2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷人教新课标A版

这是一份2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷人教新课标A版，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若扇形的弧长为2cm，半径为1cm，则其圆心角的大小为（ ）
A.2πB.4πC.2D.4

2. 设集合A={x∈N|−2≤x≤4}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则集合A∩B中元素的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4

3. 已知向量a→=(sinθ,−2)，b→=(1,csθ)，且a→⊥b→，则sin2θ+cs2θ的值为( )
A.1B.2C.12D.3

4. 周期为π的函数y=cs(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象如图所示，则φ=（ ）

A.−π3B.2π3C.π6D.5π6

5. 已知函数y=f(x)在[−1, 1]上单调递减，且函数f(x)的图象关于直线x=1对称，设a=f(−12)，b=f(2)，c=f(3)，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a
6. 研究表明，当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到碳14了．若某一死亡生物组织内的碳14经过n(n∈N)个“半衰期”后用一般的放射性探测器测不到碳14了，则n的最小值是（ ）
A.9B.10C.11D.12

7. 已知向量a→=m−3,n ，b→=2,−1（其中m>0,n>0） ，若a→与b→共线，则4m+12n的最小值为（ ）
A.94B.3C.4615D.9

8. 已知函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω>12，x∈R），若fx的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间3π,4π，则ω的取值范围是（ ）
A.(12,23)∪[89,76]B.(12,1724]∪[1718,2924]
C.[59,23]∪[89,1112]D.[1118,1724]∪[1718,2324]
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）

若0A.lga (1−a)C.(1−a)13<(1−a)12D.a1−a<1

将函数f(x)=2sinx的图象向左平移π6个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)的图象，下列四个结论中不正确的是（ ）
A.函数g(x)在区间[0,2π3]增函数
B.将函数g(x)的图象向右平移2π3个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C.点(−π6，0)是函数g(x)图象的一个对称中心
D.函数g(x)在[π, 2π]上的最大值为1

设a→，b→是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ）
A.若|a→+b→|=|a→|−|b→|，则存在实数λ使得a→=λb→
B.若a→⊥b→，则|a→+b→|=|a→|−|b→|
C.若|a→+b→|=|a→|+|b→|，则a→=b→
D.若a→与b→的方向相反，则|a→+b→|=|a→|−|b→|

已知函数f(x)=x|x|，则下列命题中正确的是（ ）
A.函数f(sinx)是奇函数，且在(−12，12)上是减函数
B.函数sin（f(x)）是奇函数，且在(−12，12)上是增函数
C.函数f(csx)是偶函数，且在(0, 1)上是减函数
D.函数cs（f(x)）是偶函数，且在(−1, 0)上是增函数
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

已知向量a→=(1,3)，b→=(−1,0)，则|a→+3b→|=________.

