初中浙教版2.1 一元二次方程当堂检测题

2021年浙教版八年级数学下册《第2章一元二次方程》期中复习优生辅导训练（附答案）

1．当m为整数时，关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0方程的两个根都为正整数，则满足条件的所有整数m的积为（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6

2．设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣19x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为（　　）

A．0 B．﹣2019 C．﹣39 D．1

3．下列方程中没有实数根的是（　　）

A．x2﹣4x+3＝0 B．﹣x2+4x﹣4＝0 C．﹣x2+4x﹣5＝0 D．x2﹣4x﹣6＝0

4．关于x的方程x2﹣3x+k+1＝0的两根为直角三角形的两直角边的长，且该直角三角形的面积为1，则斜边长为（　　）

A．5 B． C． D．7

5．方程x（x﹣1）＝0的根是（　　）

A．0 B．1 C．0或1 D．无解

6．若两个方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0只有一个公共根，则（　　）

A．a＝b B．a+b＝0 C．a+b＝1 D．a+b＝﹣1

7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）

A．11 B．12 C．11或12 D．15

8．若关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A． B．且k≠1 C． D．且k≠1

9．将3x2﹣2x﹣2＝0配方成（x+m）2＝n的形式，则n＝　   　．

10．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是　   　．

11．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2021﹣a﹣b＝　   　．

12．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为　   　．

13．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于　   　．

14．已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k+2＝0有两个实数根，则k的取值范围是　   　．

15．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为　   　．

16．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8．则x2+y2的值为　   　．

17．已知m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m2+2m+n﹣mn＝　   　．

18．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两根x1和x2，且x12﹣2x1+2x2＝x1x2，则k的值是　   　．

19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，且x12+x22＝13，则a＝　   　．

20．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝　   　．

21．设a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为　   　．

22．根据要求解下列一元二次方程：

（1）x2+2x﹣3＝0（配方法）；

（2）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）．

23．仔细阅读下面例题，解答问题．

【例题】已知：m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．

解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，

∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，

∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，

∴m﹣n＝0，n﹣4＝0，

∴m＝4，n＝4．

∴m的值为4，n的值为4．

【问题】仿照以上方法解答下面问题：

（1）已知x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，求x、y的值．

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，求斜边长c的值．

24．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围．

（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．

25．已知关于x 的一元二次方程x2﹣5x+m＝0．

（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足3x1﹣2x2＝5，求实数m 的值．

26．2019年，中央全面落实“稳房价”的长效管控机制，重庆房市较上一年大幅降温．11月，LH地产共推出了大平层和小三居两种房型共80套，其中大平层每套面积180m2，单价1.8万元/m2，小三居每套面积120m2，单价1.5万元/m2．

（1）LH地产11月的销售总额为18720万元，问11月要推出多少套大平层房型？

（2）2019年12月，中央经济会议上重申“房子是拿来住的，不是拿来炒的”后，重庆房市成功稳定并略有回落，为年底清盘促销，LH地产调整了营销方案，12月推出两种房型的总数量仍为80套，并将大平层的单价在原有基础上每平方米下调万元（m＞0），将小三居的单价在原有基础上每平方米下调万元，这样大平层的销量较（1）中11月的销量上涨了7m套，且推出的房屋全部售罄，结果12月的销售总额恰好与（1）中11月的销售总额相等，求出m的值．

27．某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件．如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫应提价多少元？

（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为　   　元，销售量为　   　件．

（2）列方程并完成本题的解答．

28．作为国家级开发区的两江新区，大小公园星罗棋布，称为“百园之城”．该区2018年地总面积为2500万平方米，2020年绿地总面积将比2018年增加3500万平方米，人口比2018年增加50万人．这样，2020年该区人均绿地面积是2018年人均绿地面积的2倍．

（1）求2020年两江新区的人口数量；

（2）2020年起，为了更好地建设“一半山水一半城”的美丽新区，吸引外来人才落户两江新区，新区管委会在增加绿地面积的同时大力扩展配套水域面积．根据调查，2020年新区的配套水域面积为人均4平方米．在2020年的基础上，如果人均绿地每增加1平方米，人均配套水域将增加0.2平方米，人口也将随之增加5万．这样，两江新区2022年的绿地总面积与配套水域总面积要在2020年的基础上增加75%，那么，2022年人均绿地面积要比2020年增加多少平方米？

