初中北师大版第一章 三角形的证明综合与测试同步练习题

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2020-2021年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》优生辅导训练题（附答案）1．等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（　　）A．140°或44°或80° B．20°或80° C．44°或80° D．140°2．如图，△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC，ED∥BC，则图中等腰三角形的个数是（　　）A．3 B．4 C．5 D．63．在三角形的内部，到三边距离相等的点是三角形的三条（　　）A．中线的交点 B．角平分线的交点 C．高的交点 D．以上都不对4．下列说法中，正确的有（　　）①等腰三角形的底角一定是锐角．②等腰三角形的角平分线、中线和高是同一条线段．③等腰三角形两腰上的高相等．④等腰三角形两腰上的中线相等．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个5．元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　）A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点6．下列条件中，能判断两个直角三角形全等的是（　　）A．有两条边分别相等     B．有一个锐角和一条边相等 C．有一条斜边相等         D．有一直角边和斜边上的高分别相等 7．下列说法错误的是（　　）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 C．等腰三角形的两个底角相等   D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍8．如图所示，在△ABC中，CD，BE是两条高，那么图中与∠A相等的角的个数有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（　　）A．4.5 B．5 C．5.5 D．610．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（　　）A．7 B．8 C．9 D．1011．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为（　　）A．90° B．95° C．100° D．105°12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2＝AF2+DE2．其中正确的是（　　）A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④13．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为（　　）A．3s B．4s C．4.5s D．5s14．如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交边AB于点E，若BC＝6厘米，AB＝8厘米，则△EBC的周长为　   　cm．15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，且AC＝10，BC＝4，则△BCE的周长为　   　． 16．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为　   　．17．在△ABC中，∠BAC＝115°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，则∠EAG的度数为　   　．18．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　   　．19．如图，在面积为6的等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是　   　．20．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，高AD和BE相交于点H，∠CAD＝30°，若AC＝4，则点H到BC的距离是　   　． 21．如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE＝　   　°．22．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　   　．23．如图，已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，点E在DC边的延长线上．若∠CAE＝15°，则AE＝　   　．24．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　   　秒．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为线段BC上一动点（不与点B、C重合），连接AD，作∠DAE＝∠BAC，且AD＝AE，连接CE．（1）如图1，当CE∥AB时，若∠BAD＝35°，则∠DEC　   　度；（2）如图2，设∠BAC＝α（90°＜α＜180°），在点D运动过程中，当DE⊥BC时，∠DEC＝　   　．（用含α的式子表示）26．已知：如图，△ABC中，P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，连接AP和AQ，且BP＝PQ＝QC．求∠C的度数．证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，∴PA＝　   　，QC＝QA．　   　∵BP＝PQ＝QC，∴在△APQ中，PQ＝　   　（等量代换）∴△APQ是　   　三角形．∴∠AQP＝60°，∵在△AQC中，QC＝QA，∴∠C＝∠　   　．又∵∠AQP是△AQC的外角，∴∠AQP＝∠　   　+∠　   　＝60°．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠C＝　   　．27．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．（1）求证：AE＝CD；（2）若AC＝12cm，求BD的长． 28．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．（1）求∠CEF的度数；（2）求证：△EFG是等腰三角形． 29．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论． 30．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．（1）求证：MC＝MD；（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．  31．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8厘米，BC＝6厘米，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动速度为1厘米/秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）求出发2秒后，PQ的长；（2）点Q在CA边上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间．32．在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F．（1）若AB＝AC，∠BAC＝120°，求证BM＝MN＝NC；（2）由（1）可知△AMN是　   　三角形；（3）去掉（1）中的“∠BAC＝120°”的条件，其他不变，判断△AMN的形状，并证明你的结论；（4）当∠B与∠C满足怎样的数量关系时，△AMN是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．
参考答案1．解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，解得x＝44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，解得x＝50°，所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，解得x＝20°，所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故选：A．2．解：∵∠A＝36°，∠C＝72°，∴∠ABC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠ABC＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ABC，∠ADE＝∠C，∴∠AED＝∠ADE，∴△AED是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD＝36°，∠EDB＝∠EBD＝36°，∴△ABD，△BDE都是等腰三角形，∵∠C＝∠BDC＝72°，∴△BDC是等腰三角形，∴等腰三角形有5个，故选：C．3．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三个内角平分线的交点，故选：B．4．解：①等腰三角形的底角一定是锐角是正确的；②等腰三角形的角平分线、中线和高不一定是同一条线段，原来的说法错误；③等腰三角形两腰上的高相等是正确的；④等腰三角形两腰上的中线相等是正确的．故正确的有3个．故选：D．5．解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．故选：D．6．解：A、两边分别相等，但是不一定是对应边，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；B、一条边和一锐角对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；C、有一条斜边相等，两直角边不一定对应相等，不能判定两直角三角形全等，故此选项不符合题意；D、有一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，故此选项符合题意；故选：D．7．解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，故选：A．8．