若函数f(x)=cs(ωx)cs(π2−ωx)(ω>0)的最小正周期为π2，则ω的值为________．

已知命题p：(x−m)2<9，命题q:lg4(x+3)<1，若p是q的必要不充分条件．则实数m的取值范围是________．

设函数fx=|lnx|,0四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．）

解答.
(1)计算：(lg43+lg83)⋅(lg32+lg92)；

(2)求cs17π6+sin−16π3−tan−4π3的值．

已知函数已知函数fx=sinωx+3csωxω>0 fx图象的相邻两对称轴之间的距离为π2
(1)求ω的值；

(2)若fα=23，求sin5π6−4α的值．

已知向量a→=(csx, sinx)，b→=sinx, sinx),x∈0,π4.
(1)若x=π6 ，向量c→=−1,1，求c→在a→上投影；

(2)若函数fx=λa→⋅b→−12的最大值为12，求实数λ的值．

已知函数f(x)=m⋅2x+2⋅3x，m∈R．
(1)当m=−9时，求满足f(x+1)>f(x)的实数x的范围；

(2)若f(x)≤(92)x对任意的x∈R恒成立，求实数m的范围．

已知二次函数f(x)=x2−16x+q+3.
(1)若函数在区间[−1, 1]上存在零点，求实数q的取值范围；

(2)问：是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．

已知函数fx=ln1+x2+x.
(1)证明f(x)为奇函数；

(2)判断y=f(x)的单调性并写出证明过程；

(3)当a≥1时，关于x的方程f2asinx+π4−12sin2x−a2+2a=0在区间0,π上有唯一实数解，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】
C
【考点】
弧长公式
【解析】
利用弧长公式即可得出．
【解答】
解：设扇形的圆心角的弧度数为α，
由已知及弧长公式可得：2=1⋅α，
解得α=2．
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
交集及其运算
【解析】
求出集合A，B，利用交集定义求出A∩B，由此能求出集合A∩B中元素的个数．
【解答】
解：∵ 集合A＝{x∈N|−2≤x≤4}={0, 1, 2, 3, 4}，
B＝{x|y=ln(x2−3x)}={x|x<0或x>3}，
∴ A∩B={4}，
则集合A∩B中元素的个数为1．
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
数量积判断两个平面向量的垂直关系
二倍角的正弦公式
【解析】
由题意可得a→⋅b→=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cs2θ=2sinθcsθ+cs2θcs2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ，运算求得结果．
【解答】
解：由题意可得：a→⋅b→=sinθ−2csθ=0，即tanθ=2．
∴ sin2θ+cs2θ=2sinθcsθ+cs2θcs2θ+sin2θ=2tanθ+11+tan2θ=1，
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】
解：根据函数y=cs(ωx+φ)(ω>0, 0<φ<π)的部分图象，可得A＝1．
再根据它的周期为π=2πω，∴ ω=2．
再根据五点法作图，可得2×π6+φ=π2，∴ φ=π6.
故选C.
5.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质与判断
抽象函数及其应用
【解析】
根据题意，由函数的对称性可得f(x)在[1, 3]上递增且f(−）＝f（），结合函数的单调性分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(−12)=f(52)，
又由函数y=f(x)在[−1, 1]上单调递减，则f(x)在[1, 3]上递增，
则有f(2)故选D.
6.
【答案】
B
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
利用半衰期公式，建立不等式，求出解集即可得出结论．
【解答】
解：根据题意，(12)n<11000，
即2n>1000，n∈N；
所以n的最小值是10．
故选B．
7.
【答案】
B
【考点】
基本不等式及其应用
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据平面向量共线的坐标表示求出m+2n＝3，再利用基本不等式求出的最小值．
【解答】
解：由a→， b→共线得：
2n+m−3=0，
∴ m+2n=3，
4m+12n=134m+12nm+2n
=135+8nm+m2n
≥13×5+24
=3.
当且仅当8nm=m2n即m=4n时“=”成立．
故选B．
8.
【答案】
C
【考点】
正弦函数的奇偶性和对称性
正弦函数的图象
【解析】
先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得ω的范围，再根据kπ+≤3ωπ−，且 kπ+π+≥4ωπ−，
分类讨论k，求得ω的具体范围．
【解答】
