专题03 圆锥曲线的方程【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

专题03 圆锥曲线的方程【知识梳理】

一、椭圆

1.椭圆的定义

平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

【例题1】已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.

在中，由余弦定理，得，即，则，故.

故选：B.

【例题2】椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A，右焦点为F，，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

解：椭圆的上､下顶点分别为，

右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)，，可得=﹣1，

=1，解得e=.

故选：C.

【变式训练1】已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（    ）

A．1 B． C． D．

【变式训练2】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）

A．13 B．12 C．9 D．6

【变式训练3】设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）．

A． B． C． D．

二、双曲线

1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)若a<c时，则集合P为双曲线；

(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；

(3)若a>c时，则集合P为空集.

2.双曲线的标准方程和几何性质

【例题1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由双曲线的定义可得，∵，

∴，即，

则的离心率为．

故选：D．

【例题2】双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【详解】

由双曲线的方程可得右焦点，渐近线的方程为：，

由以双曲线的右顶点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切可得：，可得，可得，

所以双曲线的离心率，

故选：C.

【变式训练1】如图，､是双曲线：的左､右焦点，过的直线与双曲线交于､两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【变式训练2】经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（    ）

A． B． C． D．

【变式训练3】已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

三、抛物线

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

【例题1】已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为是抛物线的焦点，

所以，准线方程，

设，

所以，

所以，

所以线段的中点横坐标为，

所以线段的中点到轴的距离为．

【例题2】设抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，以为圆心的圆与准线相切，且过点，则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【详解】

由抛物线的定义知，圆经过焦点，点的横坐标为5，

由题意，当，不重合时，是线段垂直平分线上的点，

∴，

∴，

所以抛物线的方程为；

当，重合时，

∴，

∴，

所以抛物线的方程为．

【变式训练1】已知F为抛物线的焦点，P，Q为抛物线上的两个动点，线段PQ的中点为M，过M作y轴的垂线，垂足为H．若，则的最小值为（    ）

A．0 B． C． D．

【变式训练2】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的倾斜角为，则线段的中点到轴的距离是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练3】已知抛物线、的焦点都为，的准线方程为，的准线方程为，与相交于M、N两点，则直线MN的方程为（    ）

A． B． C． D．

四、圆锥曲线的综合运用

1.求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.

2.定点的探索与证明问题

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

3.求解范围问题的方法

求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.

4.圆锥曲线中常见最值的解题方法

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.

5.圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·|y1－y2|＝·

【例题1】椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，当是的中点时，．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆在点、处的切线交于点，为坐标原点，求证：直线平分线段．

附：椭圆上一点处的切线方程为．

【详解】

解：（1）当是的中点时，轴，

当时，，，

又，，

∴，，∴椭圆的方程为．

（2）证明：设，，，

则切线方程为：，切线方程为：，

∴直线的方程为：，

又直线过点，故，即直线方程为，

①若，则在轴上，轴，由对称性可知，直线平分线段；

②若，设直线方程为，其中，，

联立直线与椭圆的方程有，消去并整理可得，，

∴，则，

设中点为，则，

∴，

∴，，三点共线，则直线平分线段；

综上：直线平分线段．

【变式训练1】已知双曲线的焦点为椭圆的长轴端点，且椭圆E的离心率为．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，求证：

【变式训练2】已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作C的切线，交点为P.

（i）证明：；

（ii）若直线FP交C于M，N两点(M在线段FP上)，求四边形面积的最小值.