面对称的点的坐标是( )
A.3,4,5B.3,−4,−5C.−3,4,−5D.−3,−4,5

2. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45∘的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为( )

A.2B.42 C.82D.22

3. 如图，在三棱锥A−BCD中，点F在棱AD上，且AF=3FD，E为BC中点，则FE→等于( )

A.−12AC→−12AB→+34AD→
B.12AC→+12AB→−34AD→
C.−12AC→+12AB→−23AD→
D.12AC→−12AB→+23AD→

4. 已知α⊥β且α∩β=l，m⊂α，则“m⊥β”是“m⊥l”的( ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（ ）
A.3πB.3π2C.5π2D.5π

6. 在我们身边，随处都可以看到各种物体的影子．现有一边长为5米的正方形遮阳布，要用它搭建一个简易遮阳棚，正方形遮阳布所在平面与东西方向的某一条直线平行．设正南方向射出的太阳光线与地面成60∘角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为( )

A.30∘B.45∘ C.60∘D.75∘

7. 将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为( )
A.12B.22C.32D.63

8. 如图，在三棱锥P−ABC中，BC⊥平面PAC，PA⊥AB，PA=AB=4，且E为PB的中点，AF⊥PC于F，当AC变化时，则三棱锥P−AEF体积的最大值是( )

A.223B.2C.423D.523
二、多选题

下面关于空间几何体叙述不正确的是（ ）
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.棱柱的侧面都是平行四边形
C.直平行六面体是长方体
D.直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥

设a→,b→,c→是空间的一组基底，则下列结论正确的是( )
A.a→，b→，c→可以为任意向量
B.对空间任一向量p→，存在唯一有序实数组x,y,z，使p→=xa→+yb→+zc→
C.若a→⊥b→，b→⊥c→，则a→⊥c→
D.a→+2b→,b→+2c→,c→+2a→可以作为构成空间的一组基底

如图，有一正四面体形状的木块，其棱长为a，点P是△ACD的中心．劳动课上，需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB和CD，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）

A.截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABD
B.截面是一个三角形
C.截面是一个四边形
D.截面的面积为a24

如图，已知二面角A−BD−C的大小为π3，G，H分别是BC，CD的中点，E，F分别在AD，AB上，AEAD=AFAB=13，且AC⊥平面BCD，则以下说法正确的是( )

A.E，F，G，H四点共面
B.FG//平面ADC
C.若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线
D.若△ABD的面积为6，则△BCD的面积为3
三、填空题

在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠PBA=45∘，∠PBC=60∘，则∠ABC为________.

如图，已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=60∘．M为CC1的中点，则AM长度为________.


如图，在四面体A−BCD中，△ABC为正三角形，四面体的高AH=3，若二面角A−BC−D的大小为π3，则△ABC的面积为________.


《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”．书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（bie na）．如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则该三棱锥即为鳖臑．若AB=2且三棱锥外接球的体积为36π，则PB+AC长度的最大值是________.

四、解答题

已知a→=x,−1,3，b→=1,2,−1，c→=1,0,1，c→//(2a→+b→).
(1)求实数x的值；

(2)若(a→−b→)⊥(λa→+b→)，求实数λ的值．

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为对角线BD1的中点，E为C1D1的中点．
(1)求异面直线DP与BC1所成角的大小；

(2)若平面PB1E∩平面BCC1B1=m，求证：PE//m.

如图，在三棱锥P−ABC中，点M，N分别在棱PC，AC上，且N为AC的中点．

(1)当M为PC的中点时，求证：MN//平面PAB；

(2)若平面PAB⊥平面ABC，BC⊥PA，求证：BN=12CA.