解：AB．函数f(x)=2sin(ωx−π6)(ω>12 ，x∈R），若fx的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间 3π,4π，则12⋅2πω≥4π−3π, 12<ω≤1, ，故AB错误；
CD．由fx的图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间3π,4π，
可得kπ+π2≤3ωπ−π6,
且kπ+π+π2≥4ωπ−π6,k∈Z，
解得3k+29≤ω≤3k+512,k∈Z，
当k=0时，29≤ω≤512，不符合12<ω≤1，
当k=1时，59≤ω≤23，符合题意，
当k=2时，89≤ω≤1112，符合题意，
当k=3时，119≤ω≤149，不符合
12<ω≤1，故C正确，D错误．
故选C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，选对但不全的得3分．）
【答案】
B,D
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
指、对数不等式的解法
【解析】
由题意利用指数函数、对数函数的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：若01−a>0，lga (1−a)>lga (1+a)，故A错误；
若01，则lga(1+a)<0，故B正确；
若01−a>0，(1−a)13>(1−a)12，故C错误；
若0故选BD.
【答案】
B,C,D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
首先利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换求出函数的关系式，进一步利用函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：函数f(x)=2sinx的图象向左平移π6个单位长度，得到y=2sin(x+π6)的图象，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g(x)=2sin(12x+π6)）的图象，
对于A：由于x∈[0,2π3]，
所以12x+π6∈[π6,π2]，
故函数g(x)在区间[0,2π3]是增函数，故A正确；
对于B：函数g(x)=2sin(12x+π6)）向右平移2π3个单位，得到ℎ(x)=2sin(12x−π6)的图象，故该图象关于y轴不对称，故B错误；
对于C：当x=−π6时，g(−π6)=2sin(π12)≠0，故C错误；
对于D：由于x∈[π, 2π]，所以12x+π6∈[2π3,7π6]，
当x=π时，函数取最大值g(π)=2sin2π3=3，故D错误．
故选BCD.
【答案】
A,B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的概念与向量的模
命题的真假判断与应用
【解析】
四个选项都出现了向量模之间的加减运算，所以考虑平方处理，整理后即可得出答案．
【解答】
解：|a→+b→|=|a→| −|b→|，两边平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2|a→||b→|+|b→|2
所以a→⋅b→=−|a→||b→|，
而a→⋅b→=|a→||b→|cs⟨a→,b→⟩
所以−|a→||b→|=|a→||b→|cs⟨a→，b→⟩，
所以cs⟨a→,b→⟩=−1，所以⟨a→,b→⟩=180∘
所以a→=b→共线且反向，
所以λ<0时，a→=λb→，故A正确；
因为a→⊥b→，所以a→⋅b→=0，
⇒a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2−2a→⋅b→+b→2
⇒|a→+b→|2=|a→−b→|2⇒|a→+b→|=|a→−b→|，故B正确；
对|a→+b→|=|a→|+|b→|两边平方可得a→2+2a→⋅b→+b→2=a→2+2|a→||b→|+|b→|2
所以cs⟨a→,b→⟩=1，即=0∘所以a→=b→同向，但a→不一定等于b，故C错误；
由A选项可知，只有当λ<0，|a→|≥|b→|时，才有|a→+b→|=|a→|−|b→|，故D不正确．
故选AB．
【答案】
B,C,D
【考点】
函数单调性的性质与判断
复合函数的单调性
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据题意，由f(x)的解析式分析f(x)的奇偶性和单调性，由此依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】
解：f−x=−x|−x|=−x|x|=−fx，∴ fx是奇函数，
y=sinx是奇函数，y=csx是偶函数，
∴ fsinx和sinfx是奇函数，fcsx和csfx是偶函数，
fx=x|x|=x2,x≥0，−x2,x<0，
∴ fx在R上是增函数，
∴ y=sinx在−12,12上是增函数，
y=csx在0,1上是减函数，
∴ fsinx在−12,12上是增函数，
fcsx在0,1上是减函数，故A错误；C正确；
当x∈−12,12时，fx∈−14,14，
．y=sinx在（ −14,14) 上单调速增，
∴ sinfx在（ −12,12）上单调递增，故B正确；
当x∈−1,0时，fx∈−1,0，