解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDH＝90°，∴∠A+∠DCA＝90°，∠ABE+∠BHD＝90°，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∠CHE+∠HCE＝90°，∴∠A＝∠BHD＝∠CHE，故选：B．9．解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．10．解：①以AB为底边，符合点C的有5个； ②以AB为腰，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：C．11．解：∵CD＝AC，∠A＝50°，∴∠ADC＝∠A＝50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B，∴∠B＝∠ADC＝25°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故选：D．12．解：如果OA＝OD，则四边形AEDF是矩形，∠A＝90°，不符合题意，∴①不正确；∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD∠FAD，在△AED和△AFD中，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，DE＝DF，∴AE2+DF2＝AF2+DE2，∴④正确；在△AEO和△AFO中，，∴△AE0≌△AF0（SAS），∴EO＝FO，又∵AE＝AF，∴AO是EF的中垂线，∴AD⊥EF，∴②正确；∵当∠A＝90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，∴四边形AEDF是矩形，又∵DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形，∴③正确．综上，可得正确的是：②③④．故选：D．13．解：设当∠APQ＝∠AQP时，P，Q运动的时间为t秒，∵∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ，∴20﹣3t＝2t，解得t＝4，故选：B．14．解：∵DE是边AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14（厘米），故答案为：14．15．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BCE的周长＝EB+EC+BC＝EA+EC+BC＝AC+BC＝14，故答案为：14．16．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝11，故答案为：11．17．解：∵∠BAC＝115°，∴∠B+∠C＝180°﹣115°＝65°，∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴EA＝EB，GA＝GC，∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝65°，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝50°，故答案为：50°．18．解：由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE又∠A＝30°，AC＝6可得DE＝AE∴DE＝（6﹣DE）则DE＝2．故答案为2．19．解：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴BD＝DC，∵S△EFC＝EF•CD，S△EFB＝EF•BD，∴S△EFC＝S△EFB，∴S阴影＝S△ABD＝S△ABC，∵S△ABC＝6，∴S阴影＝3．故答案为：3．20．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠HBD+∠BHD＝90°，∵∠CAD＝30°，AC＝4，∴CD＝AC＝2，∵BE⊥AC，∴∠HBD+∠C＝90°，∴∠BHD＝∠C，∵∠ABD＝45°，∴∠BAD＝45°，∴BD＝AD，在△BDH和△ADC中，，∴△BDH≌△ADC（AAS），∴HD＝CD＝2，故点H到BC的距离是2．故答案为2．21．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A＝50°，∴∠ABE＝∠A＝50°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝65°﹣50°＝15°．故答案为：15．22．解：∵DE是BC边上的垂直平分线，∴BE＝CE．∵△EDC的周长为24，∴ED+DC+EC＝24，①∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）＝（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE＝12，∴BE+BD﹣DE＝12，②∵BE＝CE，BD＝DC，∴①﹣②得，DE＝6．故答案为：6．23．解：∵正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD相交于点O，∴∠BAC＝45°，AB∥DC，∠ADC＝90°，∵∠CAE＝15°，∴∠E＝∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，∴AE＝2AD＝8．故答案为8．24．解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x即20﹣3x＝2x，解得x＝4．故答案为：4．25．解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BAC＝∠B，∴AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝∠ACE＝60°，∴△DAE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴∠DEC＝180°﹣35°﹣60°﹣60°＝25°，故答案为：25；（2）连接CE，∵∠BAC＝α，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣α）＝90°﹣，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝90°﹣，∴∠DCE＝2（90°﹣）＝180°﹣α，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝90°，∴∠DEC＝90°﹣∠DCE＝α﹣90°．故答案为：α﹣90°．26．证明：∵P、Q两点分别是边AB和AC的垂直平分线与BC的交点，∴PA＝BP，QC＝QA． （垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等）∵BP＝PQ＝QC，∴在△APQ中，PQ＝PA＝QA（等量代换）∴△APQ是等边三角形．∴∠AQP＝60°，∵在△AQC中，QC＝QA，∴∠C＝∠QAC．又∵∠AQP是△AQC的外角，∴∠AQP＝∠C+∠QAC＝60°．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠C＝30°．故答案为：BP，（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），PA＝QA，等边，QAC，C，QAC，30°．27．（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，在△DBC和△ECA中，∵∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：∵△CDB≌△AEC，∴BD＝CE，∵AE是BC边上的中线，∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12cm．∴BD＝6cm．28．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠CEF＝（180°﹣48°）＝66°；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠CEF，由折叠的性质得：∠CEF＝∠C'EF，∴∠GFE＝∠C'EF，∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形．29．解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．30．（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，∴MC＝AB，MD＝AB，∴MC＝MD；（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，∵△MCD是等边三角形，∴∠DMC＝60°，∴∠BMC+∠AMD＝120°，∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，∴∠BAO+∠ABO＝60°，∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．31．（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝2（cm）；（2）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．32．（1）证明：连接AM、AN，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵ME是线段AB的垂直平分线，∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，同理，NA＝NC，∴∠NAC＝∠C＝30°，∴∠ANM＝∠C+∠NAC＝60°，∴△AMN为等边三角形，∴AM＝MN＝AN，∴BM＝MN＝NC；（2）解：由（1）可知△AMN是等边三角形，故答案为：等边；（3）解：△AMN是等腰三角形，理由如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠MAB＝∠B，∠AMN＝∠B+∠MAB，∠NAC＝∠C，∠ANM＝∠C+∠NAC，∴∠AMN＝∠ANM，∴AM＝AN，∴△AMN是等腰三角形；（4）解：当∠B＝∠C时，AM＝AN；当2∠B+∠C＝90°时，∠MAC＝90°，∴NF∥MA，∵CF＝FA，∴CN＝CM，∴NA＝CM＝MN，同理，当∠B+2∠C＝90°时，MA＝MN，综上所述，当∠B＝∠C、2∠B+∠C＝90°、∠B+2∠C＝90°时，△AMN是等腰三角形．