如图，平行四边形ABCD的边AD所在的直线与菱形ABEF所在的平面垂直，且GB=GE，AE=AF.
(1)求证：平面ACG⊥平面ADF；

(2)若AF=2，________，求二面角C−AG−F的余弦值．从①BC=2AB，②BC=AG这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题．

如图，已知三棱台ABC−A1B1C1中，平面BCC1B1⊥平面ABC，△ABC是正三角形，侧面BCC1B1是等腰梯形，AB=2BB1=2B1C1=4，E为AC的中点．

(1)求证：AA1⊥BC；

(2)求直线EB1与平面ABB1A1所成角的正弦值．

如图，正方形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，动点P在线段EF（包含端点E，F）上，M，N分别为AB，BC的中点，AB=2DE=2.
(1)若P为EF的中点，求点N到平面PDM的距离；

(2)设平面PDM与平面ABCD所成的锐角为θ，求csθ的最大值并求出此时点P的位置．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山东省潍坊市高二（上）10月新高考质量测评数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
空间中的点的坐标
【解析】
两点关于xOz平面对称，则这两个点的横，竖坐标不变，纵坐标互为相反数，据此求解.
【解答】
解：在空间直角坐标系中，点P(3, 4, −5)关于xOz平面对称的点的坐标，y轴为相反数，x轴与z轴坐标不变，
故对称点坐标为(3, −4, −5).
故选B.
2.
【答案】
C
【考点】
斜二测画法画直观图
【解析】
根据在斜二测画法中，原图面积与直观图的面积比值为22直接解题即可．
【解答】
解：根据斜二测画法的规则可知该平面图形是直角梯形，
∵ 在斜二测画法中，原图面积是直观图面积的22倍，
∴ 所求梯形的面积是22×4=82.
故选C.
3.
【答案】
B
【考点】
空间向量的加减法
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
直接利用向量的线性运算FE→=AE→−AF→=12AB→+12AC→−34AD→=12AC→+12AB→−34AD→即可求出结果．
【解答】
解：在三棱锥A−BCD中，点F在AD上，且AF=3FD，E为BC中点，
所以FE→=AE→−AF→=12AB→+12AC→−34AD→
=12AC→+12AB→−34AD→.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
利用面面垂直线面垂直判定和性质和充要条件的定义即可判断．
【解答】
解：由于α⊥β，α∩β=l，m⊂α，
若m⊥l，根据线面垂直的判断定理，则m⊥β，
若m⊥β，根据线面垂直的性质定理，则m⊥l，
故平面α⊥β，α∩β=l，m⊂α，则“m⊥β”是“m⊥l”成立的充要条件．
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
柱体、锥体、台体的侧面积和表面积
【解析】
设圆柱底面半径是r，高是ℎ，因为轴截面正方形，那么2r=2，ℎ=2，根据勾股定理得到圆锥的母线长，最后根据圆锥的侧面积公式12lR，其中l为圆锥的底面周长，R为圆锥的母线长，即可得到答案.
【解答】
解：设圆柱底面半径是r，高是ℎ，
∵ 轴截面是正方形，
∴ 2r=2，ℎ=2，
∴ 圆锥的底面半径r=1，高ℎ=2，
∴ 圆锥的母线长为12+22=5，
圆锥的底面周长为2πr=2π，
∴ 圆锥的侧面积为12×2π×5=5π.
故选D.
6.
【答案】
A
【考点】
平行投影及平行投影作图法
【解析】
分析题意，作出草图，借助平行投影，即可求出结果.
【解答】
解：如图：
由题意可知，要使得阴影面积最大，此时遮阳布与光线的方向垂直，
即AB⊥AM，作EN//AB，
则EN⊥AM，由题意∠AMN=60∘，
所以∠ENM=30∘，
即遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为30∘.
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
正方形ABCD边长为2，根据三角形中位线定理，得到则FG∥CD，EG∥AB，进而得到∠FGE为异面直线AB与CD所成的角，是解答本题的关键．然后根据等腰直角三角形和正方形的性质，计算出△EFG各边的长，即可得到△EFG是等边三角形，从而得到答案.
【解答】
解：取AC，BD，BC中点依次为E，F，G，
连接BD，EF，EG，FG，DE，EB，
则FG//CD，EG//AB，
∴ ∠FGE为异面直线AB与CD所成的角.