y=csx在−1,0上单调递增，
∴ csfx在−1,0上单调递增，故D正确．
故选BCD．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
【答案】
7
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可．
【解答】
解：向量a→=(1,3)，b→=(−1,0)
则a→+3b→=(−2,3)，
所以(a→+3b→)2=4+3=7，
所以|a→+3b→|=7.
故答案为：7.
【答案】
2
【考点】
三角函数的周期性
【解析】
利用倍角公式变形，再由周期公式列式即可求得ω的值．
【解答】
解：∵ f(x)=cs(ωx)cs(π2−ωx)(ω>0)，
∴ f(x)=csωx⋅sinωx=12sin2ωx，
∴ 最小正周期T=2π2ω=π2，
∴ 解得ω=2．
故答案为：2.
【答案】
(−2, 0)
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据一元二次不等式和对数不等式的解法分别求出p、q的范围，然后根据p是q的必要不充分条件，可得两范围的关系，建立关系式，解之即可．
【解答】
解：因为命题p：(x−m)2<9，所以m−3因为命题q:lg4(x+3)<1=lg44，所以0因为p是q的必要不充分条件，
所以m−3<−3,m+3>1,解得−2所以实数m的取值范围是(−2, 0)．
故答案为：(−2, 0)．
【答案】
(20, 20.5)
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
不防令x1【解答】
解：函数f(x)=|lnx|，0由题意得x1x2=1, x1+x4=x2+x3=4，
∴ x1+x2+x3+x4=8, x1=1x2.
则x12+x22+x32+x42
=x12+(4−x1)2+x22+(4−x2)2
=2(x1+x2)2−8(x1+x2)2+28
=2(x1+x2−2)2+20=2(x2+1x2−2)2+20.
∵ x2+1x2在(1, 2)上单调递增，
∴ x12+x22+x32+x42∈(20, 412).
故答案为：(20,20.5).
四、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余各题分别12分，共70分，解答应写出必买的文字说明、证明过程或演算步骤．）
【答案】
解：(1)(lg43+lg83)⋅(lg32+lg92)
=(lg6427+lg649)⋅(lg94+lg92)
=lg64243⋅lg98
=lg243lg64⋅lg8lg9=54.
(2)cs17π6+sin−16π3−tan−4π3
=cs3π−π6−sin5π+π3+tan(π+π3)
=−csπ6+sinπ3+tanπ3
=tanπ3.
【考点】
对数的运算性质
【解析】
（1）利用对数的性质、运算法则直接求解．
（2）利用诱导公式直接求解．
【解答】
解：(1)(lg43+lg83)⋅(lg32+lg92)
=(lg6427+lg649)⋅(lg94+lg92)
=lg64243⋅lg98
=lg243lg64⋅lg8lg9=54.
(2)cs17π6+sin−16π3−tan−4π3
=cs3π−π6−sin5π+π3+tan(π+π3)
=−csπ6+sinπ3+tanπ3
=tanπ3.
【答案】
解：(1)fx=212sinωx+32csωx=2sinωx+π3
∵ fx图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T2=π2，即T=π=2πω.
得ω=2.
(2)ω=2 ，fx=2sin2x+π3
∵ fα=23， 2sin2α+π3=23得sin2α+π3=13.
设θ=2α+π3，则sinθ=13，且2α=θ−π3
则sin5π6−4α
=sin5π6−2θ+2π3=sin3π2−2θ
=−sinπ2−2θ=−cs2θ
=−1−2sin2θ=−1+2×19=−79.
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）利用辅助角公式进行化简，结合对称性求出周期和ω即可．
（2）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化即可．
【解答】
解：(1)fx=212sinωx+32csωx=2sinωx+π3
∵ fx图象的相邻两对称轴之间的距离为π2即T2=π2，即T=π=2πω.
得ω=2.
(2)ω=2 ，fx=2sin2x+π3
∵ fα=23， 2sin2α+π3=23得sin2α+π3=13.
设θ=2α+π3，则sinθ=13，且2α=θ−π3
则sin5π6−4α
=sin5π6−2θ+2π3=sin3π2−2θ
=−sinπ2−2θ=−cs2θ
=−1−2sin2θ=−1+2×19=−79.
【答案】
解：(1)当x=π6时， a→=csπ6,sinπ6=32,12，
因为向量c→=−1,1，
所以|a→|=322+122=1，
所以c→在a→上投影为a→⋅c→|a→|=−32+121=1−32.
(2)fx=λa→⋅b→−12
=λsinxcsx+sin2x−12
=λ12sin2x−12cs2x
=22λsin2x−π4.
因为x∈0,π4，
所以2x−π4∈−π4,π4
又λ>0,
