北师大版必修48函数的图像教案设计

课    题

三角函数的图象与性质

教学目标

1．要熟记本节的基础知识，并会将ωx＋φ看作一个整体进行解题．

2．解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等．

重 难 点

1．注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点．

2．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用

导  案

学  案

教学流程

【基础知识网络总结与巩固】

【复习指导】

1．要熟记本节的基础知识，并会将ωx＋φ看作一个整体进行解题．

2．解题时要注意图象的应用，如利用图象求函数的最值、值域等．

3．注重三角函数的性质和三角恒等变换的综合问题，这是近几年高考的热点．

4．注重函数与方程、转化与化归、数形结合思想等数学思想方法的运用．　　

基础梳理

1．“五点法”描图

(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

     (0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为

     (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．三角函数的图象和性质

两条规律

(1)周期性

函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.

(2)奇偶性

三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．

三种方法

求三角函数值域(最值)的方法：

(1)利用sin x、cos x的有界性；

(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．

3．当函数()表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，

f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

4．图象的对称性

函数()的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数的图象关于直线(其中)成轴对称图形．

(2)函数的图象关于点(其中)成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．

一个区别

由y＝sin x的图象变换到的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

【重难点例题启发与方法总结】

双基自测

1．函数y＝cos，x∈R(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

2．函数y＝tan的定义域为(　　)．

 A.  B.

C.  D.

3．函数y＝4sin x，x∈[－π，π]的单调性是(　　)．

A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

B．在上是增函数，在和上都是减函数

C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数

D．在∪上是增函数，在上是减函数

4．y＝sin的图象的一个对称中心是(　　)．

A．(－π，0)   B.

C.   D.

5．函数f(x)＝cos的最小正周期为________．

考向一　三角函数的定义域与值域

【例1】►(1)求函数y＝lg sin 2x＋的定义域．

(2)求函数y＝cos2x＋sin x的最大值与最小值．

解　(1)依题意⇒

⇒.

(2)设sin x＝t，则t∈.

∴y＝1－sin2x＋sin x＝－2＋，t∈，

故当t＝，即x＝时，ymax＝，

当t＝－，即x＝－时，ymin＝.

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

②形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

③形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

【训练1】 求函数y＝的定义域．

考向二　三角函数的奇偶性与周期性

【例2】►函数是(　　)．

A．最小正周期为π的奇函数                 B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数                 D．最小正周期为的偶函数

【训练2】 已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则f(x)的最小正周期是________．

考向三　三角函数的单调性

【例3】►已知f(x)＝sin x＋sin，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．

解　f(x)＝sin x＋sin

＝sin x＋cos x＝sin.

由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得：－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，

又x∈[0，π]，∴f(x)的单调递增区间为.

【训练3】 函数f(x)＝sin的单调减区间为______．

考向四　三角函数的对称性

【例4】►(1)函数y＝cos图象的对称轴方程可能是(　　)．

A．x＝－        B．x＝－       C．x＝         D．x＝

(2)若0＜α＜，g(x)＝sin是偶函数，则α的值为________．

【训练4】 (1)函数y＝2sin(3x＋φ)的一条对称轴为x＝，则φ＝________.

(2)函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.

【重难点关联练习巩固与方法总结】

难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题

含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合．下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析．

一、根据三角函数的奇偶性求解参数

【示例】► 已知f(x)＝cos(x＋φ)为奇函数，则φ可以取的一个值为(　　)．

1.            B.           C．－          D．－

二、根据三角函数的单调性求解参数

【示例2】► (2011·镇江三校模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的单调递增区间为(k∈Z)，单调递减区间为(k∈Z)，则ω的值为________．

三、根据三角函数的周期性求解参数

【示例3】► 若函数y＝sin ωx·sin(ω＞0)的最小正周期为，则ω＝________.

四、根据三角函数的最值求参数

【示例4】► 若函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝处有最小值－2，则常数a、b的值是(　　)．

A．a＝－1，b＝   B．a＝1，b＝－

C．a＝，b＝－1   D．a＝－，b＝1

二、高考回顾：

1、（2012年天津高考题）将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是（     ）

A.              B.1             C.             D.2

2、(2012浙江)把函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图像是（   ）

3、（2011天津）已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则 （    ）                           

 A．在区间上是增函数 B．在区间上是增函数

 C．在区间上是减函数 D．在区间上是减函数

4、（2012高考新课标文9）已知ω>0，，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则=（     ）

     A.               B.             C.            D.

5、如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数， ，的图像如下。结果发现其中有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是(      )

A                                             B

C                                            D

【课后强化巩固练习与方法总结】

典型例题

题型一、函数的图像的作法（五点作图法）

【例1】已知函数，

(1)作出函数图像的简图；

(2)求函数的最值.

题型二、函数（，的图像与函数的图像的关系

【例2】说明的图像是由的图像经过怎样变换得到的.

【变式】已知函数为了得到的图像，需要将的图像作怎样的变换而得到呢？若要分别得到和的图像，需将函数作怎样的变换呢？

【例3】将函数图像上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个函数图像沿轴向左平移个单位，得到的曲线与的图像相同，则的函数表达式为（      ）

【变式】要得到函数的图像，只需将函数的图像（     ）

向右平移个单位         向右平移个单位

向左平移个单位         向左平移个单位

题型三、已知函数图像及性质求解析式

【例4】如图所示的是函数的图像，求的值，确定函数解析式

【变式】已知函数(，，)的图象的一部分如图所示．

(1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程．

【例5】已知曲线上的一个最高点坐标为，该最高点和与其相邻的最低点间的曲线与轴交于点.

（1）求函数的解析式；     （2）求函数在上的值域.

【变式】已知函数的图像的一个最高点为，由这个最高点到相邻最低点，图像与轴交于点，试求函数的解析式.

.

【例6】如图为函数的一个周期的图像，

（1）写出的解析式；

（2）若与的图像关于直线对称，写出的解析式；

（3）指出的周期、频率、振幅、初相.

题型四、函数的性质的应用

【例7】设函数，的图像的一条对称轴是直线.

（1）求的值；         （2）求函数的单调增区间.

【例8】已知函数，是否存在常数，使得的值域为？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【例9】设函数的图像关于直线对称，它的周期是，则（     ）

题型五、知识综合

【例10】已知方程，有两解，求实数的取值范围

【例11】已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值.

【变式】已知函数的图象过点，图象上与点P最近的一个最高点是.

(1)求函数的解析式；(2)求函数f(x)的递增区间．

【例12】已知弹簧上挂的小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离随时间的变化规律为：用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题：

（1）小球在开始运动时，离开平衡位置的位移分别是多少？

（2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？

（3）经过多少秒，小球往复运动一次？

【例13】函数（）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为，

（1）求函数的解析式；

（2）设，则，求的值。