正方形边长为2，则FG=22，EG=22，
在等腰直角三角形ABC中，
∵ AB=BC=2，
∴ AC=2.
∵ 点E为AC的中点，
∴ BE=12AC=1，
同理可得，DE=1.
∵ BE2+DE2=2=BD2，
∴ △BED是等腰直角三角形.
又∵ 点F为BD的中点，
∴ EF=12BD=22.
在△EFG中，FG=EG=EF=22，
∴ △EFG是等边三角形，
∴ ∠FGE=60∘，
∴ cs∠FGE=cs60∘=12.
故选A.
8.
【答案】
C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
利用几何体的特征，表示体积，再设边长，并表示体积，利用函数求出最值即可.
【解答】
解：∵ BC⊥平面PAC，
∴ AC⊥BC.
设AC=x，则BC=16−x2，
∵ AF⊥PC，
∴ AF=4x16+x2，PF=1616+x2.
∵ E为PB中点，BC⊥平面PAC，
∴ VE−PAF的高ℎ=12BC=16−x22，
∴ VP−AEF=VE−PAF=13⋅ℎ⋅S△PAF
=13×16−x22×12×4x16+x2×1616+x2
=163⋅x16−x216+x2，
令t=16+x2≥16，
则VP−AEF=163×t−1632−tt
=163×1−16t32t−1，
令a=1t≤116，
则VP−AEF=163×(1−16a)(32a−1)，
所以当a=364时，VP−AEF 取最大值为163×122=423.
故选C.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
棱锥的结构特征
棱柱的结构特征
【解析】
利用棱，锥的定义判断即可.
【解答】
解：A，正棱柱的侧棱要垂直底面，故A不正确；
B，棱柱的侧面均是平行四边形，故B正确；
C，直平行六面体是底面是平行四边形的直四棱柱，故不一定是长方体，故C不正确；
D，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，故D不正确.
故选ACD.
【答案】
B,D
【考点】
空间向量的基本定理及其意义
【解析】
利用空间向量基底的条件即可判断.
【解答】
解：A，作为基底a→，b→，c→的空间向量不能共面，故A错误；
B，为空间向量的基本定理，故B正确；
C，若a→⊥b→，b→⊥c→，可能a→//c→，故C错误；
D，假设三个向量共面，则存在实数对x,y，使得c→+2a→=xa→+2b→+yb→+2c→,
则有x=2，2y=1，2x+y=0，方程组无解，可见三个向量不共面，可以作为基底，故D正确.
故选BD.
【答案】
A,C
【考点】
截面及其作法
【解析】
利用线面平行的判定与性质先完成截面，利用正四面体的性质得AB⊥CD，可得解.
【解答】
解：在△ACD中，过点P做EF//CD，分别交AC，AD于E，F，
由P为△ACD的中心，得EF=23CD，
在平面ABC，平面ABD内做EH//AB，FG//AB交BC，BD于H，G，
连接HG，则四边形EFGH为所求做的截面，
故EH//平面ABD，故A正确；
由正四面体得AB⊥CD可得截面为长方形，故B错误，C正确；
且EF=23a，EH=13a，所以截面面积为S=29a2，故D错误.
故选AC.
【答案】
A,C,D
【考点】
二面角的平面角及求法
平行公理
平面的基本性质及推论
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，由题意，G，H分别是BC，CD的中点，
则有GH//BD，且GH=12BD，
同样地，由E，F分别在AD，AB上，
且AEAD=AFAB=13可知EF//BD，且EF=13BD，
于是有GH//EF，所以E，F，G，H四点共面，故A正确；
B，由GH=12BD，EF=13BD可知四边形EFGH为梯形，
所以FG与EH相交，从而FG不可能与平面ADC平行，故B错误；
C，由F,G在平面ABC中，E,H在平面ACD中，可知若直线FG与HE相交于P，
则交点P在平面ABC与平面ACD的交线，即AC上，
所以P，A，C三点共线，故C正确；
D，由二面角A−BD−C大小为π3，AC⊥平面BCD，且△ABD的面积为6，
则有S△BCDS△ABD=csπ3，即S△BCD=12×S△ABD=3，故D正确.
综上，正确的选项是ACD.
故选ACD.
三、填空题
【答案】
45∘
【考点】
直线与平面所成的角
【解析】
由条件找出各个角，套公式csθ=csα⋅csβ，可得答案.
【解答】
解：如图所示，由已知条件可得∠PBA是PB与平面ABC所成的角，
∠PBC是PB与BC所成的角，∠ABC是BC与PB在平面ABC内射影AB所成的角，
∴ cs∠PBC=cs∠PBA⋅cs∠ABC，
即cs60∘=cs45∘×cs∠ABC，
∴cs∠ABC=1222=22.
又∵0∘