所以当2x−π4=π4，即x=π4时，fx取得最大值为22λ×22=12，
所以λ=1.
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
向量的投影
三角函数中的恒等变换应用
【解析】
（1）求出当时，的坐标，然后求出的模，利用向量投影的定义求解即可；
（2）利用向量数量积的坐标表示以及二倍角公式的辅助角公式化简f(x)的解析式，根据x的取值范围，结合正弦函数的性质求出f(x)的最值，得到关于λ的等式，求解即可．
【解答】
解：(1)当x=π6时， a→=csπ6,sinπ6=32,12，
因为向量c→=−1,1，
所以|a→|=322+122=1，
所以c→在a→上投影为a→⋅c→|a→|=−32+121=1−32.
(2)fx=λa→⋅b→−12
=λsinxcsx+sin2x−12
=λ12sin2x−12cs2x
=22λsin2x−π4.
因为x∈0,π4，
所以2x−π4∈−π4,π4
又λ>0,
所以当2x−π4=π4，即x=π4时，fx取得最大值为22λ×22=12，
所以λ=1.
【答案】
解：(1)当m=−9时，f(x)=−9⋅2x+2⋅3x，
f(x+1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x−9⋅2x，
化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，
即有x−2>0，
解得，x>2.
(2)由f(x)≤(92)x恒成立，即为m⋅2x+2⋅3x≤(92)x，
可得m≤(32)2x−2(32)x，
令t=(32)x>0，
即有m≤t2−2t的最小值，
由(t2−2t)min=−1，
可得m≤−1，即实数m的范围是(−∞, −1]．
【考点】
函数恒成立问题
函数单调性的性质
【解析】
（1）由题意可得2⋅3x+1−9⋅2x+1+>2⋅3x−9⋅2x，化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，再由指数函数的单调性，解不等式即可得到所求范围；
（2）由题意可得m≤(32)2x−2(32)x，令t=(32)x>0，即有m≤t2−2t的最小值，运用配方可得最小值，即可得到所求范围．
【解答】
解：(1)当m=−9时，f(x)=−9⋅2x+2⋅3x，
f(x+1)>f(x)，即为2⋅3x+1−9⋅2x+1>2⋅3x−9⋅2x，
化简可得，2x−2<3x−2，即为(32)x−2>1=(32)0，
即有x−2>0，
解得，x>2.
(2)由f(x)≤(92)x恒成立，即为m⋅2x+2⋅3x≤(92)x，
可得m≤(32)2x−2(32)x，
令t=(32)x>0，
即有m≤t2−2t的最小值，
由(t2−2t)min=−1，
可得m≤−1，即实数m的范围是(−∞, −1]．
【答案】
解：(1)∵ 二次函数f(x)=x2−16x+q+3的对称轴是x=8，
∴ 函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，
∴ 要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．
即(1+16+q+3)⋅(1−16+q+3)≤0，
解得−20≤q≤12．
∴ 使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q的取值范围是[−20, 12].
(2)当t<8,8−t≥10−8,t≥0时，即0≤t≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，
即[q−61, t2−16t+q+3]．
∴ t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．
∴ t2−15t+52=0，∴ t=15±172．
经检验t=15±172不合题意，舍去．
当t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，
即[q−61, q−57]．
∴ q−57−(q−61)=4=12−t．
∴ t=8,
经检验t=8不合题意，舍去．
当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，
即[t2−16t+q+3, q−57]
∴ q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t
∴ t2−17t+72=0，∴ t=8或t=9．
经检验t=8或t=9满足题意，
∴ 存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．
【考点】
二次函数的性质
函数的零点
【解析】
（1）求出二次函数的对称轴，得到函数f(x)在[−1, 1]上为单调函数，要使函数在区间[−1, 1]上存在零点，则f(−1)⋅f(1)≤0，由此可解q的取值范围；
（2）分t<8，最大值是f(t)；t<8，最大值是f(10)；8≤t<10三种情况进行讨论，对于每一种情况，由区间长度是12−t求出t的值，验证范围后即可得到答案．
【解答】
解：(1)∵ 二次函数f(x)=x2−16x+q+3的对称轴是x=8，
∴ 函数f(x)在区间[−1, 1]上单调递减，
∴ 要使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点，须满足f(−1)⋅f(1)≤0．