参考答案

1．解：（m﹣1）x2﹣2mx+m+1＝0，

[（m﹣1）x﹣（m+1）]（x﹣1）＝0，

（m﹣1）x﹣（m+1）＝0或x﹣1＝0，

x1＝，x2＝1；

x＝＝1+，

由于m为整数，

所以当m﹣1＝1或2时，x＝为正整数，此时m＝2或m＝3，

满足条件的所有整数m的积为2×3＝6．

故选：D．

2．解：由题意可得 a+b＝﹣20，ab＝1，c+d＝19，cd＝1

则（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）

＝[ab+（a+b）c+c2）][ab﹣（a+b）d+d2]

＝（1﹣20c+c2）（1+20d+d2）

＝1+20d+d2﹣20c﹣400﹣20d+c2+20c+1

＝d2+c2+2﹣400＝（c+d）2﹣400＝192﹣400＝﹣39．

故选：C．

3．解：A、∵△＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根，A不符合题意；

B、∵△＝42﹣4×（﹣1）×（﹣4）＝0，

∴该方程有两个相等的实数根，B不符合题意；

C、∵△＝42﹣4×（﹣1）×（﹣5）＝﹣4＜0，

∴该方程没有实数根，C符合题意；

D、∵△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣6）＝40＞0，

∴该方程有两个不相等的实数根，D不符合题意．

故选：C．

4．解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．

∵关于x的方程x2﹣3x+k+1＝0的两根为直角三角形的两直角边的长，

∴ab＝k+1，

∵该直角三角形的面积为1，

∴（k+1）＝1，

解得k＝1，

则方程x2﹣3x+2＝0，

解得x1＝1，x2＝2，

根据勾股定理可得斜边长为：＝．

故选：C．

5．解：∵x（x﹣1）＝0

∴x＝0或x﹣1＝0

∴x1＝0，x2＝1．

故选：C．

6．解：设公共根为x0，则 ．

①﹣②，得（a﹣b）（x0﹣1）＝0，

当a＝b时，方程可能有两个公共根，不合题意；

当x0＝1时，a+b＝﹣1．

故选：D．

7．解：x2﹣5x+6＝0，

（x﹣2）（x﹣3）＝0，

x﹣2＝0，x﹣3＝0，

x1＝2，x2＝3，

根据三角形的三边关系定理，第三边是2或3都行，

①当第三边是2时，三角形的周长为2+4+5＝11；

②当第三边是3时，三角形的周长为3+4+5＝12；

故选：C．

8．解：①当k﹣1＝0，即k＝1时，方程为﹣2x﹣2＝0，此时方程有一个解，不符合题意；

②当k≠1时，∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有两个不相等的实数根，

∴（﹣2k）2﹣4×（k﹣1）×（k﹣3）＞0，

解得：k＞且k≠1．

故选：B．

9．解：∵3x2﹣2x﹣2＝0，

∴x2﹣x﹣＝0，

∴x2﹣x+＝+，

∴＝，

故答案为：．

10．解：将x＝3代入方程得：9﹣3m﹣3＝0，

解得：m＝2．

故答案为：2．

11．解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，

所以a+b＝1，

所以2021﹣a﹣b＝2021﹣（a+b）＝2021﹣1＝2020．

故答案为：2020．

12．解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，

解得：a＝3或a＝﹣3，

∵a+3≠0，即a≠﹣3，

∴a＝3．

故答案为：3．

13．解：∵x2﹣3x﹣1＝0，

a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，

∴b2﹣4ac＝13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

设这两个实数根分别为x1与x2，

则x1+x2＝3；

又∵x2﹣x+3＝0，

a＝1，b＝﹣1，c＝3，

∴b2﹣4ac＝﹣11＜0，

∴此方程没有实数根．

∴一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于3．

故答案为：3．

14．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（2k+1）x+k+2＝0有两个实数根，

∴，

解得：k≤且k≠0．

故答案为：k≤且k≠0．

15．解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为x米，

根据题意得：（20﹣x）（32﹣x）＝540

整理得：x2﹣52x+100＝0

解得：x1＝50（舍去），x2＝2

故答案为：2

16．解：设x2+y2＝a，

原方程变形为：（a+1）（a+3）＝8，

即a2+4a﹣5＝0，

解得，a1＝1，a2＝﹣5，

∵x2+y2≥0，

∴x2+y2＝1，

故答案为：1．

17．解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，

∴m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，

∴m2+2m+n﹣mn＝m+n﹣mn+1，

∵m、n是方程x2+x﹣1＝0的根，

∴m2+m＝1，m+n＝﹣1，mn＝﹣1，

∴m2+2m+n﹣mn＝m2+m+（m+n）﹣mn＝1﹣1+1＝1．

故答案为：1．

18．解：∵x12﹣2x1+2x2＝x1x2，

x12﹣2x1+2x2﹣x1x2＝0，

x1（x1﹣2）﹣x2（x1﹣2）＝0，

（x1﹣2）（x1﹣x2）＝0，

∴x1﹣2＝0或x1﹣x2＝0．