即(1+16+q+3)⋅(1−16+q+3)≤0，
解得−20≤q≤12．
∴ 使函数f(x)在区间[−1, 1]上存在零点的实数q的取值范围是[−20, 12].
(2)当t<8,8−t≥10−8,t≥0时，即0≤t≤6时，f(x)的值域为：[f(8), f(t)]，
即[q−61, t2−16t+q+3]．
∴ t2−16t+q+3−(q−61)=t2−16t+64=12−t．
∴ t2−15t+52=0，∴ t=15±172．
经检验t=15±172不合题意，舍去．
当t<8,8−t<10−8,t≥0时，即6≤t<8时，f(x)的值域为：[f(8), f(10)]，
即[q−61, q−57]．
∴ q−57−(q−61)=4=12−t．
∴ t=8,
经检验t=8不合题意，舍去．
当t≥8时，f(x)的值域为：[f(t), f(10)]，
即[t2−16t+q+3, q−57]
∴ q−57−(t2−16t+q+3)=−t2+16t−60=12−t
∴ t2−17t+72=0，∴ t=8或t=9．
经检验t=8或t=9满足题意，
∴ 存在常数t(t≥0)，当x∈[t, 10]时，f(x)的值域为区间D，且D的长度为12−t．
【答案】
解：(1)因为1+x2>|x|≥−x，
所以11+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，
f−x+fx=ln1+x2−x+ln1+x2+x=ln1=0，
故f−x=−fx，所以fx为奇函数.
(2)函数的定义域为R，
设x1>x2≥0，
则1+x12>1+x22，
所以x1+1+x12>1+x22+x2，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递增.
(2)由(1)得f(2asin(x+π4)−12sin2x−a2+2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．
∴ 2asin(x+π4)−12sin2x−a2+2a=0,
整理得a(sinx+csx)−sinxcsx−a2+2a=0，
在x∈[0, π]上有唯一实数解,
构造ℎ(x)=a(sinx+csx)−sinxcsx−a2+2a，x∈[0, π]，a≥1．
令t＝sinx+csx，则t∈[−1,2]，sinxcsx=t2−12，
∴ L(t)=−12(t−a)2−12a2+2a+12(a≥1)，
在t∈[−1,1)∩{2}内有且只有一个零点，[1,2)无零点．
又∵ a≥1，∴ L(t)在[−1, 1)上为增函数；
①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,2)无零点．
则L(1)>0，L(−1)≤0，L(2)>0，
∴ 1≤a<2+1，
②若2为L(t)的零点，[1,2)无零点，则−a2+22a−12=0，a=2±62，
又∵ a≥1，经检验a=2+62符合题意．
综上所述：1≤a<2+1或a=2+62．
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数单调性的性质与判断
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
（1）根据题意，只要证明f(−x)+f(x)＝0即可判断函数为奇函数，
（2）先设x1>x2≥0，然后比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，
（3）y由已知结合函数的单调性进行转化得a(sinx+csx)−sinxcsx−a2＝0，然后利用换元法，结合三角函数的性质可转化为二次函数闭区间上零点存在问题，结合函数性质及零点判定定理分类讨论即可求解．
【解答】
解：(1)因为1+x2>|x|≥−x，
所以11+x2+x>0恒成立，故函数定义域R，
f−x+fx=ln1+x2−x+ln1+x2+x=ln1=0，
故f−x=−fx，所以fx为奇函数.
(2)函数的定义域为R，
设x1>x2≥0，
则1+x12>1+x22，
所以x1+1+x12>1+x22+x2，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在R上单调递增.
(2)由(1)得f(2asin(x+π4)−12sin2x−a2+2a)=f(0)，且y＝f(x)在R上递增．
∴ 2asin(x+π4)−12sin2x−a2+2a=0,
整理得a(sinx+csx)−sinxcsx−a2+2a=0，
在x∈[0, π]上有唯一实数解,
构造ℎ(x)=a(sinx+csx)−sinxcsx−a2+2a，x∈[0, π]，a≥1．
令t＝sinx+csx，则t∈[−1,2]，sinxcsx=t2−12，
∴ L(t)=−12(t−a)2−12a2+2a+12(a≥1)，
在t∈[−1,1)∩{2}内有且只有一个零点，[1,2)无零点．
又∵ a≥1，∴ L(t)在[−1, 1)上为增函数；
①若L(t)在[−1, 1)内有且只有一个零点，[1,2)无零点．
则L(1)>0，L(−1)≤0，L(2)>0，
∴ 1≤a<2+1，
②若2为L(t)的零点，[1,2)无零点，则−a2+22a−12=0，a=2±62，
又∵ a≥1，经检验a=2+62符合题意．
综上所述：1≤a<2+1或a=2+62．