①如果x1﹣2＝0，那么x1＝2，

将x＝2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0，

得4+2（2k+1）+k2﹣2＝0，

整理，得k2+4k+4＝0，

解得k＝﹣2；

②如果x1﹣x2＝0，

则△＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）＝0．

解得：k＝﹣．

所以k的值为﹣2或﹣．

故答案为：﹣2或﹣．

19．解：根据题意得：△＝25﹣4a≥0，

解得：a≤，

x1+x2＝5，x1x2＝a，

x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝25﹣2a＝13，

解得：a＝6（符合题意）．

故答案为：6．

20．解：∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，

∴α2+2020α﹣2＝0，

β2+2020β﹣2＝0

∴α2+2020α＝2，

β2+2020β＝2

∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）

＝（2﹣1）（2+2）＝4．

故答案为4．

21．解：∵a、b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，

∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2021，

∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2021+1+1＝﹣2019，

故答案为：﹣2019．

22．解：（1）x2+2x﹣3＝0，

移项，得x2+2x＝3，

配方，得x2+2x+1＝3+1，

则（x+1）2＝4，

x+1＝±2，

x＝±2﹣1，

x1＝1，x2＝﹣3；

（2）（x+1）（x﹣2）＝4，

整理得，x2﹣x﹣6＝0，

a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，

△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

x＝＝，

x1＝3，x2＝﹣2．

23．解：（1）∵x2+2xy+2y2﹣6y+9＝0，

∴（x2+2xy+y2）+（y2﹣6y+9）＝0，

∴（x+y）2+（y﹣3）2＝0，

∴x+y＝0，y﹣3＝0，

∴x＝﹣3，y＝3；

（2）∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，

∴a2﹣12a+36+b2﹣16b+64＝0，

∴（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，

∴a﹣6＝0，b﹣8＝0，

∴a＝6，b＝8，

在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∴c＝＝＝10，

24．解：（1）根据题意得：

△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，

解得：m＜0．

∴m的取值范围是m＜0．

（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，

∵x12+x22＝12，

∴﹣2x1x2＝12，

∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，

∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），

∴m的值是﹣2．

25．解：（1）∵方程有实数根，

∴△＝25﹣4m≥0，

解得，m≤；

（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1•x2＝m，

∵3x1﹣2x2＝5，

∴3x1+3x2﹣5x2＝5，

∴﹣5x2＝﹣10，

解得，x2＝2，

把x＝2代入原方程得，m＝6．

26．解：（1）设11月要推出x套大平层房型，则11月要推出（80﹣x）套小三居房型，依题意得

1.8×180x+1.5×120（80﹣x）＝18720，

解得x＝30．

故11月要推出30套大平层房型；

（2）依题意得

180（1.8﹣）（30+7m）+120（1.5﹣）（80﹣30﹣7m）＝18720，

解得m1＝0（舍去），m2＝2．

故m的值是2．

27．解：（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60+x）元，

销售量为（800﹣x）＝（800﹣20x）件．

故答案为（60+x）、（800﹣20x）．

（2）根据（1）得：

（60+x﹣50）（800﹣20x）＝12000

整理，得x2﹣30x+200＝0

解得：x1＝10，x2＝20．

为使顾客获得更多的优惠，

所以x＝10，60+x＝70，800﹣20x＝600．

答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元，销售量为600件．

28．解：（1）设2020年两江新区的人口数量为x万人，由题意得：

2×＝，

解得x＝300，

经检验x＝300是原分式方程的解．

∴2020年两江新区的人口数量为300万人；

（2）设2022年人均绿地面积要比2020年增加y平方米，由题意得：

（+y+4+0.2y）×（300+5y）＝（+4）（1+75%）×300，

化简得y2+80y﹣900＝0，

解得y＝10或y＝﹣90（舍去）．

∴2022年人均绿地面积要比2020年增加10平方米